人教版高三数学试题2008-2009学年度河北省石家庄二中南校区高三数学上学期第二次期中检测

2008-2009学年度高三第二次月考数学试题（理科）一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（将答案涂在答题卡上）.集合{1,2}U{2,3}的所有非空子集的个数为.1个 B.7个 C.8个D・15个.化简a"―1+（4a）3+（4a4）得aa.%,'—a+2a B.、；—a C.-7—a D.~∖~a+2a.若非空集合MQN，贝i」“a∈M，且a∈N”是"a∈MUN"的,充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件与3x2.函数f(x)= +lg(3X+1)的定义域是 ( )v1-x.(--,+∞) B.(--,I) C.(--,)D.(-∞,--).函数y=fQ)是R上的奇函数，满足fG+x)=f(3-x),当x∈(0,3)时f(χ)=2X，则当X∈(-6,-3)时，fQ)=().2X+6 B.-2X+6 C.2X-6 D.-2X-66若y=ax与y=-b在6,+∞）上都是减函数，对函数y=ax3+bx的单调性描述正确的是（ ）X.在J∞,+∞）上是增函数 B.在。,+8）上是增函数C.在J∞,+∞）上是减函数 D.在J∞,0）上是增函数，在Q+∞）上是减函数7.设S是等差数列｛〃｝的前n项和，

nn3 ŋ 3_ B _, 5 B 108.函数f（x）=2-x-2X的反函数为f-1（x）,则使不等式f-1（x）＞2成立的X的取值范围为.(-145,+∞) B.［。号 C(-90) D. (-∞,-99．将9个数排成如右图所示的数表，若每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数22=2,则表中所有数之和为.20B.18C512D.不确定的数.如果函数f(x)的图象与函数g(X)=(1)X的图象关于直线y=X对称，则a11a12a13aaa212223aaa1-31一32 33f(3X-X2)的单调递减区间是3 33 3.[-,+∞) B.(-∞,-] C.[-,3) D.(0,-]乙 乙 乙 乙.若α、β是关于X的方程X2-1-2%+k2+3k+5=0(k∈R)的两个实根，则α2+β2的最大值等于()50.6 B.- C.18 D.19S+SH—+S.设数列｛a｝的前n项和为S，令T=T—2 ,，称T为数列a,a,・・・,a的“理想数”，已n n n n n 1 2 n知数列a,a,…,a 的“理想数”为2004，那么数列2,a,a,・・・,a 的“理想数”为1 2 500 1 2 500.2008B.2002 C.2006D.2004试卷二二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.(将答案填在答题纸相应的横线上)-9.等比数列X｝的前n项和为S，若a=-,S=-，则等比数列X｝的n n-2 -2 n1公比q=1⅛--..如果函数f(X)=log(X2-2X+3)(a>0，且a≠1)有最大值，则不等式alog(X-1)>0的解集为—(1,2).a .已知在数列｛a｝中，a=1,a=3S(n≥1),则数列｛a｝的通项公式n 1 n+1 n n1,(n=1),a= 〈 .n—3-4n-2,(n≥2).一X+CoSX ,兀…兀一16∙函数f(X)=-inX的图像在点RF))处的切线的斜率为π2(π+1)2三．解答题：本大题共6小题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（将答题过程写在答题纸相应位置）17．（本小题满分12分）在等比数列｛a｝中，a=2,a+a=20.n 433 5 9（I）求数列｛a｝的通项公式；n（II）若数列｛a｝的公比大于1,且b=log%，求数列｛b｝的前n项和S.n n32 n n2解：（I）设等比数列U｛n｝的公比为q,贝Uq≠0,2=：=：,4=3q=2q2 20 1所以q+2q=20, 解得q1=1,q2=3, 4分1 1 18当q1=3,尸18.所以n=18x（3）nτ=3~1=2×33-n.当q=3时,1=弁,所以n=-×3n^1=2×3n-5. 6分81n81（II）由（I）及数列｛a｝公比大于1,得q=3,=2×3n-5, 8分nnab=log-n-=log3n-5=n—5,n32 3b-b=1（常数）,b=-4.n n-1 1所以数列毋｝为首项为-4,公差为1的等差数列，……10分nb+b n2-9nS=ɪnn=——-——. 12分n2 218.(本小题满分12分)‘CX+1,(1<X<C), 9已知函数f(X)=\上 满足f(c3)=-.卜-C2+1,(X≥C). 8(I)求常数C的值；(II)解不等式f(X)V4√2+1.解：（I）因为C>1,所以C3>C；“、9 C/ .9⅛f(c3)=3，即2C2+I=G8 8C=3.,4分(II)由(I)得f(X)=<X29+1,由/㈤<4√Ξ+1⅛,(1<X<3)G≥3)当1<κ<3时，3丁十l<4√∑十1,Wl<2τ<-3不分当工13时，2而+1c4√I+l,解得工之3,10⅛所以∕O)c4√5十的解集'19.(本小题满分12分)12分3X+1,等,或了23L在某种工业品的生产过程中，每日次品数y是每日产量X的函数：y=<X ,(X≤100)108—X ,X.(X>100)该工厂售八一一，一 A , 〜…出一件正品可获利A元，但生产一件次品就损失W元，为了获得最大利润，日产量应定为多少?A解：设利润函数为T(X),则T(X)=(X—y)A—yW,显然X>100时没有利润，.∙.X≤100,A4AX.⑺X)=(χ-y)A-y至=Ax-M=，(。<x≤100)5分∙,∙TT=A—4A 108 . 3(108—X)2,.∙.A—4A 108 . 3(108—X)2=0nX=96,11分只有一个极值点，所以也是要求的最大值点，所以为了获得最大利润，日产量应定为96个.12分20.(1)(2)…2 C CTC , 、(本小题满分12分)已知函数f(X)=3X3—2aX2—3X+10(a∈R)当∣a∣≤4时，证明f(X)在(—1,1)内是减函数；若f(x)在(—1,1)内有且只有一个极值点，求a的取值范围。解：/'(x)=2χ2—4“X-3 2分(1),.,la∖<-「.-1≤4〃≤1-1≤-4q≤14又∙.∙/'(—1)=2+4α—3=4α—1≤1—1=OJ/'(—1)≤O/./(1)=2-4«-3=-1-4«≤-1+1=O 4分.∙∙∕r(l)≤0 由二次函数的图象可知，％∈(-1,1)时，恒有尸(X)≤O「./(%)在(一1,1)内是减函数 6分(2)由于/'(X)=2x2—4ax—3若令f,M=0,则得2x2-4ax-3=Q有A=16«2+24>O/(%)必有两个极值点8分要使/(%)在(一1,1)内只有一个极值点必须且只需/'(-l)/'(l)<O即(4〃—1)(—1—4a)<O.,.a>［或〃<-ɪ

4 412分.(本小题满分12分)设数列｛〃｝满足。+2a+22。+…+ =22〃一1,n∈N*.n 12 3 n(I)求数列｛〃｝的通项；n(II)设8=Wna,求数列｛/?｝的前〃项和S.H3n n n解；(I)的十2电十22啊十…十2"-%*=2*"-1?(D二当总)2时，+2∣32+22λ1.+-"+2b-3¾-1=22i'm-1'1-1. ②①一②得2n-1cJa=3×22m^λ!%=3M2*τ (照32).在①中，令理=1∙得药=3X21^-ι=3.∙.a=3×2n-ι n∈N*. 6分n2 2(∏)∙.∙b=—■na，n3 n：.b=n2n.n.∙.S=2+2×22+3×23+…+n2n, ③n.∙.2S=22+2×23+3×24+…+n2n+1. ④n④-③得.∙.S=n2n+1-(2+22+23+…+2n).nCC 2(1-2n)即S=n2n+1- ,n 1-2.∙.S=(n-1)2n+1+2.

n12分.(本小题满分12分)设二次函数f(X)满足下列条件：①当x∈R时，f(X)的最小值为0，且f(X-1)=f(-X-1)成立；②当X∈(θ,5)时，X≤f(X)≤2∣X-1+1恒成立.(I)求f(1)的值；(II)求f(X)的解析式；(III)是否存在实数t,当X∈［1,5］时，有恒f(X+1)≥X成立？若存在求出t的范围，不存在说明理由.解：⑴在②中令x=1,有1≤f(1)≤1,故式1)=1. 2分(II)由①知二次函数的关于直线对称,且开口向上， 1故设此二次函数为f(X)=a(X+1)2(>0),∙.∙八1)=1,.∙.a=4，1，f(X)=4(X+1)2. 5分(III)假设存在t∈R,当X∈∣1,］,恒有f(X+1)≥X成立，即1f(X+1)≥Xn4(X+1+1)2≥Xnχ2+2(t-1)x+12+2t+1≥0令g(X)=χ2+2(t-1)x+12+2t+1,则不等式g(X)≥0当X∈L ］时恒成立.有下列几种情况：(1)当t>0时，1-t<1,二次函数g(X)区间11,］上为单调递增函数，所以只需g(1)≥0即12+2(t-1)×1+12+2t+1≥0解得t≥0或t≤-4,，所以"O,(2)当—4≤∕≤0时，l≤lτ<5,二次函数g(x)区间L5