2021年一模概率汇编

东城（18）（本小题14分）

小明同学两次测试成绩（满分100分）如下表所示:

语文数学英语物理化学生物

第一次879291928593

第二次829495889487

（I）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；

（II）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2

科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望E（X）；

（III）现有另一名同学两次测试成绩（满分100分）及相关统计信息如下表所示:

6科

6科

语文数学英语物理化学生物成绩均

成绩方差

值

第一次a\的XID\

第二次

b\岳b3b4bsX2Di

将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为》•有一种

观点认为：若用=必Dt<D2,则。“3少2.你认为这种观点是否正确？（只写“正确”或“不

正确“）

西城（18）（本小题14分）

天文学上用基等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮.视星等是指观测者用

肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方测得的

恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领.

下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最充恒星的相关数据，其中aG

[0,1.3]

天狼老人南门大角织女五车参宿南河水委参宿四

星名

星星星七*

视星等一1.47-0.72-0.270.030.080.120.380.46a

0.04

绝对星

1.42-5.534.40.60.12.67-2.78

等0.386.985.85

赤纬19.2°38.8°46°5.2°7.4°

16.7°52.7°60.8°8.2°57.2°

（I）从表中随机选择颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率;

（II）已知北京的纬度是北纬40。，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于一50。时，能在

北京的夜空中看到它，现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看

到的数量为X颗，求X的分布列和数学期望；

（III）记。=0时10颗恒星的视星等的方差为s；,记a=1.3时10颗恒星的视星等的

方差为主，判断s：与s；之间的大小关系.（结论不需要证明）

海淀（18）（本小题共14分）

每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，

为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进

行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分

成[0,2],（2,4],（4,6],（6,8],（8,10],（10,12],（12,14],（14,16],（16,

18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

频率

（I）求a的值;

（II）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况,

从日平均阅读时间在（12,14],（14,16],（16,18]三组内的学生中，采用分层抽样

的方法抽取了10人、现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14,16]内

的学生人数为X,求X的分布列；

（III）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用

“P20（D”表示这20名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在（10,12]（单位：小时）

内的概率，其中力=0,1,2,20.当尸20（左）最大时，写出％的值.（只需写出结论）

朝阳(18)(本小题14分)

我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫

困.为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A,B两个地区2019年脱贫家

庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如下表：

A地区B地区

2019年人均年纯收入超过10000元100户150户

2019年人均年纯收入未超过10000元200户50户

假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立.

(I)从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超

过10000元的概率；

(II)在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为

这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；

(III)从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人

均年纯收入都超过10000元.根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯

收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由.

丰台（18）（本小题14分）

某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位:

分钟）如下图所示.

（I）从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；

（II）从2011年至2020年中任选两年，设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影

片时长的年数，求X的分布列和数学期望E（X）；

（III）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为

222

5,,52,53,试比较4-22两2的大小.（只需写出结论）

石景山（18）（本小题14分）

某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众

多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万

元）进行调查.调查结果如下：

门店1门店2门店3门店4门店5门店6门店7门店8

线下

96.5199.514.516.520.512.5

日营业额

线上

11.591217192321.515

日营业额

若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式

下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标.

若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30

万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标.

（各门店的营业额之间互不影响）

（I）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概

率；

（n）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额

达标的门店个数.以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总

额达标的概率，求X的分布列和数学期望；

(in)线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为由和出，线下日营业额和

线上日营业额的样本方差分别记为s；和s；.试判断从和出的大小，以及s；和s；

的大小.(结论不要求证明)

怀柔18.(本小题13分)

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机

抽样，获得数据如下表：

分组区间(单位：克)(490,495](495,500](500,505](505,510](510,515]

产品件数34751

包装质量在(495,510］克的产品为一等品，其余为二等品

(I)估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；

(II)从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；

(III)从该流水线上任取2件产品，设丫为一等品的产品数量，求y的分布列；试比较

期望EX与则望EF的大小.(结论不要求证明)

门头沟16.(本小题共12分)

第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某

校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作

为样本，得到他们的分数统计如下：

分数段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数1228331

我们规定60分以1F为不及格；60分及以」匕至70分以下为及格；70分及以上至80分以

下为良好：80分及以上为优秀。

(1)从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？

(H)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X