“平行线”涉及的27个考点梳理 含各类角度考察（附word）

平行线（证明）模块涉及的27个考点梳理真假命题的判断如果命题的条件成立，那么结论也成立．像这样的命题叫做真命题，命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题。下列各命题中，假命题是（）A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等 C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等 D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可．【解析】A、有两边及其中一边上的中线对应相等两个三角形全等，可利用证两步全等方法求得，是真命题；B、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；C、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；D、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；选B．【小结】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是全等三角形的判定．下列四个命题：①相等的两个角是对顶角；②同角的补角相等；③若PA+PB＝AB，则点P必在线段AB上；④两个形状相同的三角形是全等三角形．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据对顶角、补角的概念、线段的概念、全等三角形的概念判断即可．【解析】①相等的两个角不一定是对顶角，本小题说法是假命题；②同角的补角相等，本小题说法是真命题；③若PA+PB＝AB，则点P必在线段AB上，本小题说法是真命题；④两个形状相同、大小相等的三角形是全等三角形，本小题说法是假命题；选B．【小结】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

下列命题中真命题的个数有（）（1）经过一点有且只有一条直线与这条直线平行（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相垂直（4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点P到直线m的距离（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据平行公理、垂直的概念、点到直线的距离的概念判断即可．【解析】（1）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是假命题；（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本小题说法是假命题；（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，本小题说法是假命题；（4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线m的距离，本小题说法是假命题；（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，本小题说法是真命题；选A．【小结】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．下列命题：①如果a＞b，那么|a|＞|b|：②如果ac2＞bc2，那么a＞b；③同旁内角互补；④若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ互余．真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据绝对值、不等式的性质、平行线的性质、同角的余角相等分别对各小题进行判断后即可求解．【解析】①当a＝1，b＝﹣2时，|a|＝1，|b|＝2，|a|＜|b|，故此命题假命题；②如果ac2＞bc2，那么a＞b；真命题；③同旁内角互补；假命题；④若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ相等，故此命题是假命题；真命题的个数为1个；选B．【小结】本题考查了命题与定理，熟记概念与性质是解题的关键．举反例命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（）A．a＝﹣1，b＝0 B．a＝﹣1，b＝﹣1 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣2【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【解析】用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2是假命题的反例可以是：a＝﹣1，b＝﹣2，因为﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，所以D符合题意【小结】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．举反例说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，下面错误的是（）A．设一个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45° B．设一个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60° C．设一个角是30°，它的余角是60°，但60°＞30° D．设一个角是10°，它的余角是80°，但80°＞10°【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而进行判断；举反例时，满足题设，不满足结论即可．【解析】A、设一个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45°，能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故正确；B、设一个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60°，不能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故错误；C、设一个角是30°，它的余角是60°，但60°＞30°，能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故正确；D、设一个角是10°，它的余角是80°，但80°＞10°，能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故正确；选B【小结】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题．【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．【解析】∵两个不相等的角互为补角，∴这两个角一个角大于90°，一个角小于90°，即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题；【小结】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．阅读下面材料：判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角．请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”是假命题．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）【分析】分别列举满足条件的题设，但不满足题设的结论即可．【解析】如图，∠1+∠2＝180°；如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．【小结】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．推理与论证妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，放茶叶要用2分钟，给同学打电话要用1分钟．为使客人早点喝上茶，小明最快可在几分钟内完成这些工作？（）A．19分钟 B．18分钟 C．17分钟 D．16分钟【分析】利用已知得出烧水时间里完成洗茶壶、洗茶杯、再放茶叶、给同学打电话最节省时间进而得答案．【解析】小明应先洗开水壶用1分钟，再烧开水用15分钟，在烧水期间，洗茶壶用1分钟，洗茶杯用1分钟，放茶叶用2分钟，给同学打电话用1分钟，一共用5分钟，不用算入总时间，故为使客人早点喝上茶，小明最快可在16分钟内完成这些工作．选D．【小结】此题主要考查了推理与论证，合理安排时间是解题关键．某班对道德与法治，历史，地理三门程的选考情况进行调研，数据如下：其中道德与法治，历史两门课程都选了的有3人，历史，地理两门课程都选了的有4人，该班至多有多少学生（）A．41 B．42 C．43 D．44科目道德与法治历史地理选考人数（人）191318【分析】根据题意得，只选道德与法治有[19﹣3﹣y]＝（16﹣y）人，只选历史的有[13﹣3﹣（4﹣x）]＝（6+x）人，只选地理的有（18﹣4﹣y）＝（14﹣y）人，即可得出结论．【解析】如图，设三门课都选的有x人，同时选择地理和道德与法治的有y人，根据题意得，只选道德与法治有[19﹣3﹣y]＝（16﹣y）人，只选历史的有[13﹣3﹣（4﹣x）]＝（6+x）人，只选地理的有（18﹣4﹣y）＝（14﹣y）人，即：总人数为16﹣y+y+14﹣y+4﹣x+6+x+3＝43﹣y当同时选择地理和道德与法治的有0人时，总人数最多，最多为43人，选C．【小结】此题是推理论证的题目，主要考查了学生的推理能力，表示出只选一种科目的人数是解本题关键．

甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是（）A．甲的车是白色的，乙的车是银色的 B．乙的车是蓝色的，丙的车是红色的 C．丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D．丁的车是银色的，甲的车是红色的【分析】先判断出乙和丙的车不是红色，进而判断出甲的车是红色，再根据丙的说法不是实话，判断出丁的车是蓝色，再根据甲的说法判断出丙和乙的车的颜色．【解析】∵丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，假设乙的车是红色，∴乙的说法是实话，∴丙的车也是红色，和乙的车是红色矛盾，假设丙的车是红色，∴丙的说法是实话，而乙说：“丙的车是红色的．”，∴乙的说法是实话，∴有两人说的是实话，与只有一个人是说法是实话矛盾，∴只有甲的车是红色，∴甲的说法是实话，∴丙的说法不是实话，∵丙说：“丁的车不是蓝色的．”∴丁的车是蓝色，∴乙和丙的车一个是白色，一个是银色，∵甲说：“乙的车不是白色．”且甲的说法是实话，∴丙的车是白色，乙的车是银色，即：甲的车是红色，乙的车是银色，丙的车是白色，丁的车是蓝色，选C．【小结】此题是推理与论证题目，解决此类题目先假设某个说法正确，然后根据题意进行分析推理，看是否有矛盾，进而得出结论，

A，B，C，D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A，D，C，B；乙：从第一名开始，名次顺序是A，C，B，D，比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，请写出四个队的名次顺序是（）A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C【分析】两人都猜对了一个队的名次，已知两队猜的第一名是错误的，因此甲猜的第四名和乙猜的三名也是错误的．因此甲猜的第三项和乙猜的第四项是正确的，即这四个队的名次顺序为B、A、C、D．【解析】由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次，且第一名是B队．那么甲、乙的猜测情况可表示为：甲：错、错、对、错；乙：错、错、错、对．因此结合两个人的猜测情况，可得出正确的名次顺序为B、A、C、D．选A．【小结】解决本题的关键，是要综合考虑两个人的猜测情况，以免造成多解和错解．平行线公理及其推论平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。下列说法中，正确的是（）A．两条不相交的直线叫平行线B．一条直线的平行线有且只有一条 C．若直线a∥b，a∥c，则b∥c D．两条直线不相交就平行【分析】根据平行线的定义判断A；根据平行线的性质判断B；根据平行公理的推论判断C；根据两条直线的位置关系判断D．【解析】A、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；B、一条直线的平行线有无数条，故本选项错误；C、若直线a∥b，a∥c，则b∥c，满足平行公理的推论，故本选项正确；D、在同一平面内两条直线不相交就平行，故本选项错误．选C．【小结】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．已知在同一平面内，有三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则直线a与直线c之间的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．垂直 D．平行或相交【分析】根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可．【解析】∵在同一平面内，直线a∥b，直线b∥c，∴直线c与直线a的位置关系是：a∥c，选B．【小结】此题主要考查了平行公理的推论，熟练记忆推论内容是解题关键．下列说法正确的是（）A．a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c【分析】根据“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”和“在同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行”解答即可．【解析】A、正确，根据“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．B、错误，因为“在同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行”．C、错误，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c则a⊥c；D、错误，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c．选A．【小结】此题考查的是平行线的判定和性质定理，比较简单．

下列语句：①不相交的两条直线叫平行线②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用平行公理以及其推论分析得出答案．【解析】①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，正确③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确；⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，选B．【小结】此题主要考查了平行公理及推论，正确把握定义是解题关键．

完善证明过程完成下面推理：如图，已知：DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，求证：∠FDE＝∠DEB证明：∵DE∥BC（已知）∴∠ADE＝∠（）∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，（已知）∴∠ADF=12∠ABE=12∠（∴∠ADF＝∠ABE∴DF∥（）∴∠FDE＝∠DEB（）【分析】根据平行线的性质得出∠ADE＝∠ABC，根据角平分线定义得出∠ADF=12∠ADE，∠ABE=12∠ABC，推出∠ADF＝∠ABE，根据平行线的判定得出【解析】∵DE∥BC（已知），∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），∵DF、BE分别平分ADE、∠ABC，∴∠ADF=12∠∠ABE=12∠∴∠ADF＝∠ABE，∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行），∴∠FDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等），【小结】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能熟记平行线的性质和判定定理是解此题的关键．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．补全证明过程：（括号内填写理由）一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A、G、H、D，如果∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C．证明：∵∠1＝∠2（），∠1＝∠3，（）∴∠2＝∠3，（）∴CE∥BF，（）∴∠C＝∠4，（）又∵∠A＝∠D，（）∴AB∥，（）∴∠B＝∠4，（）∴∠B＝∠C．（）【分析】根据平行线的性质和判定解答即可．【证明】∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠2＝∠3（等量代换），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），∴∠C＝∠4（两直线平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠B＝∠4（两直线平行，内错角相等），∴∠B＝∠C（等量代换）．故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【小结】此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理．

几何说理填空：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．证明：连接EF∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°（）．∴∥（）．∴∠3＝∠（）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4．即∠DEF＝∠EFC∴DE∥BC（）．【分析】要证明DE∥FC，可证明∠DEF＝∠EFC，由于∠1＝∠2，可证明∠3＝∠4，需证明EH∥FG，可通过垂直的性质得到．【证明】连接EF∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°（垂线的性质）．∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4．即∠DEF＝∠EFC∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【小结】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定并学会分析是解决本题的关键．

如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°∴∠ADF＝∠BCF（）∴AD∥BC（）∵BE平分∠ABC∴∠ABC＝2∠ABE（）又∵∠ABC＝2∠E∴∠ABE＝∠E∴AB∥EF（）∵AD∥BC∴∠BAD+∠ABC＝180°（）∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD∴∠ABE=12∠ABC，∠BAF=∴∠ABE+∠BAF=12∠ABC+12∠BAD=∵AB∥EF（）∴∠BAF＝∠F（）∵∠ABE＝∠E∴∠E+∠F＝90°（）

【分析】根据平行线的性质和判定，同角的补角相等以及等量代换，结合图形直观得出答案．【证明】∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°∴∠ADF＝∠BCF（同角的补角相等）∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）∵BE平分∠ABC∴∠ABC＝2∠ABE（角平分线定义）又∵∠ABC＝2∠E∴∠ABE＝∠E∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）∵AD∥BC∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）BE平分∠ABC，AE平分∠BAD∴∠ABE=12∠ABC，∠BAF=∴∠ABE+∠BAF=12∠ABC+12∠BAD=∵AB∥EF（己证）∴∠BAF＝∠F（两直线平行，内错角相等）∠ABE＝∠E∴∠E+∠F＝90°（等量代换）【小结】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的判定方法和性质是正确解答的前提．

同位角、内错角、同旁内角的判断直线AB，CD被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角。如图，下列说法中错误的是（）A．∠3和∠5是同位角 B．∠4和∠5是同旁内角 C．∠2和∠4是对顶角 D．∠2和∠5是内错角【分析】根据同位角，同旁内角，对顶角以及内错角的定义进行判断．【解析】A、∠3和∠5是同位角，故本选项不符合题意．B、∠4和∠5是同旁内角，故本选项不符合题意．C、∠2和∠4是对顶角，故本选项不符合题意．D、∠2和∠5不是内错角，故本选项符合题意．选D．【小结】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．

同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（）A．同位角、同旁内角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系一对角互为同旁内角．据此作答即可．【解析】根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角,选B．【小结】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．如图，同位角共有（）对．A．6 B．5 C．8 D．7【分析】根据同位角的概念解答即可．【解析】同位角有5对，∠4与∠7，∠3与∠8，∠1与∠7，∠5与∠6，∠2与∠9，∠1与∠3，选A．【小结】此题考查同位角，关键是根据同位角解答．

如图，下列结论正确的是（）A．∠4和∠5是同旁内角 B．∠3和∠2是对顶角 C．∠3和∠5是内错角 D．∠1和∠5是同位角【分析】根据同旁内角，对顶角，内错角以及同位角的定义解答．【解析】A、∠4和∠5是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误．B、∠3和（∠1+∠2）是对顶角，故本选项错误．C、∠3和∠5是内错角，故本选项正确．D、∠1和（∠1+∠2）是同位角，故本选项错误．选C．【小结】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．

利用平行线的性质求角两条直线平行则同位角、内错角相等，同旁内角互补.如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（）A．28° B．22° C．32° D．38°【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2＝∠AEC，代入求出即可．【解析】如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠1＝38°，∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝22°，∵GH∥EF，∴∠2＝∠AEC＝22°，选B．【小结】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的运用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．

如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．68° B．58° C．48° D．32°【分析】因直尺和三角板得AD∥FE，∠BAC＝90°；再由AD∥FE得∠2＝∠3；平角构建∠1+∠BAC+∠3＝180°得∠1+∠3＝90°，已知∠1＝32°可求出∠3＝58°，即∠2＝58°．【解析】如图所示：∵AD∥FE，∴∠2＝∠3，又∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠BAC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠1＝32°，∴∠3＝58°，∴∠2＝58°，选B．【小结】本题综合考查了平行线的性质，直角，平角和角的和差相关知识的应用，重点是平行线的性质．

如图，某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来方向相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（）A．20° B．25° C．35° D．50°【分析】由题意可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得∠BCF+∠ABC＝180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，再由平行线的性质，即可得出∠CDE的度数．【解析】由题意得，AB∥DE，如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC＝180°，∴∠BCF＝180°﹣125°＝55°，∴∠DCF＝75°﹣55°＝20°，∴∠CDE＝∠DCF＝20°．选A．【小结】本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．

将AD与BC两边平行的纸条ABCD按如图所示折叠，则∠1的度数为（）A．72° B．45° C．56° D．60°【分析】根据折叠的性质得出∠C'EF＝62°，利用平行线的性质进行解答即可．【解析】∵一张长方形纸条ABCD折叠，∴∠C'EF＝∠FEC＝62°，∵AD∥BC，∴∠1＝∠C'FB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，选C．【小结】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．观察图形，掌握平行线的性质是解题关键．三角形内角和与平行线如图，将一副三角板如图放置，若AE∥BC，则∠BAD＝（）A．90° B．85° C．75° D．65°【分析】利用平行线的性质求出∠ADB，再利用三角形内角和定理即可解决问题【解析】∵AE∥BC，∴∠ADB＝∠DAE＝45°，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，选C．【小结】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．一副三角板如图放置，点D在CB的延长线上，EF∥CD，∠C＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠EFD＝30°，则∠DFB＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BFE＝45°，进而得出答案．【解析】由题意可得：∠EFD＝30°，∠ABC＝45°，∵EF∥CD，∴∠BFE＝∠ABC＝45°，∴∠DFB＝45°﹣30°＝15°，选A．【小结】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BFE的度数是解题关键．如图，△ABC是一块直角三角板，∠C＝90°，∠A＝30°，现将三角板叠放在一把直尺上，AC与直尺的两边分别交于点D、E，AB与直尺的两边分别交于点F、G，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠1＝∠DFG＝40°，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．【解析】∵DF∥EG，∴∠1＝∠DFG＝40°，又∵∠A＝30°，∴∠2＝∠A+∠DFG＝30°+40°＝70°，选D．【小结】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．140° B．130° C．120° D．110°【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由∠ACB＝90°得出∠4的度数，根据补角的定义即可得出结论．【解析】如图：∵m∥n，∠1＝30°，∴∠3＝∠1＝30°．∵∠ACB＝90°，∴∠4＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣30°＝60°，∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣60°＝120°．选C．【小结】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．

三角形内角和与角平分线如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB．（Ⅰ）若∠A＝60°，则∠BOC的度数为；（Ⅱ）若∠A＝100°，则∠BOC的度数；（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）由三角形内角和定理以及角平分线的定义得出∠CBO+∠BCO＝（180°﹣∠A），再由三角形内角和定理即可得出∠BOC的度数．（Ⅱ）和（Ⅲ）方法同（Ⅰ）．【解析】（Ⅰ）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A＝60°，∴∠CBO+∠BCO＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣60°＝120°；故答案为：120°；（Ⅱ）同理，若∠A＝100°，则∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝140°，故答案为140°；（Ⅲ）同理，若∠A＝α，则∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+．【小结】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

如图，AD是△ABC的高线，AE是角平分线，若∠BAC：∠B：∠C＝6：3：1，求∠DAE的度数．【分析】根据三角形的内角和列方程即可得到结论．【解析】∵∠BAC：∠B：∠C＝6：3：1，∴设∠BAC＝6α，∠B＝3α，∠C＝α，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴6α+3α+α＝180°，∴α＝18°，∴∠BAC＝108°，∠B＝54°，∠C＝18°，∵AD是△ABC的高线，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°﹣54°＝36°，∵AE是角平分线，∴∠BAE＝BAC＝108°＝54°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣36°＝18°．【小结】本题主要考查了三角形高线、角平分线以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．

如图，AE、BF分别为△ABC的角平分线，它们相交于点O．（1）试说明∠BOA＝90°+∠C；（2）AD是△ABC的高，∠BOA＝115°，∠BAC＝60°时，求∠DAE的度数．【分析】（1）先根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）的度数，由角平分线的定义和三角形内角和定理可得结论；（2）先根据角平分线的定义可得∠CAE的度数，求出∠C的度数，根据高线和直角三角形的两锐角互余可得结论．【解析】（1）∵∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C，∵AE、BF是角平分线，∴∠EAB＝∠BAC，∠FAB＝，∴∠EAB+∠FAB＝＝＝90，∴∠AOB＝180°﹣（90）＝90．（2）∵∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，∴∠CAE＝＝30°，∵∠BOA＝115°，，∴∠C＝50°，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝40°﹣30°＝10°．【小结】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的高线与角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，∠CAB与∠BD的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和解答即可．【证明】（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）在AP、CD相交线中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，在AB、DP相交线中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，∵AP、DP分别平分∠CAB、∠BDC，∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，∴∠B+∠C＝2∠P．【小结】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．

三角形外角性质与平行线如图，AB∥CD，∠B＝2∠D，∠E＝22°，则∠D的度数为（）A．22° B．44° C．68° D．30°【分析】根据平行线的性质解答即可．【解析】∵AB∥CD，∴∠B＝∠EFC，∴∠E＝∠EFC﹣∠D＝∠B﹣∠D＝2∠D﹣∠D＝∠D，∵∠E＝22°，∴∠D＝22°，选A．【小结】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．

已知l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2＝32°，那么∠1等于（）A．28° B．32° C．20° D．16°【分析】依据对顶角以及三角形内角和定理，即可得到∠4的度数，再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得出∠1的度数．【解析】∵∠C＝90°，∠2＝∠CFE＝32°，∴∠4＝58°，∵l1∥l2，∴∠3＝∠4＝58°，∵∠3是△ADG的外角，∴∠1＝∠3﹣∠A＝58°﹣30°＝28°，选A．【小结】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质的运用，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

如图，直线AE∥DF，若∠ABC＝120°，∠DCB＝95°，则∠1+∠2的度数为（）A．45° B．55° C．35° D．不能确定【分析】利用平行线的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．【解析】∵AE∥DF，∴∠3+∠4＝180°，∵∠ABC＝∠1+∠3＝120°，∠DCB＝∠2+∠4＝95°，∴∠1+∠3+∠2+∠4＝120°+95°，∴∠1+∠2＝215°﹣180°＝35°，选C．【小结】本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

如图，已知直线EC∥BD，直线CD分别与EC，BD相交于C，D两点．在同一平面内，把一块含30°角的直角三角尺ABD（∠ADB＝30°，∠ABD＝90°）按如图所示位置摆放，且AD平分∠BAC，则∠ECA＝（）A．15° B．2 C．25 D．30°【分析】如图，延长BA交EC于H．利用平行线的性质求出∠AHC＝90°，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．【解析】如图，延长BA交EC于H．∵EC∥BD，∴∠CHA+∠ABD＝180°，∵∠ABD＝90°，∴∠AHC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝120°，∵∠BAC＝∠AHC+∠ECA，∴∠ECA＝30°，选D．【小结】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

三角形的外角性质与角平分线如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝．（直接在横线上填写度数）（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明．【分析】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠ACD＝∠A+∠B＝65°，依据AC平分∠DCE，可得∠ACE＝∠ACD＝65°，进而得出∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°；（2）依据AC平分∠DCE，可得∠ACD＝∠ACE，依据三角形外角性质可得∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，根据∠ACD＝∠A+∠B，即可得到∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．【解析】（1）∵∠A＝35°，∠B＝30°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝65°，又∵AC平分∠DCE，∴∠ACE＝∠ACD＝65°，∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°，故答案为：100°；（2）关系式为∠BEC＝2∠A+∠B．理由：∵AC平分∠DCE，∴∠ACD＝∠ACE，∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠B，∴∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．【小结】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．【分析】根据直角三角形的性质求出∠BAD的度数，得到∠BAC的度数，根据邻补角的性质求出∠CAM的度数，根据角平分线的定义求出∠MAE的度数，根据三角形的外角的性质计算即可．【解析】∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，∴∠BAC＝54°，∴∠MAC＝126°，∵AE是∠BAC外角的平分线，∴∠MAE＝∠MAC＝63°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝23°，∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．【小结】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC．（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD＝∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAG，再根据等量代换可得∠FAE＝∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD＝∠ADC．【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC；（2）探究（1）中结论仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD＝∠GAD，∵∠FAE＝∠GAD，∴∠FAE＝∠BAD，∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，又∵∠AEB＝∠ABC，∴∠EFD＝∠ADC．【小结】此题主要考查三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

探究：（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°+∠A．（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可；（2）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．（3）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明．【证明】（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠A），根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；（2）∠A＝∠P，理由如下：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE．∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴∠ACP＝∠ABC+∠A，∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，∴∠A＝∠P．（3）∠P＝90°﹣∠A，理由如下：∵P点是外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠FBC+∠ECB）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣（∠A+180°）＝90°﹣∠A．【小结】考查角平分线定义，一个三角形外角等于与它不相邻两个内角和以及补角定义以及三角形内角和为180°，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解．三角形内角和与外角性质小明把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1+∠2等于（）A．120° B．150° C．180° D．210°【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答即可．【解析】如图：∵∠1＝∠D+∠DOA，∠2＝∠E+∠EPB，∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，∴∠1+∠2＝∠D+∠E+∠COP+∠CPO＝∠D+∠E+180°﹣∠C＝30°+90°+180°﹣90°＝210°，选D．【小结】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答．如图，五角星的顶点为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（）A．90° B．180° C．270° D．360°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解析】如图，由三角形的外角性质得，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故选B．【小结】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（）A．360° B．300° C．180° D．240°【分析】根据三角形的外角的性质，得∠B+∠C＝∠CGE＝180°﹣∠1，∠D+∠E＝∠DFG＝180°﹣∠2，两式相加再减去∠A，根据三角形的内角和是180°可求解．【解析】∵∠B+∠C＝∠CGE＝180°﹣∠1，∠D+∠E＝∠DFG＝180°﹣∠2，∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝360°﹣（∠1+∠2+∠A）＝180°,选C．【小结】考查三角形的外角性质：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和定理．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（）A．360° B．720° C．540° D．240°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根据邻补角求出∠EOF，然后求解即可．【解析】如图，根据三角形的外角性质，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠BOF＝120°，∴∠3＝180°﹣120°＝60°，根据三角形内角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．选D．【小结】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并把各角进行转化是解题的关键．

三角形的内角和及外角的性质：双角平分线某校七年级数学小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解析】（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°-12（∠＝180°-12（180°﹣∠＝180°﹣90°+12＝90°+12＝90°+＝122°．（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=1∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠∴∠BEC=12∠A（3）结论∠BQC＝90°-12∠∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB，＝180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A＝180°-12∠A-12（∠A+∠ABC＝180°-12∠A﹣＝90°-12∠（4）由（3）可知，∠BQC＝90°-12∠A＝90°-1由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+1由（2）可知，∠R=12∠BQC【小结】考查三角形外角性质与内角和定理，熟记三角形一个外角等于与它不相邻两个内角和是解题关键．阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝．（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．【解析】（1）如图1，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠=12（180°﹣∠=12（180°﹣60＝60°∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD∴∠OBC=12∠ABC，∠OCD=∵∠ACD＝∠ABC+∠A∴∠OCD=12（∠ABC+∠∵∠OCD＝∠OBC+∠O∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC=12∠ABC+12∠=12＝30°如图3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∴∠OBC=12∠EBC，∠OCB=∴∠OBC+∠OCB=12（∠EBC+∠=12（∠A+∠ACB+∠=12（∠A+180=12（60°+180＝120°∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°如图4，∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2∴∠O2BC=23∠ABC，∠O2CB=23∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1∴∠O2BC+∠O2CB=23（∠ABC+∠=23（180°﹣∠=23（180°﹣60＝80°∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°∴∠BO2O1=12∠BO2C（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°-12（∠ABC+∠＝180°-12（180°﹣∠＝90°+12∠（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°∴α＝20°，β＝25°∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，∴∠A＝70°．【小结】本题考查了利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进行角的计算或证明，熟练掌握相关性质定理及其应用，是解题的关键．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°-12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E【解析】（1）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12×（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠=12（360°﹣∠ABC﹣∠=12（180°+∠＝90°+12∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°-1（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+=12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．【小结】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．（1）如图①，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；（2）如图②，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角∠ACM，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；（3）如图③，在锐角△ABC中，BD和BE三等分外角∠PBC，CD和CE三等分外角∠QCB，请分别直接写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后求解；（2）根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，列式计算即可；（3）根据三角形内角和、外角和定理，及平角定义，列式计算即可．【解析】（1）∠D＝60°+23∠A，∠E＝120°+1∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BE三等分，CE三等分∠ACB，∴∠EBC=13∠ABC，∠ECB=1∴∠EBC+∠ECB=13（∠ABC+∠ACB）=13（180°﹣∠A）＝60°∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（60°-13∠A）＝120°（2）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D=23∠A，∠E=1∵BE三等分∠ABC，CE三等分外角∠ACM，∴∠EBC=13∠ABC，∠ECM=1∴∠E＝∠ECM﹣∠EBC=13（∠ACM﹣∠ABC）=1（3）∠D＝60°-23∠A，∠E＝120-1∵BE三等分外角∠PBC，CE三等分外角∠QCB，∴∠CBE=13∠CBP，∠BCE=∴∠E＝180°-13（∠CBP+∠＝180°-13（360°﹣∠ABC﹣∠＝180°﹣120°+13（180°﹣∠＝120-13【小结】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是综合运用所学知识解决问题．三角形的内角和及外角的性质：折叠问题如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【解析】如图，设AC交DA′于F．由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，选C【小结】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．36° B．72° C．50° D．46°【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【解析】由折叠的性质得：∠D＝∠C＝36°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+72°，则∠1﹣∠2＝72°．选B．【小结】此题考查了翻折变换（折叠问题）以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．

如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠1+∠2＝2∠A B．∠1+∠2＝∠A C．∠A＝2（∠1+∠2） D．∠1+∠2=12【分析】根据折叠得出∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，求出2∠ADE＝180°﹣∠1，2∠AED＝180°﹣∠2，推出∠ADE＝90°-12∠1，∠AED＝90°-12∠2，在△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED【解析】如图，延长BD和CE交于A′，∵把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴2∠ADE＝180°﹣∠1，2∠AED＝180°﹣∠2，∴∠ADE＝90°-12∠1，∠AED＝90°-∵在△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE），∴∠A=12∠1+即2∠A＝∠1+∠2．选A．【小结】本题考查了折叠的性质和三角形的内角和定理的应用，关键是得出等式∠ADE＝90°-12∠1，∠AED＝90°-12∠2，∠A＝180°﹣（∠AED

现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是．【分析】（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；（2）先根据折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由两个平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；（3）利用两次外角定理得出结论；（4）与（2）类似，由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，再由两平角的和为360°得：∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，根据四边形内角和：∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，代入得结论．【解析】（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：由折叠得：∠A＝∠DA′A，∵∠1＝∠A+∠DA′A，∴∠1＝2∠A；（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是：∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1，∴∠2＝∠A′+∠A+∠1，∵∠A＝∠A′，∴∠2＝2∠A+∠1，∴∠2﹣∠1＝2∠A；（4）如图4，由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，∵∠DNA+∠BMC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，∵∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，∴∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）＝2（∠A+∠B）﹣360°，【小结】本题是折叠变换问题，思路分两类：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角定义和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．

利用三角形的高和角平分线性质求角如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．【分析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．【解析】（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．（2）∵B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝90°-12（α+∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°-12（α+∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE=12（β﹣【小结】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．如图，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；（2）当点P在线段AD上运动时，求证：∠E=1【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【解析】（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝30°．∴∠ADC＝65°．又∵∠DPE＝90°，∴∠E＝25°（2）证明：∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝90°-12（∠B∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°-12（∠ACB﹣∠∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°．∴∠ADC+∠E＝90°．∴∠E＝90°﹣∠ADC，即∠E=12（∠ACB﹣∠【小结】此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．

如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）求∠DAE的度数．【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，根据三角形的内角定理即可得到结论．【解析】（1）∵∠B＝50°，∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=1∵FG⊥AE，∴∠AHG＝90°，∴∠AGF＝180°﹣90°﹣25°＝65°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠AED＝∠B+∠BAE＝50°+25°＝75°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝15°．【小结】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．

△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝62°，请说明∠DAE的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数．【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；（2）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；（3）设∠ACB＝α，根据角平分线的定义得到∠CAG=12∠EAC=12（90°﹣α）＝45°-12α，∠BCG=1【解析】（1）∵∠B＝40°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=12∠BAC＝39∵AE是BC边上的高，在直角△AEC中，∵∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣62°＝28°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣28°＝11°；（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=12∠BAC＝90°-12（∠B∵AE是BC边上的高，在直角△AEC中，∵∠EAC＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°-12（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）=12（∠（3）设∠ACB＝α，∵AE⊥BC，∴∠EAC＝90°﹣α，∠BCF＝180°﹣α，∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，∴∠CAG=12∠EAC=12（90°﹣α）＝45°-12α，∠BCG=1∴∠G＝180°﹣∠GAC﹣∠ACG＝180°﹣（45°-12α）﹣α﹣（90°-【小结】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．八字形中的角度计算如图，AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，∠B＝∠BDC＝45°，∠C＝51°，求∠E的度数．【分析】根据平行线的判定和性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论．【解析】∵∠B＝∠BDC＝45°，∴AB∥CD，∵∠C＝51°，∴∠BAC＝∠C＝51°，∵AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，∴∠BAE=12∠BAC=51°2，∠∵∠AFB＝∠DFE，∴∠E＝∠B+∠