安徽省滁州市朱马中学2022年高三数学文期末试题含解析

安徽省滁州市朱马中学2022年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为A.8π

B.6π

C.4π

D.2π参考答案：A2.设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（] B．（） C．（] D．（）参考答案：D【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】先作出函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，得到x2+x3=6，且﹣＜x1＜0；最后结合求得x1+x2+x3的取值范围即可．【解答】解：函数f（x）=的图象，如图，不妨设x1＜x2＜x3，则x2，x3关于直线x=3对称，故x2+x3=6，且x1满足﹣＜x1＜0；则x1+x2+x3的取值范围是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故选D3.某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n﹣m的值（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】茎叶图．【分析】利用茎叶图、平均数、中位数的性质，列出方程组，求出m，n，由此能求出结果．【解答】解：由题意得：，解得m=3，n=9，∴n﹣m=9﹣3=6．故选：B．4.

=A.1

B.

C.

D.

参考答案：D略5.定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=(

)A．336 B．355 C．1676 D．2015参考答案：A【考点】数列与函数的综合．【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】直接利用函数的周期性，求出函数在一个周期内的和，然后求解即可．【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．可得函数的周期为：6，当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，2015=6×335+5，f（1）+f（2）+f（3）+…+f=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+335[f（1）+f（2）+…+f（6）]=1+2﹣1+0﹣1+335×（1+2﹣1+0﹣1+0）=336．故选：A．【点评】本题考查数列与函数相结合，函数的值的求法，函数的周期性的应用，考查计算能力．6.已知集合，在区间上任取一实数，则“”的概率为

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数的共轭复数对应的点的坐标得答案．【解答】解：由=，得，∴在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：D．8.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：B9.执行如图的程序框图，输出的C的值为（）A.3 B.5 C.8 D.13参考答案：B第一次循环，得；第二次循环，得；第三次循环，得，不满足循环条件，退出循环，输出，故选B．考点：程序框图．10.如果集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，那么A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}={﹣2，﹣1，0}，B={﹣1，0，1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列对任意的正整数满足，则数列的通项公式

。参考答案：12.已知满足约束条件,则目标函数的最大值是___________参考答案：略13.已知P是双曲线上一点，F1、F2是左、右焦点，的三边长成等差数列，且，则双曲线的渐近线方程为__________．参考答案：【分析】设，不妨设点P位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定义，列出发方程组，求得，进而求得，即可求得渐近线的方程.【详解】由题意，设，不妨设点P位于第一象限，则由已知条件和双曲线的定义，可得且且，整理得，解得，又由，即，所以双曲线的渐近线的方程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的定义和几何性质，列出方程组求得的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14.已知函数，点O为坐标原点，点，向量是向量与的夹角，则的值为__________.参考答案：15.设某总体是由编号为01，02，…19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为

．参考答案：19【考点】B2：简单随机抽样．【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：由题意可得，选取的这6个个体分别为18，07，17，16，09，19，故选出的第4个个体编号为19．故答案为：19．16.(10)的二项展开式中的常数项为

.参考答案：1517.（内何证明选讲选做题）如图，A、E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=3，AD⊥BC,垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）在平面四边形中,沿对角线将四边形折成直二面角，如图所示：(Ⅰ)求证:⊥平面;(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.参考答案：其余弦值为19.如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，在线段PD上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知可得△ABC为正三角形，由E为BC的中点，得AE⊥BC．可得AE⊥AD．再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AE．由线面垂直的判定得AE⊥平面PAD；（2）设线段PD上存在一点H，连接AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，可得∠EHA为EH与平面PAD所成的角．可知当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，求解直角三角形得答案．【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形，∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD；（2）解：设线段PD上存在一点H，连接AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，此时，因此AH=．∴线段PD上存在点H，当DH=时，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为．20.设函数（、为实常数），已知不等式对一切恒成立.定义数列：（I）求、的值；（II）求证：参考答案：解：（I）由得故………………(2分)（II）当时,即……(5分)当时,

…………(8分)又

从而………………(10分)当时,………………(11分)又当时,成立所以时,……(12分)21.已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a≠0）． （1）当a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围； （2）在（1）的条件下，设函数φ（x）=e2x﹣bex（e为自然对数的底数），x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值； （3）令V（x）=2f（x）﹣x2﹣kx（k∈R），如果V（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，且线段AB的中点为C（x0，0），求证：V′（x0）≠0． 参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）求函数f（x）的定义域，然后利用h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，则得到h'（x）≥0恒成立． （2）换元，设t=ex，将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函数的单调性求函数的最小值． （3）求函数V（x）的导数，构造新函数，利用新函数的单调性证明V′（x0）≠0． 【解答】解：（1）当=﹣2时，h（x）=f（x）﹣g（x），所以h（x）=lnx+x2﹣bx，其定义域为（0，+∞）， 因为函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，所以h'（x）≥0恒成立，即恒成立， 所以，当x＞0时，，当且仅当时取等号，所以，所以b的取值范围． （2）设t=ex，则函数φ（x）=e2x﹣bex等价为ω（t）=t2+bt，t∈[1，2]， 则，且， 所以①当时，函数ω（t）=t2+bt，在t∈[1，2]，上为增函数，所以当t=1时，ω（t）的最小值为b+1． ②当，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=时，ω（t）的最小值为﹣． ③当时，函数ω（t）=t2+bt，在t∈[1，2]上为减函数，所以当t=2时，ω（t）的最小值为4+2b． 综上：当时，φ（x）的最小值为b+1． 当﹣4＜b＜﹣2时，φ（x）的最小值为﹣． 当b≤﹣4时，φ（x）的最小值为4+2b． （3）因为V（x）=2f（x）﹣x2﹣kx=， 假设V′（x0）=0，成立，且0＜x1＜x2，则由题意知， ， ①﹣②得， 所以，由（4）得，所以， 即，即

⑤ 令，则，所以， 所以u（t）在（0，1）上为单调递增函数，所以u（t）＜u（1）=0， 即，即， 这与⑤式相矛盾，所以假设不成立，故V′（x0）≠0． 【点评】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性，极值以及最值问题，运算量较大，综合性较强． 22.（本小题满分12分）某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出和收益情况,如下表：售出水量x（单位：箱）76656收益y（单位：元）165142148125150

(1)若x与y成线性相关,则某天售出8箱水时,预计收益为多少元？(2)期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益,以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的