概率论试题库

概率论试题库考试试卷分布说明：试卷共四个大题：选择题、填空题、判断题和解答题，共22个小题。其中：选择题共5个小题（4个基础题，1个能力题），每小题4分，共20分；填空题共6个（5个基础题，1个能力题），每小题4分，共24分；判断题共6个（5个基础题，1个能力题），每小题2分，共12分；解答题共5个（3个基础题，1个能力题,1个提高题），3个基础题每小题8分，能力题和提高题各10，共44分。满足:基础题：能力题：提高题=7:2:1。一、选择题40小题。（每小题4分，共5小题，共20分）1、从四个乒乓球种子选手中选两个人代表学校出去比赛，在比赛前采用每两个人都对决的选拔赛，则选拔赛共要举行的场数为（A）A、6 B、30 C、4 D、32、下列不属于抽样调查的特点的是（D）A、经济性 B、时效性 C、广泛性 口、客观性3、书架上一共有3本英文书，2本法文书，5本中文书，从中任取一本，则取得的书是外文书的概率（A）A、0.5 B、0.1 C、0.2 D、0.64、设某种电灯泡的寿命X服从正态分布N（小。2），其中从是未知的，现在随机的抽取4只这种灯泡，测得其寿命为1500，1455,1368,1649,是估计总体均值从为（C）A、1500 B、1649 C、1493 D、13685、某人从A地到B地要经过两个有红、黄、绿灯的交通路口，则他一路是碰绿灯的概率是（C）TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1A、一 B、一 C、—— D、一4 2 27 96、下列表格是某随机变量&的分布列：则表中a的取值是（C）g-2-1012345p0.140.20.1a0.160.150.050.06A、0.05 B、0.13 C、0.14 D、0.127、小明打开收音机，想听电台报时（1小时报一次时），则他等待的时间小于1刻钟的概率是（A）A、0.25B、0.6C、0.5D、0.45

A、0.25B、0.6C、0.5D、0.458、随机变量&〜N（20,25）,则随机变量&的标准差是（D）A、20 B、25 C、45 D、59、甲、乙两人向同一目标射击，甲命中的概率为0.8,乙命中的概率为0.4,则目标被击中的概率为（B）A、0.32 B、0.88 C、0.8 D、0.110、设事件A与B互不相容，且P（A）。0,P（B）。0，则下面结论正确的是（D）A、A与B互不相容； B、PB|A）>0;C、P（AB）=P（A）P（B）; D、P（AB）=P（A）11、书架上一共有3本英文书，2本法文书，5本中文书，从中任取一本，则取得的书是外文书的概率（A）A、0.5B、0.1C、0.2 D、0.6A、0.5B、0.1C、0.2 D、0.612、甲、乙两人向同一目标射击，甲命中的概率为0.6,乙命中的概率为0.5,则目标被两人都击中的概率为（D）A、0.32 B、0.5C、0.56 D、0.3A、0.32 B、0.5C、0.56 D、0.313、某人从甲地到乙地要经过三个有红、绿灯的交通路口，则他一路是碰绿灯的概率是13、某人从甲地到乙地要经过三个有红、绿灯的交通路口，则他一路是碰绿灯的概率是A、B、C、D、A、B、C、D、14、从数字1、2、3、4、5中，随机抽取3个数字组成一个不重复的3位数，其各位数字之和为6的概率为（D）A、3125B、C、D、A、3125B、C、D、1912515、设A、B、C15、设A、B、C为三个事件，则A、B、C至少发生一个的事件应该表示为（B）A、ABC B、AUBUCC、ABCA、ABC B、AUBUCC、ABCD、ABC16、p为二维随机变量代、n）的两个分量&与n的相关系数，则&、n以概率1线性相关的充要条件是（d）A、|p|=0 B、p=-1 C、p=1 D、p=±117、每次试验成功的概率是p（0<p<1），重复进行试验直到第n次才取得r（1<r<n）次成功的概率是（A）

A、CrPrG-PI-nA、CrPrG-PI-nC、Pr(I”)rB、D、C1PrG-P1rn-1Cr-1Pn-1r-1(1-P)-r18、、设己服从双(0,1)分布，且n=a5+b,则D(n)=(D)A、a-bB、a+bC、a D、a219、设A、B、C为三个事件，则A、B、C至少发生两个的事件应该表示为(A)A、ABUACUBCB、ABUACUBCUABC C、ABC D、AUBUC20、某随机变量&服从参数为10的普哇松分布，则其数学期望是(B)A、1 B、10 C、0 D、10021、若函数f(x)是某一随机变量X的概率密度，则一定成立的是(C)A、f(x)的定义域为［0,1］； B、f(x)的值域为［0,1］；C、f(x)非负； D、f(x)在(-8,+8)内连续A)22、设随机变量&~N(小。2)，则下列各式中服从N(0,1)的是(A)A、己-从oB、C、0-1oD、WA、己-从oB、C、0-1oD、W-0N23、设&与n为两个随机变量则下列各式一定正确的是(C)a、d(i+n)=d(1)+d(n)B、D《n)=D色)D(n)c、e《+n)=e化)+e(n)D、E《n)=E化)E(n)24、设随机变量的弓的分布律是:g-2-1012p10211则n42的分布律是(DA、n4241014p10211B、n4241014p25024252525

n42014p212555C、n4C、n42014p212555D、25、将3个不同的球随机地放入4个不同的杯中，有一个杯子放入2个球的概率是(B)..TOC\o"1-5"\h\z, C2 -C2 口 C2 •P2 0 C2•P2 八C2 -C2A、 一3 4- B、 C、 4- D、 443 43 34 3426、下列函数中，可看作某一随机变量X的概率分布密度函数的是(C)AfAf(X)=1+X2,—8<x<+8；B、f(X)= 1,-8<X<+8；1+X2C、f(C、f(X)=八1 、，-8<X<+8；九(1+X2)D、f(X)= 2 ,—8<X<+8.兀(1+X2)27、己知随机变量X,y相互独立且都服从正态分布N(2,4),则(B).A、X+y〜N(4,4) B、X+y〜N(4,8)C、X—y〜N(0,4) D、X-y不服从正态分布28、己知随机变量X服从二项分布B(10,0.2),则方差D(X)=(D).A、1； B、0.5； C、0.8； D、1.6.29、如果X,y满足D(X+Y)=D(X—Y，则必有( B)A、X与y独立 B、X与y不相关C、D(Y)=0D、D(X)=030、对于事件A和B，下述命题正确的是(B)(A)如果A与B互不相容，则A与B相互对立(B)如果A与B相互对立，则A与B互不相容(C)如果A与B相互独立，则A与B互不相容(D)如果A与B互不相容，则A与B相互独立31、若P(B|A)=0,则下列命题中正确的是(B)(A)BuA (B)AB=① (C)AuB (D)A-B=①32、匕,n相互独立且都服从正态分布、(1，32)，则D(2,F)=(C)(A)-8 (B)9 (C)45 (D)60(以下是能力题)33、某商家生产甲、乙、丙三种不同型号的商品，产品数量之比为3：4：7,现在分层抽样法抽取一个容量为n的样本，其中样本中乙种型号商品有24件,则此样本容量n为(C)A、160 B、80 C、84 D、9634、连续型随机变量&的密度函数为p(x)=；x了xe[0.2b则d6)为(、0,xe[0,2]D)1 3A、— B、二2 10C1、、20D、-935、连续型随机变量&的密度函数为p(x)=<6x(1-x),xe[0,1]、0,x电[0,1]，则D())为(C)13A、— B、二2 10C、—20D、1436、离散型随机变量X的分布函数为F(x)，则*=*二D)、P(xkrXG"J； b、/%，—F(xk/；C P(x<X<x)； d F(x)—F(x)37、设某机器产生的产品有缺陷的概率为0.05,则20件产品之中至少有1件有缺陷的概率为(A)A、0.7358 B、0.1 C、0.8534 D、0.650338、设样本空间U={1,2,3,…，10},A={2,3,4},B={3,4,5},C={5,6,7},则A(BoC)TOC\o"1-5"\h\z表示的集合是( )A、{3,4} B、{1,3,8,9}C、{4,5}D、{1,2,5,6,7,8,9,10}39、5、己知随机变量X的期望E(X)=5,方差D(X)=4,则(a).8 8A、P||X-5|<6}>§； B、P{|X-5|<6}<§；, . 8 . . 8C、P{|X-5|>6}>§； D、P{|X-5|>6}<§.40、、一盒产品中有«只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为(C)A、B、a(a-A、B、a(a-1)(a+b)(a+b-1)C、D、二、填空题填空题48小题。(每小题4分，共6小题，24分)1、设一个容量为7的样本是：2,11,8,4,3,6,15,则样本中的中位数是。32、将一枚硬币均匀投掷三次，则三次中恰好出现两次正面向上的概率为3。8TOC\o"1-5"\h\z3、若事件A、B相互独立，且P(A)=0.4,P(B)=0.5，则P(A+B)= 0.7。4、设随机变量&~N(d。2)，则n=3〜N(0,1)。o5、设随机变量X服从二项分布B(100,0.4),则其数学期望E(X)= 40 。6、随机变量n的数学期望E篦)=4,方差D低)=20，则E任2)= 24 。7、设随机变量&、n的数学期望分别是E篦)=3,E(n)=5，则E(2&+3n)=21。8、已知①(2.3)=0.9893,设随机变量为服从N(349.2,16),则P(g<340)=0.0117，若随机变量n服从N(1,2),则P(n<1)=0.5 。39、将一枚硬币均匀投掷四次，则四次中恰好出现两次正面向上的概率为3。810、设D(X”4,D^71R(X'Y”0.6，则B=AB+AB+AB__2.61 2 311、设二维随机变量仪，丫）的分布列为:若X与Y相互独立，则％P的值分别为：a=12、设A、B是随机事件，P（A）=0.7,P（A—B）=0.3，则P（AB）=0.4。13、已知随机变量X服从参数为2的泊松（Poisson）分布，且随机变量Z=2X-2，TOC\o"1-5"\h\z贝UE（Z）= 2 。14、设A与B为互不相容的两个事件，P（B）>0，则P（AIB）= 015、事件A与B相互独立，P（A）=0.4,P（A+B）=0.7,则P（B）= 0.5416、某人投篮命中率为4，直到投中为止，所用投球数为4的概率为_625。17、设随机变量X与7相互独立，X服从“0-1”分布，p=0.4；7服从九=2的泊松分布P⑵，则E(X+Y)=2^,D(X+7)=2.24。18、已知D(X)=16,D(Y)=9,p=1,则D(X-27)= 36 。X73 19、若X〜N(目,a2),7〜N(目,a2)，且X与7相互独立，则Z=X+7服从1 1 2 2N（『ga:+aB分布。20、3人独立编写同一计算机程序，他们各自能成功的概率分别是0.3,0.6,0.5,则能将此程序编写成功的概率是0.86。21、X、Y相互独立且都服从正态分布N(3,22)，则d(2X-Y)=J022、设随机变量X与y相互独立，X服从二项分布B(5,0.6),Y服从二项分布N(R,。2)，且E(X+y)=6,D(X—y)=1.36，则|!=1 ；。=V076。25、从总体X中抽取样本，得到5个样本值为5、2、3、4、1。则该总体平均数的矩估计值是5，总体方差的矩估计是15/2。26、设随机变量X服从参数为—的指数分布，则E(X)=1000。100027、若D(X)=49,D(Y)=16,，X与Y的相关系数为0.5，则cov(X，Y)=14。28、设A、B、C为事件，则事件A、B、C同时不发生表示为ABC。(用事件运算表示)29、已知随机变量X期望值为2，方差为8，则E(X2)=12。30、(％丫)为二维随机变量，如果X与Y不相关，E(X)=2,E(Y)=25，则E(XY)=50。31、已知随机变量X服从二项分布b(n，p)，E(X)=12，D(X)=8，则n=36。32、若D(X)=36,D(Y)=49,cov(X，Y)=21，则X与Y的相关系数为0.5。133、飞机的雷达发射管的寿命X(单位：小时)服从参数为—的指数分布，则200D(X)=40000.34、随机变量X服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X的数学期望E(X)的值为3^o35、已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.3,则P(AB)= 0.18。36、3.一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为0.25。36、一种动物的体重X是一随机变量，设E(X)=33,D(X)=4,10个这种动物的平均体重记作Y，则D(Y)= 0.4 。37、假设X~B(5,0.5)(二项分布)，Y~N(2,36),则E(X+Y)= 4.5。38、三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4,则飞机被击中的概率为 0.784。39、甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为34。c 1240、离散型随机变量&的分布律为P任=k)=——,k=1,2,3.，则c=—。2k 11(以下是能力题)41、在中国象棋的棋盘上任意的放上一只红“车”和一只黑“车”，则它们正好可以互相“吃掉”的概率是-。89设D(X)=4,D(Y)=1,R(X,Y)=0.6，则D(X—Y)=2.6。43、设离散型随机变量X的分布函数为0,x<-1a,-1<x<112…人--a,1<x<23a+b,x>2TOC\o"1-5"\h\z1 1 - 15且p(X=2)=—，则a=一，b二—。2 6 644、设两个事件A、B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A-B)=0.18 ，\o"CurrentDocument"P(A-B)= 0.12 。45、加工一个产品要经过3道工序，第一、二、三工序不出废品的概率分别为0.9,0.95,0.8,假定各工序是否出废品是相互独立的,则经过3道工序而不出废品的概率为0.684。46、设随机变量X服从正态分布N(3,42),P(X>c)=P(X<c)，那么常数c=—J.47、A,B为两个随机事件，若P（A）=0.4,P（B）=0.2,若A,B互不相容，则P（A-B）=_0.4,P（AcB）= 0.4 。48、设某人射击的命中率为0.5,则他射击10次至少命中2次的概率为：1-0.510—5x0.59；三、判断题,对的打“J"，错的打""48小题。（每小题2分，共12分）1、“将一只白球一只黑球随机地放入4个不同的盒子里”是古典概型。（J）TOC\o"1-5"\h\z2、“某射击手一次射击命中的环数”是几何概型。 （X）3、在十进制中，2+5=7是必然事件。 （J）4、在常温下，铁熔化是不可能事件。 （X）5、必然事件U的概率不是1。 （X）6、两个边际分布都是一维正态分布的二维随机变量，则它们的联合分布是一个二维正态分布。 （X）7、二维随机变量篦、n）~N（1,2,32,52,2）的Cov篦、n）为30。 （J）8、两个随机变量&、n是独立的，它们分别服从参数九、九的泊松分布，则分布c=q+"1 2服从参数为'十九2的泊松分布。 （J）9、2008年8月8日奥运会在北京举行是必然事件U。 （J）10、函数p（x）=-2x（x<0）是某个随机变量的密度函数。 （X）11、在六十进制中，2+5=7是必然事件。 （X）12、若随机事件A、B相互独立，则事件A、B互斥。 （X）13、事件A的概率P（A）等于O,事件A也有可能发生。 （J）14、x函数的期望值等于X期望的函数。 （X）15、若随机事件A、B相互独立，则事件A与B也相互独立。 （J）16、事件的概率与试验的先后次序无关。 （X）17、若事件X,K的相关系数p町二0,则相互独立。 （X）18、估计量S2=1x（x-x）2是总体方差的无偏估计量。 （X）/n、i19、如果二元随机变量（X,Y）有D（X-Y）=D（X+Y）,则X与Y不相关。（J）20、随机变量X服从泊松分布时，则必有E（X）=D（X）。 （J）21、两事件A、B若满足P（AB）=P（A）P（B）,则称A、B独立。（J）22、两事件A、B若满足P（A+B）=P（A）+P（B）,则称A、B独立。（X）23、独立事件的任一部分也独立。 （J）24、小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件。（J）25、古典概型与几何概型的相同之处是两者基本事件发生的可能性都是相等的。（J）26、古典概型与几何概型的不同之处是古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个。（J）27、公车5分钟一趟，求等待时间不超过3分钟的概率0.6。（J）28、在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是0.004。（J）29、一批玉米种子的发芽率为0.8,从中任取4粒种子做试验,求恰好有两粒种子发芽的概率，这是可以看着是一个贝努里概型。（J）30、随机变量（X,Y）服从二维正太分布，则X的边际分布为正态分布，Y的边际分布也为正态分布。（J）31、随机变量的分布函数与特征函数相互唯一确定。（J）32、两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于他们的特征函数之和。（X）33、A.B为任意二随机事件，则P（AUB）=P（A）+P（B）°（X）34、设X为随机变量，a、b是不为零的常数，则。（X）35、设X、Y是随机变量，X与Y不相关的充分必要条件是X与Y的协方差等于0。（J）36、设A、B、C为三事件，若满足：三事件两两独立，则三事件A、B、C相互独立。（X37、任意连续型随机变量均有方差存在。（X）38、事件“ABC”表示三事件A、B、C至少有一个发生。（X）39、设随机变量m~B（n,p）,E化）=3,D比）=1.2，则n为5。（J）40、假设事件A与事件B互为对立，则事件AB发生的概率为1。（义）（以下是能力题）41、若q、n是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为九,口九2的普哇松分布，则£+3（、随机变量c=己十”的分布列为p《=k）―一2-e2）。 （J）k!

42、已知甲型H1N1流感的发病率为42、已知甲型H1N1流感的发病率为1000，某中学校园内共有5000师生，则该校园内患有这种疾病的人数超过5的概率大约为0.38。（J）43、事件表达式AB的意思是事件A与事件B至少有一件发生（J）44、已知随机变量X,Y相互独立，X~N（2,4）,Y~N（2,1），则X+Y~U（2,4）。（X）45、已知随机变量X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则X2+Y2服从自由度为2的2分布。（J）f（X）=——-——46、设连续型随机变量&的概率分布密度为 x2+2x+2,a为常数，则P低三30）=3。（J）447、设随机变量X〜N（10,o2），且R10<X<20}:0.3，则P{0<X<20}:0.6。（J）1一48、设随机变量X〜t（n）（n>1）,Y=，则Y〜F（n,1）0（J）四、解答题。（写出详细过程，不能直接写出答案。）（1---24小题每题8分）1、某射击手一次射中10环的概率为0.28,射中9环的概率为0.24,射中8环的概率为0.19,求这位射手：（1）一次射击至少射中9的概率；（2）一次射击至少中8环的概率。（8分）解：（1）0.24+0.28=0.52 （4分）(2)0.24+0.28+0.19=0.71（8分）(2)0.24+0.28+0.19=0.71（8分）答：此处略。2、从5男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量&表示所选的3人中女生的人数。（8分）（1）球弓的分布列；（2）求q的数学期望；（3）求“选3人中女生人数&W1”的概率。解：1）、自可能取的值为0,1,2。 （1分）

TOC\o"1-5"\h\zCk•C3-k /八、P(自二k)二一2 4——,k=0,1,2。 (3分)C36所以，己的分布列为:自012131P555TOC\o"1-5"\h\z(2)、由(1),己的数学期望为：\o"CurrentDocument"3 1 ..一Eg=0义+1义+2*=1 (5分)5 5 5（3）、由（1）,“所选3人中女生人数乙<1”的概率为:P（己<1）=P（己=0）+P（己=1）=— （8分）答：此处略。3、已知A与B相互独立，尸（人）=06P（B）=04求P（AUB）,及P(A-B)。(8分)解：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)(B)=0.6+0.4-0.6x0.4=0.76 (4分)P(A-B)=P(A)-P(A)P(B)=0.6-0.6x0.4=0.36 (8分)4、小王、小张两人相约7：00到8：00在老地方会面，约好了先到者等候另一人20分钟，过时方可离去，假定两个人到达相会地点的时间可在7：00到8：00的任一时亥U，且等可能性，试求小王、小张能会面的概率。（本题8分）他们两人能会面的充要条件是贝U0WxW60,0WyW60,解：用x、y他们两人能会面的充要条件是贝U0WxW60,0WyW60,解：用x、y分别表示小王、小张两人到达约会地点的时间（分），画出图形，阴影部分满足条件（4分）由图形可知P（A）画出图形，阴影部分满足条件（4分）由图形可知P（A）602.402602_5

一9（8分）答：此处略。5、在20件产品中，有15件是一等品，5件是二等品，从中任取3件，其中至少有1件是二等品的概率是多少？（本题8分）解：3件产品中至少有1件是二等品包括以下三种：A1恰有1件二等品；A2恰有2件二等品；A33件都是二等品----（3分）应用古典概型公式得:P(A)=1P(A)=2C1C2-C^20C2C1P(A)=1P(A)=2C1C2-C^20C2C12010522830228(4分)(5分)C3C35202228(6分)p(A+A+A)=p(A)+p(A)+p(A)10520A1373=228+228+228=228（8分）答：此处略。6、设连续型随机变量X的概率分布函数为0,

kx2,1x<0,

0<x<1,

x>1,试求⑴常数k；（2）概率P{01<X<0.3}.（3）X的概率密度函数.（8分）解：(1)F(1-0)=F(1),得k=1,（2分）P{0.1<X<0.3}=F(0.3)-F(0.1)=0..08,（4分）X的密度函数:f(x)=F'(x)=2x,0,其它，（8分）7、现将两信息分别编码为A和B后传送出去，接收站接收时，f(x)=F'(x)=2x,0,其它，（8分）7、现将两信息分别编码为A和B后传送出去，接收站接收时，A被误收为B的概率为0.02,B被误收为A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度之比为2:1，若接收站收到的信息是人，问原发信息也是人的概率是多少？（本题8分）解：记人二”收到信息A”，B二“发送信息A”，则P(A|B)=1-P(TiB))=1-0.02=0.98,2 1P(A\B)=0.01,P(B)=3，P(B)=3（4分）由贝叶斯公式，所求概率为P(B|A)=P(B)P(A|B) 196P(B)P(A|B)+P(B)P(a|B)1971 o（8分）8、一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X表示他首次投中时累计投篮的次数，求X的分布律，并计算X取偶数的概率。解：X的分布律为P{X=k[=0.55k-1x0.45 k=1,2,X取偶数的概率为P{X=偶数}=£0.552k-1x0.45k=1_0.55x0.45_11=1-0.552=31 （3分） （6分） （8分）9、两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02,已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品（A）的概率。(2分)解：设Bi二“取出的零件由第i台加工”@=L2）--

(2分)（3分），P（BJ：I （4分），（5分），（6分），P(4|B（5分），（6分），P(4|B)=0.98有全概率公式得：P（A）=P（B）PQ|B）+P（B）PQ|B）=--0.97+--0.98=0-973 （8分）12 3 3答：此处略。10、已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。（本题8分）TOC\o"1-5"\h\z解：（1）一只是正品一只是次品的概率为：CC= （2分）C2 78（2）第二次才取得次品的概率为：丝=a （4分）8义7 14（3）令勺表示“第一次取出的是正品”，A2表示“第一次取出的是次品” （6分）B表示“第二次取出的是次品”第二次取出的是次品的概率为:1- 1- 4(8P(B)=P(BIA)P(A)+P(BIA)P(A)=一义-+-义一二ii 2 2 7878分）11、甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1）X和Y的联合分布律；（2）X和Y的边缘分布律。（本题8分）解：（1）X和Y的联合分布律为:P(X=m,Y=n)=Cm(0.2)m(0.8)2-mCn(0.5)”(0.5)2-n=一。©*4(1-m)2 2 25 2 2m,n分别为0,1,2。 (4分)(2)x和Y的边缘分布律：由于X与Y相互独立，所以X和Y的边缘分布律为：P(X=m)=Cm(0.2)m(0.8)2-m，m=0,1,2。2P(Y二n)=Cn(0.5)n(0.5)2-n，n=0,1,2。 (8分)212、两台车床加工同样的零件，第1台出现不合格品的概率是0.03,第2台出现不合格品的概率是0.05、两台车床加工的零件放在一起，第1台加工的零件占70%，第2台加工的零件占30%，现随机地任取一件零件，求此件零件为不合格品的概率.(本题8分)解：记AJ｛任取一件为第1台车床加工的零件｝,A二｛任取一件为第2台车床加工的零件｝，2TOC\o"1-5"\h\zB=｛任取一个零件为不合格品｝ (2分)由全概率公式,所求概率为P(B)=P(AJP(B/AJ+P(A2AP(B/A2) (6分)=0.7x0.03+0.3x0.05 (7分)=0.036. (8分)13、甲、乙、丙三人参加英语四级考试，假定甲、乙、丙能考试合格的概率依次为0.8、0.6、0.7,各人能否考试合格相互独立，求下列事件的概率：(1)甲，乙合格而丙不合格；(2分)(2)3人都不合格；(3分)(3)3人中至少有1人合格.(3分)解：记A,A,A依次表示甲、乙、丙考试合格的事件，由题意，TOC\o"1-5"\h\z1 2 3（1）所求的概率为P（AA2A"）=0.8x0.6x0.3=0.144； （2分）（2）所求的概率为P（耳A"A"）=0.2x0.4x0.3=0.024； （5分）

（8分）(3)所求的概率为P(mquA)=1-P(A4A)。（8分）=1-0.2x0.4x0.3=0.97614、随机变量X的密度函数为—X,0<x<2f(x)二12，0,其他求：（1）E（X）；（2分）求：（1）E（X）；（2分）(2)D(X)；(2分)P(P(-2<X<1)；(2分)Y=2X的密度函数.（2分）TOC\o"1-5"\h\z解：(1)E(X)=J2x—xdx=- (2分)02 3E(X2)=J2x21xdx=2,02~ 4 2 ,.,一D(X)=E(X2)-E(X)=2-—= (4分)^3^9P(-2<X<1)=J21xdx=1 (6分)(4)02 4•F(y)=P(Y<y)=P(2X<y)=P(X<1y)=F(jy)y 2 x214、1八J.f—dy)•c，0<小•・J(y)=122 2 2（8分）Y 0,其他8y,0<y<（8分）0,其他15、（X,Y）的联合分布律为⑴求X,Y的边缘分布律；（2分）（2）X,Y独立吗？为什么？（2分）（3）X、Y是否不相关？为什么？（2分）（4）求Z=X+Y的分布律。（2分）解(1)X的分布律为:(2)VX2/8=P(X=0)XP(Y=0)Y的分布列律为: (2分)P(X=0,Y=0)=1/8*5/8.••X与Y不独立。 (4分)(3)因为E(X)=3/8,E(Y)=0,E(XY)=0,即E(XY)=E(X)E(Y),

所以X,Y不相关。 (6分)(4)X+Y的分布列为：X+Y-2-101P1/83/82/82/8 (8分)16、设A,B是两个随机事件，P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,(1)若A,B互不相容，求P(B)；(2)若A,B相互独立，求P(B)；(3)若P(B|A)=0.6，求P(B)。(本题8分)解： P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)(1)、P(AUB)=P(A)+P(B)=0.7, P(B)=0.7-0.4=0.3 (2分)(2)、P(AB)=P(A)P(B)P(AUB)-P(A)_0.7-0.40.6=0.5(5分)(3)、P(AB)=P(A)P(B|A)(8分)P(B)=P(A B)-P(A)+P(A)P(B|A)=0.7—0.4+0.4x0.6=(8分)17、设随机变量X〜B(2,p)，且P{X>1]=5,(1)试确定参数p；(2)求P{X=1}。(本题8分)解： P{X=k]=Ckpk(1-p)2-k(k=0,1,2)2TOC\o"1-5"\h\z4=1-P{X>1]=P{X=0]=(1-p)2,p=3; (4分) - _124 ..P{X=1]=C2x3x3=- (8分)18、某旅行社100人中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、日语和英语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种。求此人会讲日语和英语，但不会讲法语的概率。(本题8分)解：设A="此人会讲英语"，B=”此人会讲日语”，C="此人会讲法语”，--3分TOC\o"1-5"\h\zP(AB)=0.32 (4分)P(ABC)=0.09 (5分)P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=0.32-0.09=0.23 (8分)19、设随机变量X服从参数为3的泊松(Poisson)分布，y服从参数为4的泊松分布，且X与y相互独立，证明X+Y服从参数为7的泊松分布。解：X〜P(3)，所以X的分布律为P(X=k)=上=，k=0,1,2,3，… (2分)k!4ke-4 、又因为Y〜P(4)，所以Y的分布律为P(Y=k)=——，k=0,1,2,3，…； (4分)k!令Z=X+Y，所以Z的取值为0,1,2,3,…，且有P(Z=k)=£P(Z=kIX=m)P(X=m)=£尸(Z=kIX=m)P(X=m)m=0 m=0=£P(Y=k-m)P(X=m)=£4k-m"•3me-3=7ke-7，k=0,1,2,3，…。 (8分)(k-m)!m! k!m=0 m=0从而X+Y服从参数为7的泊松分布。20、甲，乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部

挑出来，算是成功一次。求（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试推断他是猜对的，还是确有区分能力（设各次试验相互独立）TOC\o"1-5"\h\z，一 C4 1（3分）解：(1)A="成功一次”，P(A)=C4-=—（3分）C4 708（2）设此人没有区分能力，令Y="连续试验10次，成功的次数”，一 1 ，.一则Y~b(10,——)， (5分)701 69（7分）P{Y=3}=C3(—)3(—)7氏0.0003 ， （7分）1070 70可见，猜对的概率很小，故此人确有区分能力。 （8分）21、已知随机变量X服从在区间（0,1）上的均匀分布，Y=2X+1,求Y的概率密度函数。解：已知X的概率密度函数为fX(x)二,0'0募1' (2分)所以Y的分布函数1(y)为：F(y)=P{Y<y}=P{2X+1<y}=P{X<二}=F(皿］ (5分)Y 2XI2J因此Y的概率密度函数为f（y）=F（y）=1f[y^1]=<2,1<y<3, （8分）YY2X（2J]0,其它.22、设有两个口袋，甲口袋中有两个白球，一个黑球，乙口袋中有一个白球，两个黑球。由甲口袋任取一个球放入乙口袋，再从乙口袋中取出一个球，求最后取到白球的概率。解：设A=｛从甲袋子中任取一球为白球｝B二｛取得白球｝ （3分）（5分）（7分） （8分）P(B)=P(B|A)P(A)+PQ|A)p(（5分）（7分） （8分）=1/2X2/341/4X1/3=5/1223、将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率（1）4个球全在一个盒子里；

（2）恰有一个盒子有2个球.解：把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果 （3分）A=｛4个球全在一个盒子里｝共有5种等可能结果，故P（A）=5/625=1/125 （4分）5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有（5分）C1C2=30种方法（5分）544个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法因此，B=｛恰有一个盒子有2个球｝共有4X3=360种等可能结果. （7分）360 72故P故P（B）=（8分）62512524、有10盒种子，其中1盒发芽率为90%,其他9盒为20%.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？解：由全概率公式及公式P（该种子能发芽）=0.1X0.9+0.9X0.2=0.27 （4分）P（该种子来自发芽率高的一盒）=（0.1X0.9）/0.27=1/3 （8分）（25----32小题为能力题，每小题10分）25、设二维随机变量代、n）具有密度函数p（x,y）=!Ce~2（x+y）,0<x<+8,0<y<+8^ 0淇他试求（1）常数C;（1分）TOC\o"1-5"\h\z（2）分布函数F（X）;（2分） t（3）边际分布函数F,F9及相应的边际密度；（4分）（4）求篦、n）落在如图的区域G内的概率。（3分）解：（1）、1+/.p（x,y）dxdy=HCe-2（x+y）dxdy=1一8—8 0 0即Hce-2（x+y^dixdiy=Cf*e-2xdxfwe-2ydy=C-1-1=1,C=1 （1分）0 0 0 0 22

⑵、F(x,y)」卜(u，p)dudv1H+84e',y看其他…8,02（3分）一e-2X1Ce-2y\<x<+8,0<y<+8（3分）0淇他(3)、F(x)=卜J+8p(u,v)dudvJ!'；4e-{u+v)dudv,X>0=<1-e-2X,x>0 (4分)自-8-8 [ 0,xV0 0,xV0于是得到：p=于是得到：p=F'（x）=

& &2e-2x,x>00,xV0（5分）同理可得:1-e-1-e-2y,y>00,yv0p=F‘(y)=“n2e-2y,y>00,yv0（7分）P{(1,n)eG}=Up(x,y)dxdy=fff4e-2(x+y)dx^dy（10分）(4)、— (x,u)e（10分）=12e-2y(i-e-2(1-y))dy=1-3e-2026、证明对任意的随机变量&，若E&二a,又存在优，则对任意的正常数£,有P仁a“1DI。（契贝晓夫不等式）设己是一个随机变量，密度 为p(x)，(1分)贝UP(g-a\>£)=f+8p(x)dx(3分)&-a>£(x-a)2证明：vf+8 c P(x)dx(5分)证明：g-a>£ £2VI于Q—a)p(x)dx-?1(7分)£2 £2-8在上述证明过程中，把密度函数改成分布列，把积分符号改成求和符号，即得到离散型情形的证明。（10分）27、二维随机变量（X,Y）的概率密度为

%>0,y>0其他 求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数;（3）问X,Y（3）问X,Y是否独立。（本题10分）解：=AJ+se-%d%f+ro

0 0X的边缘密度函数:Y的边缘密度函数:e-解：=AJ+se-%d%f+ro

0 0X的边缘密度函数:Y的边缘密度函数:e-2ydy=2A 所以A=2f(%)二1f(%,y)dy二X -»e-%0,2e-2y0,因f（%,y）=fj%）于丫（y），所以X，Y是独立的。（2分）%>0其他y>0其他（10分）（5分）（8分）(1)由1=「8"f(%,y)d%dy=J+sJ+sAe-(%+2y)d%dy一8一8 0 028、将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）P上>X}.（本题10分）解：由题意知，X的可能取值为：0，1，2,3；Y的可能取值为：1，3.（2分）且p且p{x=。八3}」2节1（3分）（4分）（5分）P{x=1,Y=1}=Ci（4分）（5分）3{x二2,Y二1}二C2(2M、3（6分）于是，（1）（X，Y）的联合分布为1300181308

230301（7分）（7分）(2)PY>X}=P{x=0,Y=3)=1 (10分)829、（10分）二维随机变量（x，Y）的概率密度为L(x+y),0<x<2,0<y<20,其他求：(1)E(X)((2)D(X), (3)E(XY), (4)COV(X,Y)。(本题10分)TOC\o"1-5"\h\z解：(1)E(X)=6x8(x+y)dxdy=6 (2分)00E(X2)=J2J2x21(x+y)dxdy=—,00 8 3 (4分)5 7 11D(x)=E(X2)-(E(X))2=--(-)2=3 6 36E(XY)=J2J2xy1(x+y)dxdy= (7分)008 3E(Y)=J2J2y—(x+y)dxdy=—008 6477 1 .一、COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=---x-=-- (10分)366 3630、设随机变量X的分布函数为F（x）=P+Be0求：（1）A，B的值；（2）X的概率密度f（x）；（3）P{X>10|X>3}。（本题10分）解：(1)A=1,A+B=0，B=-1 (2分)x>0x<0⑵f(⑵f(x)=k)=1;x>0 ，（6分）(3)P{(3)P{X>10X>3}=P{X>7}=1-F(7)=e-7（10分）31、某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8,0.7和0.9。已知：如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0.6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0.9。（1）求仪器的不合格率；（2）如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大。（10分）解：设B="仪器不合格”，AJ“仪器上有j个部件不是优质品"，i=0,1,2,3，显然TOC\o"1-5"\h\z&,勺A2,&构成样本空间的一个完备事件组, (1分)且P(BIA0)=0,P(BIA1)=0.2,P(BIA2)=0.6,P(BIA3)=0.9, (2分)P(A0)=0.8x0,7x0.9=0.504,P(A1)=0.2x0,7x0.9+0.8x0,3x0.9+0.8x0,7x0.1=0.398—(3分)P(A3)=0.2x0.3x0.1=0.006,P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092 (4分)(1)由全概率公式有：P(B)=3P(A.)P(BIA.)=0.1402 (5分)i=0⑵由贝叶斯公式有:P(A0IB)=0, (6分)P(AIB)=P(A1)P(BIA1)=出， (7分)P(B) 1402（8分）P(AIB)=P(A2)P(B]A2)=①2 P(B（8分）P（AIB）=P（A3）P（BIA3）=旦, （9分）P（B） 1402从计算结果可知,一台不合格仪器中有一个部件不是优质品的概率最大.---（10分）32、设E(X)=2，E(Y)=4，D(X)=4，D(Y)=9，pXY=0.5,求(1)U=3X2-2XY+Y2-3的数学期望;（2分）（2）V=3X-Y+5的方差。（本题满分10分）（2分）解：(1)E(U)=E(3X2-2XY+Y2-3)=3E(X2)-2E(XY)+E(Y2)-3=3[D(X)+E2(X)]-2[E(X)E(Y)+pYV,；D(X)*,D(Y)]+[D(Y)+E2(Y)]-3=24;--(5分)XI(2)D(V)=D(3X-Y+5)=9D(X)+D(Y)-6cov(X,Y)（7分）=45-6pxy.JDXqW)=27.XI（10分）（33—40小题为提高题，每小题10分）33、设X的密度函数为f（x）=—e-x,xe（-8,+s）2①求X的数学期望E（X）和方差D（X）；②求X与X的协方差和相关系数，并讨论X与X|是否相关?解：①E(X)=J+8x1e-xdx=0 (2分)-82D(X)=E(X2)-[E(X)]2 (3分)二18x2—e-x^dx-0=218x2—e-xdx=2 (5分)-8 2 o2②Cov(X,|X|)=E(X|X|)-E(X)E(|X|)二18x|x|1e,dx-0=0 (8分) -8 12所以X与|X|不相关. （10分）34、设随机变量X〜N（0,1），Y=X2+1，试求随机变量Y的密度函数.解：随机变量X的密度函数为f（x）=we-T（-8<x<+8>设随机变量Y的分布函数为F（y），则有（1分）(y)=PY<j}=P^X2+1<y}二P{x2<y-1}（2分）(1)、如果y-1<0，即y<1,则有F(y)=0；（3分）(2)、如果y>1,则有F(y)=P{X2<y-1}=P{工y-1<X<%/J^T}1中_xi 2中=—Je2dx=-JeJ2兀 一 J2兀---y-1 0x22dx（5分）I2-尸x2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"即FyG)，声：e2dxy>1 (6分)'I 00 y<1I_2_-w.i1所以， fY(y)=FY(y)=卜本'22%/y^1y> (9分)''| 0 y<1_3 1即 fY(y)=L/2^y__112yy (10分)' 0y<135、设随机变量x35、设随机变量x的概率密度函数f（x）.=r（1_x）2其它（1）试确定常数k;（3分）（2）求X的分布函数；（4分）(3) 求P{0<X<2}。(3分)(本题10分)TOC\o"1-5"\h\z解：(1)1=J+sf(x)dx=Jk(1_x)2dx=8k,k=8 (3分)一I 3 3_1(2)当x<一1,F(x)=0,.. .3 1当_1<x<1,F(x)=1x8(1_t)2dt=1_g(1_x)3,当x>1,F(x)=1,।0 x<_11所以： F(x)=，1——(1_x)3_1<x<1 (7分)81x>13 1(3)P{0<X<2]=』1-(1_x)2dx=一。 (10分)。8 836、已知随机变量X的概率密度函数为Ax,0<x<1f(x)=12_x,1<x<20,其他求(1)常数A；(2)X的分布函数F(x)；(3)E(X2_3X+2)；(4)P{0.5<X<1.5]。解：(1)由J+sf(x)dx=1,又』+sf(x)dx=jAxdx+f2(2—x)dx=1，一8 一8 0 1所以A=1（1分）(2)当了<0时,F(x)=0；（2分）F(x)=Jxf(x)dxJ一g（3分）当1<x<2时,…[1,L、，c x2F(x)=xdx+(2—x)dx=2x—0 1 2（4分）当x>2时，F(x)=1,（5分）所以X的分布函数为0,1—x2,2。x2 12x———1,21（6分）(3)E(X2—3X+2)=f1(x2—3x+2)xdx+J0(4)P{0.5<X<1.5}Jxdx+0.512(x2—3x+2)(2—x)dx=—；। 6