2021年新高考数学全真模拟考试（一）

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2021年新高考全真模拟考试（一）

数学

第I卷（共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（本题5分）已知集合4={2,3,4,6,7},B={2,3,5,7},则（）

A.{2,3,5}B.［2,3,7}

C.{2,3,5,7}D.{2,3,4,5,6,7}

2.（本题5分）复数z=需的虚部为（）

A.一|B.-1C.|D.1

3.（本题5分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德・黎曼发现提

出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数R（x）为：当x="（p,q为正整数，

P

工q是既约真分数）时R（x）=q,当x=0或x=l或x为［0,1］上的无理数时R（x）=0.

P

已知a、b、a+方都是区间［0」内的实数，则下列不等式一定正确的是（）

A.R（a+b）＞R（a）+R（b）B.R（a-h）＞R（a）-R（b）

C.R（a+b）＜R（a）+R（h）D.R（a•b）WR（a）•R（b）

4.（本题5分）己知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表

的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓

库是危险的•现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，

那么安全存放的不同方法种数为（）

A.12B.24C.36D.48

5.（本题5分）已知球。的半径为8,矩形ABCD的顶点都在球。的球面上，球心。到

平面ABCD的距离为4,则此矩形的最大面积为（）

A.96B.48C.32D.24

6.（本题5分）已知|阴=2,卬|=1,且,8-2回=2石，则和CO的夹角

为

A.30°B.60°C.120°D.150°

7.（本题5分）在平面直角坐标系内，设N（W，M）为不同的两点，直线/

,Clcix-\-by,+c

的方程为方+0y+c=0,3一x六一,下面四个命题中的假命题为（）

ax2+by2+c

A.存在唯一的实数（5,使点N在直线/上

B.若5=1,则过M,N两点的直线与直线/平行

C.若3=—1,则直线经过线段M,N的中点；

D.若5>1,则点/，N在直线/的同侧，且直线/与线段M,N的延长线相交；

8.（本题5分）设。=0.6。6,b=0,6'5>c=\,50（>>贝U。，b,c的大小关系是（）

A.a<h<cB.h<c<aC.b<a<cD,c<b<a

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对

的得2分）

9.（本题5分）记数列｛小｝的前八项和为S“若存在实数从使得对任意的"CN+,都有

\S„\<H,则称数列｛雨｝为“和有界数列”.下列说法正确的是（）

A.若｛小｝是等差数列,且公差d=0,则｛m｝是“和有界数列”

B.若｛斯｝是等差数列,且｛飙｝是“和有界数列“，则公差"=0

C.若｛加｝是等比数列，且公比|司</,则｛3｝是“和有界数列“

D.若｛““｝是等比数列，且｛〃“｝是"和有界数列"，则｛〃“｝的公比|可</

10.（本题5分）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（4,of）,

N（〃2，b；）其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（）

A.乙类水果的平均质量〃2=。-8

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数%=199

11.(本题5分)如图，正方体ABC。-4g£2的棱长为1,P为3c的中点，。为线

段CG上的动点，过点A,P,。的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确

的是()

A.当0<CQ<g时，S为四边形；

B.当；时，S不为等腰梯形；

31

C.当CQ=/时，S与CA的交点R满足GR=

D.当CQ=1时，S的面积为好.

2

12.(本题5分)已知定义域为A的函数,，(x),若对任意的％,々eA,都有

,则称函数/(x)为“定义域上的优美函数”以下函数是“定

/(XI+A2)</(XI)+/(A2)

义域上的优美函数”的有()

,「111»

A.f(x)=%+1,%6-5,5B.f(x)-e,xeR

C.f(x)=sinx,xe[0,7i\D.f(x)=log,x,xe[2,+oo)

第n卷(共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.体题5分)已知复数z在复平面内对应点是0,-2),i为虚数单位，则

14.（本题5分）若函数/（幻是偶函数,对任意工€1＜都有/（犬+2）=/（%）,且％19

时，/（x）=-x,则方程/（%）=lgx的实根个数为.

15.（本题5分）已知四面体A—38的棱都相等，G为A6c的重心，则异面直线AG

与CD所成角的余弦值为.

16.（本题5分）我国南北朝时期的数学家祖也（杰出数学家祖冲之的儿子），提出了计算

体积的祖晒原理：“幕势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高

处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线C：y=f,直线/

为曲线。在点（1,1）处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C、直线/以及x轴所围成

的平面图形，记该平面图形绕）轴旋转一周所得的几何体为Q.过（Qy）@«），M）作

。的水平截面，所得截面面积S=（用V表示），试借助一个圆锥，并利用祖胞

原理，得出。体积为.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤）

17.体题10分）已知数列｛4｝中，4=5且a,,=2a,i+2"-1（〃22且〃GN*）.

（1）证明：数列｛自二｝为等差数列；

（2）求数列｛%-1｝的前〃项和S..

18.（本题12分）如图，郊外有一边长为200m的菱形池塘ABCD,塘边AB与AD

的夹角为60。，拟架设三条网隔BE,BF,EF,把池塘分成几个不同区域，其中网

隔BE与BF相互垂直，E,F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植

区域.记/ABE=e,荷花种植区域的面积为Sm2.

(1)求S关于。的函数关系式；

(2)求S的最小值.

19.（本题12分）如图，在直三棱柱ABC-48cl中，ZACB=90,CA=CB==2,

M，N分别是4B与CG的中点，G为A4BN的重心.

(1)求证：MG_L平面A8N；

(2)求二面角A-AB-N的正弦值.

20.(本题12分)进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量.某

城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行.为此,

环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：

时间周一周二周三周四周五周六周日

车流用(X万辆)1099.510.51188.5

空气质量指数y78767779807375

(1)根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程.

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2,则认为得

到的线性回归方程是可靠的.请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可

靠？

注：回归方程y=bx+a中斜率和截距最小二乘估计公式分别为

£（可—初/一歹）

b二『；------------,a=y-bx.

£（—）2

i=l

22

21.（本题12分）已知。为坐标原点，椭圆E：三+白=1（。＞匕＞0）的焦距为2百，

直线y=龙截圆O：/+2=/与椭圆E所得的弦长之比为叵，圆。、椭圆E与y

2

轴正半轴的交点分别为尸，A.

（1）求椭圆£的标准方程；

（2）设点8（不）,%）为椭圆E上一点且B不是椭圆顶点，点3关于x轴的对称点位C,

直线43,AC分别交工轴于点M,N.证明：tanNOPM=tanNONP.

24

22.（本题12分）已知函数/（x）=-2/+§,g（x）=e*-3（xeR）.

（1）若/（x）在区间［。-5,。-1］上的最大值为|,求实数”的取值范围；

⑵设距）=?.＞+1,/（力=,黑:%:*,记2，Z为尸⑺

从小到大的零点，当aZe3时，讨论尸（x）的零点个数及大小.

参考答案8.C15.3

1.B9.BC6

2.A10.ABC16.剃―>)2(0"«1)

3.B11.ACD

71

4.D12.ACD12

5.A,3.

13.1H—I

6.C2

7.A14.9

ci—1

17.(1)数列1七一，为首项是2公差是1的等差数列.

n+l

(2)Sn=n-2

【解析】

试题分析：(1)要证明数列为等差数列，只需证明&?-爷二=43为常数)

I，J2Z

即可；(2)由等差数列的通项公式与二，进而可求a“-1=(〃+1>2",利用错位相减法

可求数列的前〃项和S”.

试题解析：⑴设2=笠"=U=2

b“+i~hn="嬴1―券^=击[(%-2a„)+l]=^-[(2n+l-1)+1]=1

所以数列｛当4｝为首项是2公差是1的等差数列.

a1n

(2)由(1)知I,"^n=^y^-+(n-l)xl,:.an=(n+l)-2+1

；“,,一1=(〃+1卜2"

S“=22,+32*+…+〃21+(〃+1)2①

2S„=2-22+3-2J+-+W2"+(W+1)-2"+,②

②-①，得

S„--22,-(2:+2J+-+2*)+(»+l)2***-n2'**.

［方法点睛】本题主要考查等差数列的定义以及错位相减法求数列的的前〃项和，属于中

档题.一般地，如果数列｛4｝是等差数列，｛%｝是等比数列，求数列｛%〃,｝的前«项和时,

可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列｛d｝的公比，然后作差求解，在

写出与“qS“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出

“”的表达式.

。30000,0«吟

18.(1)S=T------------------------(2)120000-60000^.

>/3cos6)+sinOcosO

200BE

ABBE

(1)由正弦定理可得即.(2a、.兀，

sin/AEBsinA'7rsirrT

200BF

BCBF

sin/BFCsinC'即sin啥+0)=式册，

20073,BF*,

.*.BE=-

V3cos0+sin0cosU

300071

/.S二「；7~,(o<e<—)；

V3cos9+sin9cos06

2^-/3(1+COS29))+率

(2)令f(0)=<73cos0+sin0cos0—1in2Q=sin(

22

K71,f(0)有最大值为虐•+1,

当29+即

32

此时S有最小值为120000-60000V3.

【点睛】

本题考查了正弦定理和函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，考查了函数

y=Asin(cox+(p)的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想,

将3x+<p看做一个整体，地位等同于sinx中的x.

19.(1)见解析；(2)

3

【详解】

(1)证明：由题意可知，AC，BC,CG两两垂直，以C为原点，分别以AC,BC,CC,

所在直线为x轴、月轴、z轴建立空间直角坐标系，则Ce,0,0),4(2,0,0),8(0,2,0),

G(0,0,2),A(2,0,2).

(221i

由中点坐标公式可得”(1,1,1),N(0,0,l),由重心的性质可得G.

则MG=，；,_g,一|}Afi=(-2,2,0),/UV=(-2,0,1),A4,=(0,0,2).

所以用G-AN=_g)x(_2)+(_g)x0+1_g)xl=0,

MG.AB=(一扑(一2)+卜扑2+(一|卜0=0,

所以MGJ_4V,MGLAB,

又⑷VAB^A,AN,ABI平面ABN,

所以MG_L平面A3N.

(2)由(1)知，平面A5N的一个法向量为MG=(一；,—；,一：]

设平面4AB的一个法向量为〃=(x,y,z).

n-AA=2z=0(z=0

则《f，所以《，令％=1,则〃=(1,1,0).

AB=-2x+2y=0[x=y

J”\MGFV3

所以C°S(MG，〃”网「一行•

设二面角4—AB-N的大小为e,则sin6=

所以二面角A—AB-N的正弦值为好.

3

【点睛】

本题考查了利用空间向量证明线面垂直和求解二面角，考查了计算能力，属于中档题.

20.(1)3=2x+58；(2)可靠.

【详解】

_10+9+9.5+10.5+11，八_78+76+77+79+80〜

(1)=10,y=--------------------------=78.

55

5

A^(x;-x)(y,.-y)=(10-10)(78-78)+(9-10)(76-78)+(9.5-10)(77-78)

/=1

+(10.5-10)(79-78)+(11-10)(80-78)=5,

5

Z(x,-可2=(10-10)2+(9-10)2+(9.5-10)2+(10.5-10)2+(11-10)2=2.5,

/=1

人(N一了)(丹一夕)5人

匕=J艺,——八^_/==2.;.&=9—版=78—2x10=58关于x的线

二(…)-2$

性回归方程为亍=2x+58.

(2)当二8时，亍=2、8+58=74.满足|74-73|=1<2,当户8.5时，亍=2x8.5+58=75.满

足|75-75|=0<2,二所得的线性回归方程是可靠的.

【点睛】

本题考查线性回归方程的求法，考查了线性回归分析的应用，考查解决实际问题的能力，是

一个综合题目，属于基础题.

r2

21.(1)—+/=1；(2)证明见解析

4.

【详解】

解：(1)根据题意可得c=石，a2-b2=3.

因为直线V=无截圆O:Y+V=/所得的弦长为2a,

直线y=》截椭圆E所得的弦长为2夜J站,故2a=坐.

a2=4",."2=4，从=1.

r2

故椭圆E的标准方程为：—+/=1.

4-

(2)由(1)可知点A(O,1),点尸(0,2).

直线A3的方程为y=皂」x+1，令y=0,得M(广一,0).

/io

因为点B关于*轴的对称点为C,所以C(x0,-%),

1+%1

所以直线AC的方程为^=——也x+1,

%

令y=0,得

%+1

.'.IOM\fON|=|

If1+%

92

X0"..2_1•/-4

彳+%-i'•，为2.

BOM||ON|=4=|

本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题.

22.(1)1