2019年六校教育研究会高一新生入学素质测试

2019年六校教育研究会高一新生入学素质测试MathematicsTestPaper2019SixSchoolEducationResearchAssociationFreshmanEntranceQualityTestMathematics[Notes]1.Thistestpaperhas8pages,atotalscoreof100points,andatimelimitof120minutes.Pleasemanageyourtimewell.2.Fillinyournameandadmissionticketnumberinthecorrespondingpositionoftheanswersheetwithapen.3.Candidatesmustanswerontheanswersheet.Answeringonthetestpaperisinvalid.Pleasewriteclearlyandkeeptheanswersheetneat.Part1MultipleChoice(30pointsintotal)1.Thevalueofexpression-1is()A.-1B.0C.1D.22.Therangeofindependentvariablexinthefunctiony=(x+3)/(x-1)is()A.x≥-3B.x≥-3andx≠1C.x≠1D.x≠-3andx≠13.Ifthevalueof(11ab)/(ab2-a-b)is(-1/2),thenthevalueof(11ab)/(2a-b)is()A.1B.-1C.2D.-24.Asolidisformedbysomesmallcubesofthesamesize.Thefrontviewandtheleftviewofthesolidareshowninthefigure.Theminimumnumberofsmallcubesthatmakeupthissolidis()A.3B.4C.5D.6FrontviewLeftviewFigureforquestion45.Asshowninthefigure,therearefivepointsO,A,B,C,andDonthenumberline.Basedonthenumbersrepresentedbythepointsinthefigure,thepositionofthepointrepresenting18onthenumberlinefallsonthelinesegment()O·ABC···2.53.64.7D·5.8A.OAB.ABC.BCD.CD6.Thelengthsoftwosidesofatriangleare3and4,andthelengthofthethirdsideistherootoftheequationx^2-13x+40=0.Theperimeterofthetriangleis()A.15B.12C.12or15D.Noneoftheabove7.Apaperchainismadebyrepeatingthepatternofred,yellow,green,blue,andpurple.Aftercuttingoffapartofthepaperchain,theremainingpartisshowninthefigure.Thenumberofpaperlinksthatmayhavebeencutoffis()A.2019B.2018C.2017D.2013...RedYellowGreenBluePurpleRedYellowGreenYellowGreenBluePurple2MathematicsTestPaper8.Asshowninthefigure,acirculararcisdrawnthroughthelatticepointsA,B,andC.WhichofthefollowinglatticepointsistangenttothecirculararcwhenconnectedtopointB?A.Point(,3)B.Point(5,1)C.Point(2,3)D.Point(6,1)9.In△ABC,AB=10,AC=8,andBC=6.AmovingcirclepassesthroughpointCandistangenttosideABatpointF.ThecircleintersectssidesCBandCAatpointsEandD,respectively.TheminimumvalueofthelengthoflinesegmentEFis()A.4.8B.4.75C.4.2D.510.Asshowninthefigure,quadrilateralOABCisarhombus,andpointChascoordinates(4,0).∠AOC=60°.Astraightlinelperpendiculartothex-axisstartsfromthey-axisandmovestotherightalongthex-axisatarateof1unitlengthpersecond.ThelinelintersectssidesOAandBCatpointsMandN,respectively.(PointAisnotshowninthefigure)ThecoordinatesofpointNare()A.(2,2)B.(2,0)C.(6,2)D.(6,0)Note:Theoriginalformattingerrorshavebeencorrected,andobviousproblematicparagraphshavebeendeleted.Theoriginaltextwasalsoslightlyeditedforclarity.现全校共有留守儿童120人，其中男生占留守儿童总数的40%，女生中有20%的人数是小学生，男生中有30%的人数是初中生，而女生中有50%的人数是初中生。求：（1）男生留守儿童的人数；（2）女生初中生留守儿童的人数；（3）男生小学生与女生初中生留守儿童的人数之和；（4）男生初中生与女生小学生留守儿童的人数之和；（5）男生初中生与女生初中生留守儿童的人数之和，占留守儿童总数的百分比是多少？（结果均保留整数）五、（本题满分8分）21.“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷。为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务。（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？总厂生产的帐篷数为$9\times1.6=14.4$千顶，分厂生产的帐篷数为$9\times1.5=13.5$千顶。（2）现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A、B两地，由于两市通往A、B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同。已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表：\begin{center}\begin{tabular}{c|cc}&A地&B地\\\hline每千顶帐篷所需车辆数&4&3\\甲市所急需帐篷数（单位：千顶）&9&7\\乙市所急需帐篷数（单位：千顶）&5&5\end{tabular}\end{center}请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少。说明理由，并求出最少车辆总数。首先将甲、乙两市的帐篷分别装上车，需要的车辆数分别为$9\times4+5\times3=51$。然后考虑从甲、乙两市运送到A、B两地的方案。为了使所需的车辆总数最少，我们需要让运送到A、B两地的帐篷尽量多，也就是让每辆车都装满帐篷。因此，我们可以先将甲、乙两市的帐篷按比例分配到A、B两地，然后再根据每辆车的运载量将帐篷装上车。设甲市向A、B两地分别运送$x$和$y$千顶帐篷，乙市向A、B两地分别运送$z$和$w$千顶帐篷。则有以下方程组：\begin{cases}x+z=14.4\\y+w=13.5\\4x+3y=9\\4z+3w=7\end{cases}解得$x=1.8$，$y=4.5$，$z=1.2$，$w=2.7$。因为每辆车最多能装载$4$千顶帐篷，所以甲市向A、B两地需要的车辆数为$\lceil1.8/4\rceil+\lceil4.5/4\rceil=3$，乙市向A、B两地需要的车辆数为$\lceil1.2/4\rceil+\lceil2.7/4\rceil=1$。因此，总共需要的车辆数为$51+3+1=\boxed{55}$。六、（本题满分8分）22.如图，已知$Rt\triangleABC$和$Rt\triangleEBC$，$\angleB=90^\circ$。以AC上的点O为圆心、OA为半径的$\odotO$与EC相切，切点为P，AD//BC。（1）求证：$\angleE=\angleACB$。如图，连接OP，交AB于点Q。因为$\odotO$与EC相切，所以$\angleOPE=90^\circ$。又因为$\angleB=90^\circ$，所以BE是$\triangleBOP$的高。因此，$\anglePBE=\angleOBP$。又因为$\angleBEC=\angleBOC=90^\circ$，所以$\triangleBEC\cong\triangleBOC$，从而$\angleBCO=\angleBEC$。因此，$\angleQCE=\angleQCB-\angleBCE=\angleOBP-\anglePBE=\angleOBE=\angleOAE$。又因为$\angleQEC=90^\circ$，所以$\triangleQEC\sim\triangleOAE$，从而$\angleE=\angleACB$。（2）若AD=1，$\tan\angleDAC=\frac{2}{\sqrt{5}}$，求BC的长。如图，连接BD，CE，交线段AD于点F。因为$\triangleADF\sim\triangleBDC$，所以$\frac{BD}{AD}=\frac{DC}{DF}$，即$BD=\frac{AD\cdotDC}{DF}=\frac{AD\cdotEC}{AC-AD}=\frac{1\cdot2}{\sqrt{5}-1}=\sqrt{5}+1$。因为$\triangleAEF\sim\triangleBEC$，所以$\frac{BE}{AE}=\frac{EC}{EF}$，即$BE=\frac{AE\cdotEC}{EF}=\frac{AC\cdotEC}{2EF}=\frac{2\cdot2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$。因为$\triangleBFC\sim\triangleBEC$，所以$\frac{BC}{BE}=\frac{FC}{EC}$，即$BC=\frac{BE\cdotEC}{FC}=\frac{BE\cdotEC}{AE-AD}=\frac{4}{\sqrt{5}-1}=\boxed{2\sqrt{5}}$。七、（本题满分10分）23.如图所示，二次函数过A（$0,m$），B（$-3,0$），C（$12,0$），过点A作x轴的平行线交抛物线于一点D，线段OC上有一动点P，连接DP，作PE⊥DP，交y轴于点E。（1）求AD的长。因为A点在二次函数上，所以二次函数的解析式为$y=ax^2+m$，其中$a\neq0$。因为B点在二次函数上，所以$0=a(-3)^2+m$，解得$m=9a$。因为C点在二次函数上，所以$0=a\cdot12^2+m$，解得$m=-144a$。因此，二次函数的解析式为$y=a(x+3)(x-12)$。因为过点A作x轴的平行线与二次函数交于点D，所以$AD=3-(-12)=15$。（2）若在线段OC上存在不同的两点P1、P2，使相应的点E1、E2都与点A重合，试求m的取值范围。如图，连接P1E1，P2E2，交线段AD于点F。因为$\triangleADF\sim\triangleCDP_1$，所以$\frac{AD}{CD}=\frac{DF}{DP_1}$，即$DP_1=\frac{15\cdotPF}{PC}$。因为$\triangleP_1DE_1\sim\triangleP_1DC$，所以$\frac{P_1E_1}{P_1D}=\frac{P_1C}{P_1D}$，即$P_1E_1=\frac{PC\cdotP_1D}{P_1C}=\frac{PC\cdotDP_1}{PC-DP_1}=\frac{15\cdotPF}{PC-PF}$。因为E1与A重合，所以$P_1E_1=9-m$。因此，$9-m=\frac{15\cdotPF}{PC-PF}$，即$PF=\frac{(9-m)(PC-PF)}{15}$。同理，因为$\triangleADF\sim\triangleCDP_2$，所以$DP_2=\frac{15\cdotPF}{PC}$。因为$\triangleP_2DE_2\sim\triangleP_2DC$，所以$P_2E_2=\frac{PC\cdotDP_2}{P_2C}=\frac{15\cdotPF}{PC+PF}$。因为E2与A重合，所以$P_2E_2=9-m$。因此，$9-m=\frac{15\cdotPF}{PC+PF}$，即$PF=\frac{(9-m)PC}{15+m}$。联立以上两个式子，解得$PC=\frac{15\sqrt{m^2-18m+81}}{m-9}$。因为P1、P2不同，所以$PF\neq0$，从而$PC-PF\neq0$，$PC+PF\neq0$。因此，$m\in\boxed{(0,9)\cup(9,18)}$。（3）设抛物线的顶点为点Q，当$60^\circ\leq\angleBQC\leq90^\circ$时，求m的变化范围。如图，连接AQ，BQ，CQ，交线段AD于点G。因为$\triangleADF\sim\triangleBQG$，所以$\frac{AD}{BQ}=\frac{DF}{QG}$，即$QG=\frac{15\cdotBF}{BC