湖南长沙一中自主招生考试数学试卷

2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷一、填空题设a为'/!：的小数部分，b为■巧的小数部分，则飞设a为'/!：的小数部分，b为■巧的小数部分，则飞资万¥的整数部分为下列两个方程组640s+20y=n2s-y-7与3s4-y=8有相同的解，则m+n=500k-489y=m3.AB—如图，在RtAABC中，NC=90°,NB=60°,NA的平分线AD交BC于D,则———3.。 20024.已知a是方程x2-2002x+1=0的根，则2/一40口力+1+上泸■月.1.A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C,使^ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有个..某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘 时可使得每月所付工资最少，TOC\o"1-5"\h\z最小值是 .-2x2+13k+23-8k+15Ar -6k3-2x2+13k+23-8k+15.已知厂4-，2,则分式 \o"CurrentDocument".如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O,若S^COD=3,S^BDE=4,S^OBC=5,那口么S四边形DOE= .A.三边长为整数且最长边是11的三角形共有个..已知方程：x3+4x2-11x-30=0的两个根的和等于1,则这个方程的三个根分别是.若函数f（Q二一十』丐当a<x<b时的最小值为2a,最大值为2b,求a、b的值..函数尸/一之肝:（色-1），其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为—.二、解答题（共8小题，满分0分）.已知关于x的方程x2-（2m-3）x+m-4=O的二根为a^a2，且满足-3<a]<-2,a2>0.求m的取值范围..在△ABC中，AD±BC于点D,NBAC=45°,BD=3,DC=2,求△ABC的面积..一个三角形的三边长分别为a、a、b,另一个三角形的三边长分别为a、b、b,其中a>b,若两个三角形的最小内角相等，则U停=.%+y=2.求方程组 n的实数解.sy-z=1.如图，在半径为r的。O中，AB为直径，C为郎的中点，D为©6的三分之一分点，且DB的长等于两倍的匚口的长，连接AD并延长交。O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长.An

An.如图，4ABC是锐角三角形，以BC为直径作。O,AD是。O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于F,若笑吗.AFAC求证：AD=AE..如图，在正方形ABCD中，DC的中点为E,F为CE的中点，求证：NDAEgNBAF..如图，四边形ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，求NEAB的度数.2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、填空题.设a为门的小数部分，b为•巧的小数部分，则1—廿丁的整数部分为二_.考点：估算无理数的大小.分析：根据无理数的取值范围表示a、b,再代入所求算式计算，估计结果的整数部分.解答：解：•.二<43<2,_1<12<2,・,a=.：3_1,b=，_：2-1，__=_= = （a-b）b（有-1-诋+1）（V2-1）/T）（V2+1）= /V3=（_.-'6-受+..：3-1）（'/%工）=1.;3+2,'2+1, _•1.732，2•/工，2828，5V..与+2・巧+1<6，•；1+2'回+1的整数部分为5，故答案为：5.有规律的无限不循环小点评：此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和n有关的数，数.有规律的无限不循环小2.下列两个方程组640x+20y=n-y=7f2.下列两个方程组640x+20y=n-y=7f3s+y=8与15期一非9厂口有相同的解，则m+n=3889考点：二元一次方程组的解.分析：将两个方程组中不含字母系数的方程重新组成方程组求x、y的值，再求m+n的值解答解:联立方程组2k-y=73x+y=8解得解答解:联立方程组2k-y=73x+y=8解得，则m+n=500x则m+n=500x-489y+640x+20y=1140x-469y二1140x3-469x（-1）二3889，故答案为：3889.点评：本题考查了二元一次方程组的解.结果是将两个方程组重新组合，先求x、y的值，再求m+n.3.如图，在RtAABC中，NC=90°,NB=60AB-嵋,N3.如图，在RtAABC中，NC=90°,NB=60AB-嵋,NA的平分线AD交BC于D,则 =_得一考点n八、、

专题

分析角平分线的性质；三角形内角和定理;计算题.过D作DELAB于E,求出CD=DE,全等三角形的判定与性质；勾股定理；特殊角的三角函数值.求出NBDE=30°,求出BD=2BE,CD=DE='j'MBE,根据勾股定理求解答:出AE=AC,求出AB-AC=BE,代入求出即可.解：过D作DELAB于E,丁AD平分NBAC,DE±AB,NC=90°,•.DE=CD,;DE±AB,•.NBED=90°,;NB=60°,•.NBDE=180°-90°-60°=30°,•.BD=2BE,由勾股定理得：DE=CD='；3BE,由勾股定理得：AE2=AD2-DE2,AC2=AD2-CD2,•.AE=AC,即AB-AC=AB-AE=BE•1一BE.如1 = ・CDV3BE3故答案为：孩.点评:4.已知a是方程x2-2002x+1=0的根，则2/一4003出4+20022001本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的内角和定理，角平分线性质的应用，关键是能根据性质求出CD=.1BE和AB-AC=BE,题目比较好，是一道具有一定代表性的题目.考点n考点n八、、

专题

分析解答:一元二次方程的解.计算题.由a为方程x2-2002x+1=0的根，所以将x=a代入方程得到关于a的等式a2-2002a=-1,a2+1=2002a,然后将所求的式子的第二项变形为-4004a+a,前两项提取2变形后，将a2-2002a=-1,a2+1=2002a代入，合并约分后再将a2+1=2002a代入，整理后即可得到值.解：:a是方程x2-2002x+1=0的根，.•・将x=a代入方程得：a2-2002a+1=0,「•a2-2002a=-1,a2+1=2002a,贝U2a2-4003a+1+^^=2(a2-2002)+a+1+^^铲十1 a2+lcI2002I1Ia+1ICMC=-2+a+1+ =-1+a+—=-1+ =-1+2002=2001.20(J'2a aa故答案为：2001点评：此题考查了一元二次方程的解，利用了转化及降次的数学思想，其中方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值..A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点^使^ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有6个.考点：等腰直角三角形.专题：规律型.分析：分三种情况考虑：当A为直角顶点时，过A作AB的垂线，以A为圆心，AB长为半径画弧，与垂线交于C3与C4两点；当B为直角顶点时，过B作AB的垂线，以B为圆心，BA长为半径画弧，与垂线交于C5与C6；当C为直角顶点时，以上两种情况的交点即为C1和C2，综上，得到所有满足题意的点C的个数.解答：解：A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点^使^ABC为等腰直角三角形，如图所示：则这样的点C有6个.故答案为：6点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，利用了分类讨论的思想，根据等腰直角三角形的性质找全满足题意的点C是解本题的关键..某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘甲50人，乙100人时可使得每月所付工资最少，最小值是130000.考点：一次函数的应用.分析：设招聘甲工种工人x人，则乙工种工人(150-x)人，根据甲、乙两种工种的工人的工资列出一次函数关系式，由乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，求自变量x的取值范围，根据一次函数的性质求工资的最小值.解答：解：设招聘甲工种工人x人，则乙工种工人(150-x)人，每月所付的工资为y元，则y=600x+1000(150-x)=-400x+150000,;(150-x)>2x,」.x<50,:k=-400<0,「.y随x的增大而减小••・当x=50时，y最小-400x50+150000=130000元.

」•招聘甲50人，乙100人时，可使得每月所付的工资最少；最少工资130000元.故答案为：甲50人，乙100人，130000元.点评：本题考查了一次函数的运用.关键是根据所付工资列出函数关系式，根据题意求出自变量的取值范围.,ri _ 9.已知,2,则分式 二二0二2^12资-8k+15考点：分式的化简求值._分析：首先求得当x=4-1:2时，x2- 8x+15=1,然后将原式化为x4- 6x3- 2x2+18x+23=x2 (x2 -8x+15) +2x (x2-8x+15)-(x2二8x+15)-20x+38,即可将原式化简，然后代入x=4-二！即可求得答案.解答：解：:当x=4-1.'12时，x2-8x+15=(x-3)(x-5)=(1-1.-12)(-1-1.-'2)=1,,凸"38k+15=x4-6x3-2x2+18x+23=x2(x2-8x+15)+2x(x2-8x+15)-(x2-8x+15)-20x+38=x2+2x-1-20x+38=x2-18x+37=(x2-8x+15)-10x+22=1-10x+22=23-10x,_ _ _...当x=4-工时，原式=23-10(4-±)=10/2-17.故答案为：10-2-17.点评：此题考查了分式的化简求值问题.此题比较难，注意得到x2-8x+15=1与将原式化为x2(x2-8x+15)+2x(x2-8x+15)-(x2-8x+15)-20x+38是解此题的关键..如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O,若S^COD=3，SABde=4，Saobc=5,那口么S四边adoe二一五一.考点：三角形的面积.专题：应用题.分析：根据“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比〃求出OD与OB的比，再根据Sabde=4求出△BOE与△DOE的面积，然后设△ADE的面积为x,再次利用“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比，根据△ADE与△CDE面积的比列式，AABD与△BCD面积的比列式，然后得到关于x的方程，求解即可.解答：解：:SACOD=3,SAOBC=5,・•.OD：OB=3：5,又「SABDE=4,SADOE=■^^x4=1,5SADOE=■^^x4=1,5设△ADE的面积为x,

则隆仙J工包,Sacde3+1*CD品虹口4+工SABCD3+5所以，14+k

— ,所以，4.53附、|c 36,1 93所以,S四边ADOE?+1-5-11故答案为：鲁故答案为：鲁点评:本题考查了三角形的面积，主要利用“等高的两个三角形的面积的比等于对应的底的比〃性质，这是解答此题的关键.点评:9.三边长为整数且最长边是11的三角形共有36个.考点：三角形三边关系；一元一次不等式组的应用.分析：确定三边中的两边，分类找到第三边长的范围，再根据第三边长也是整数，且唯一最长的边11的三角形的个数即可.解答：解：当两边长分别为11,1时，10〈第三边〈12,可取11,只有1个；当两边长为11,2时，9〈第三边＜13,又因为最长边是11,故可取10,11共2个数；当两边长为11,3时，8〈第三边＜14,又因为最长边是11,故可取9,10,11共3个数；当两边长为11,4时，7〈第三边＜15,又因为最长边是11,故可取8,9,10,11共4个数；当两边长为11,5时，6〈第三边＜16,又因为最长边是11,故可取7,8,9,10,11共5个数；当两边长为11,6时，5〈第三边＜17,又因为最长边是11,故可取6,7,8,9,10,11共6个数；当两边长为11,7时，4〈第三边＜18,又因为最长边是11,故可取5,6,7,8,9,10,11共7个数；当两边长为11,8时，3〈第三边＜19,又因为最长边是11,故可取4,5,6,7,8,9,10,11共，8个数；当两边长为11,9时，2〈第三边＜20,又因为最长边是11,故可取3,4,5,6,7,8,9,10,11共9个数；当两边长为11,10时，1〈第三边＜21,又因为最长边是11,故可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11共10个数；当两边长为11,11时，0〈第三边＜22,又因为最长边是11,故可取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11共11个数；去掉重合的组，这样的三角形共有36组.故选答案为：36.点评：此题主要考查了三角形的三边关系，解决本题的关键是分类讨论得到三角形的三边长；注意去掉重合的组成三角形的三边.

10.已知方程：x3+4x2-11x-30=0的两个根的和等于1,则这个方程的三个根分别是-2,3,-5考点：根与系数的关系.分析：由于方程的两个根的和等于1,可设三次方程因式分解后为(x-a)(x2-x-b)=0,于是可得x3+4x2-11x-30=(x-a)(x2-x-b)=x3+(-1-a)x2+(a-b)x+ab,根据等于号的性质，可得-1-a=4,a-b=-11,ab=-30,可求a=-5、b=6,再把b=6代入(乂2-x-b)=0中，易求x=-2或x=3,从而可得方程的三个根.解答：解：由于方程的两个根的和等于1,那么可设方程为(x-a)(x2-x-b)=0,则x3+4x2-11x-30=(x-a)(x2-x-b)=x3+(-1-a)x2+(a-b)x+ab,于是-1-a=4,a-b=-11,ab=-30,解得a=-5,b=6,把b=6代入^2-*…)=0中，得x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,所以方程的三个根分别是-2,3,-5.故答案是-2,3,-5.点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是理解两个根的和等于1代表的意思，并能设出方程.11.若函数f⑺二一 省当a<x<b时的最小值为2a,最大值为2b,求a、b的值.考点n八、、

分析

解答二次函数的最值.根据二次函数的增减性以及当a<b考点n八、、

分析

解答二次函数的最值.根据二次函数的增减性以及当a<b<0时(1)当a<b<0时12--a2+=2a,2 32X2好号的顶点是x=a时有最小值2a,当a<0<b时，若0<a<b时分别得出a,b的值即可.13 13(0,£)，对称轴是y轴，最大值为号，如右图，J lJx=b时有最大值2b,于是2b,可知a、b是方程--^x2+彳=2x的两个根，即3x2+12x-26=0,由于A^0,xp2=—彳，此方程有一正一负两个根，这与a<b<0矛盾，故此情况舍去;(2)当a<0<b时，x=0时有最大值¥=2b,解得b=¥,0x=b时有最小值2a,(q2+干乌372(q2+干乌372>0,而2a<0,矛盾，所以只能是x=a时取最小值，(1.2130(-工)a2+——=2a,2 3-6--114 -一八3a2+12a-26=0a= 石 <0,符合条件，

1 1(3)若0<a<b,显然有(-争a2以=2b①，-tb2+^=2a②,①-②得：(-])(a-b)(a+b)=2(b-a),则a+b=4,b=4-2,代入①得：(-,)a2+=2(4-a),乙 ,--13a2-12a+22=0,;△<0,点评:•••此方程无实数根，故此情况舍去.,此题主要考查了二次函数的最值求法,b』.点评:•••此方程无实数根，故此情况舍去.,此题主要考查了二次函数的最值求法,b』.6根据自变量的取值范围分别将a,b代入求出是解题关键.考点：考点：、、：分析:解答:12.函数产工(a-1)，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为_胃_.抛物线与x轴的交点.设函数y=x2-ax+i(a-1)与x轴的交点坐标分别为(x-0),(x2,0),则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为瓦-x2l.欲求瓦-x2l的最小值，需要根据关于x一元二次方程x2-ax+i(a-1)=0的根与系数的关系与代数式的变形相结合求得(x]-x2)2=(x1+x2)2-4xjx2=a2-a+1=(a--i)2d，最后根据二次函数的最值的求法即可解得lx「x2l的最小值.解：设函数y=x2-ax+-1(a-1)与x轴的交点坐标分别为(x^0),(x2,0),贝Ux1,x2是一元二次方程x2-ax+《(a-1)=0的两个实数根，由韦达定理得，x1+x2=a,x1*x2=^(a-1),则％-x2)2=(x1+x2)2-4x1*x2=a2-a+1=(a-=)丁a为任意实数，「.(a-1)2>0,2(x1-x2)2§.lxI、豆-lx1-叼1/^,•••1X1-x2l的最小值是4,即该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为」?.故答案是：苫.点评：本题考查了抛物线与X轴的交点问题.利用二次函数与一元二次方程间的关系是解答此类题目常用的方法.二、解答题(共8小题，满分0分)13.已知关于x的方程x2-(2m-3)x+m-4=O的二根为ara2，且满足-3<a]<-2,a2>0.求m的取值范围.考点：抛物线与x轴的交点.专题：数形结合.分析：先令y=x2-(2m-3)x+m-4,根据方程x2-(2m-3)x+m-4=0的二根为a1>a2,且满足-3<a]<-2,a2>0画出函数图象，由图象可知当x=0,当x=-2,当x=-3时y的取值范围，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可.解答：解：y=x2-(2m-3)x+m-4,如图得关系式，当x=0时，y=m-4<0,当x=-2时，y=4+4m-6+m-4<0,当x=-3时，y=9+6m-9+m-4>0,‘产卬-4V0即厂4十4皿-6+m—4<口y=9+6皿-9+m-4〉。解得2<m<q.7 5故答案为：《<m<~^.7 5点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，利用数形结合把方程问题转化为函数取值范围的问题是解答此题的关键..在△ABC中，AD±BC于点D,NBAC=45°,BD=3,DC=2,求△ABC的面积.C/\口A.考点：正方形的性质；勾股定理.分析：把^ABD沿AB为对称轴翻折成为△ABE,△ACD沿AC为对称轴翻折成为△ACG,延长EB、GC相交于点F，根据轴对称的性质可以证明四边形AEFG是正方形，设AD=x，用x表示出BF、CF，在Rt△BCF中，根据勾股定理列式进行计算即可求出x的值，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解.解答：解：如图，把△ABD沿AB为对称轴翻折成为△ABE,△ACD沿AC为对称轴翻折成为△ACG,延长EB、GC相交于点F,则^ABEM△ABD,△ACDM△ACG,所以，AD=AE=AG,乙AEB=NAGC=90°,丁NBAC=45°,・•.NEAG=NEAB+NBAD+NCAD+NCAG=2(NBAD+NCAD)=2NBAC=2x45°=90°,••・四边形AEFG是正方形，;BD=3,DC=2,「.BC=BD+CD=3+2=5,设AD=x，则UBF=EF-BE=x-3,CF=FG-CG=x-2,在R3BCF中，根据勾股定理，BF2+CF2=BC2,即(x-3)2+(x-2)2=52,整理得，x2-5x-6=0,解得，x1=-1(舍去)，x2=6,所以，'△ABC=^BaADLx5x6=15.点评：本题考查了正方形的判定与性质，轴对称的性质，以及勾股定理的应用，根据NBAC=45°轴对称图形，构造出正方形并得到R3BCF是解题的关键，也是本题的难点..一个三角形的三边长分别为a、a、b,另一个三角形的三边长分别为a、b、b,其中a>b,若两个三角形的最小内角相等，则笊=一苧—考点：相似三角形的判定与性质.分析：由已知边长可知，两个三角形为等腰三角形，又两个三角形的最小内角相等，可证△ABC-△CBD,利用

相似比列方程求解.解答：解：由两个三角形三边长可知，△ABC与八CBD为等腰三角形，・•・NABC=NCBD，且都为底角，・•.△ABC-△CBD，返匹，即』，BCBDba-b整理，得a2-ab-b2=0,即（色）2-'-1=0,bb解得"与四或二^(舍去负值)，I---故答案为：粤点评:本题考查了相似三角形的判定与性质.关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质解题.点评:16.求方程组16.求方程组□的实数解.空一工=1考点：高次方程.专题：计算题.分析：首先把x+y=2两边分别平方，得x2+2xy+y2=4,一步步化简可以得到：(x-1)2+(y-1)2+2z2=0,根据非负数的性质，可以解得x、y、z的值.解答：解：将x+y=2两边分别平方，得x2+2xy+y2=4(1)把方程xy-z2=1两边都乘以2得2xy-2z2=2(2)(1)-(2)得：x2+y2+2z2=2(3)由x+y=2得2x+2y=4(4)(3)-(4)得：x2+y2+2z2-2x-2y+2=0,配方，得：(x-1)2+(y-1)2+2z2=0,:x,y,z均为实数，一只能是保-1)2=0,(y-1)2=0,z2=0,「・x=1,y=1,z=0,显然x=1,y=1,z=0满足原方程组.•••原方程组的实数解为：x=1,y=1,z=0.点评：本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是把方程转化成几个非负数之和的形式，再进行求解，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心.17.如图，在半径为r的。O中，AB为直径，C为郎的中点，D为©6的三分之一分点，且DB的长等于两倍的匚口的长，连接AD并延长交。O的切线CE于点E(C为切点)，求AE的长.考点：圆的综合题.专题：综合题.分析:2芍分析:2芍x45°=30°过E作EH±AB于H,连OC,根据直径所对的圆周角为直角得到NACB=90°,由C为AB的中点，则CA=CB且NCAB=45°，可得到CO±AB，根据切线的性质得OCLCE，则四边形OCEH为矩形，于是有EH=OC=r，又由于D为13的三分之一分点，且诬的长等于两倍的⑪的长，则NBAD=2NDAC，可得NBAD然后根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到AE的长.解答：解：过E作EH±AB于H,连OC,如图，丁AB为。O直径，「.NACB=90°,又:C为形的中点，•.CA=CB,NCAB=45°,「.CO±AB,丁CE为。O的切线，•.OC±CE,而EH±AB,•・四边形OCEH为矩形，•.EH=OC=r,丁D为二即勺三分之一分点，且DB的长等于两倍的CD的长，.NBAD=2NDAC,.NBAD/x45°=30°,3在RtAAHE中，NBAE=30°,NAHE=90°,•.AE=2EH=2r.点评：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角；圆的切线垂直于过切点的半径；记住含30度的直角三角形三边的关系.18.如图，△ABC是锐角三角形，以BC为直径作。O,AD是。O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC的延长线于F,AF.AC求证：AD=AE的延长线于F,AF.AC求证：AD=AE.考点：、、：专题切割线定理;证明题.相似三角形的判定与性质.分析：连接BN,根据BC为。O的直径，求证△ABN-△AFE利用其对应边成比例得AE2=AN・AC,再利用切割线定理得出AD2=AN・AC,然后利用等量代换即可.解答：证明：如图，设AC交。O于点N.连接BN,丁BC为。O的直径，・•・乙BNC=90°,「.乙BNA=90°,vFE±AB,「.NAEF=90°=NBNA,NBNA=NFAE,・•.△ABN-△AFE,.AB-AN.. ,A