高一数学必修一必修二各章知识点总结

高一数学必修一必修二各章知识点总结数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合1.集合的概念：集合是由一些确定的、互异的、无序的元素组成的整体。2.集合的元素特性：确定性、互异性、无序性。3.集合的表示方法：常用数集及其记法、列举法、描述法。4.集合的分类：有限集、无限集、空集。5.常见集合的符号表示：自然数集N、正整数集N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。二、集合间的基本关系1.子集、真子集、空集。2.有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集。3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1.交集：由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，记作A∩B。2.并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的一个子集，记作A∪B。3.补集：由U中所有不属于A的元素组成的集合，记作A的补集（或余集）。四、函数1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。2.常用的函数表示法及各自的优点：解析法、图象法、列表法。3.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。是指对于任意的x，都有f(-x)=f(x)的函数，即函数的图像关于y轴对称。常见的偶函数有：$f(x)=x^2$，$f(x)=\cos(x)$等。（2）奇函数是指对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)的函数，即函数的图像关于原点对称。常见的奇函数有：$f(x)=x^3$，$f(x)=\sin(x)$等。（3）如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，那么它就是一般函数。注意：函数的奇偶性是函数的整体性质，与定义域和单调性无关。函数可以根据定义域的不同部分，有不同的解析表达式。每个部分的自变量也有不同的取值情况。分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。函数的单调性是指在定义域内的某个区间内，当自变量的取值不同时，函数值的大小关系是否保持一致。如果保持一致，就称函数在该区间内是单调增或单调减。单调性是函数的局部性质。判断函数单调性的方法有定义法、图象法和复合函数的单调性判定法。函数的单调区间只能是其定义域的子区间。函数的奇偶性是指函数关于y轴或原点的对称性。如果对于任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么函数是偶函数；如果对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数是奇函数；如果既不是偶函数也不是奇函数，那么函数就是一般函数。函数的奇偶性是函数的整体性质，与定义域和单调性无关。1.分数指数幂我们规定正数的分数指数幂的意义为：$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}(a>0,m,n\inN^*,n>1)$$同时，我们规定负数的分数指数幂没有意义。2.实数指数幂的运算性质对于实数指数幂，我们有以下运算性质：$$(a^r)\cdot(a^s)=a^{r+s}(a>0,r,s\inR)$$$$(a^r)^s=a^{rs}(a>0,r,s\inR)$$$$(ab)^r=a^r\cdotb^r(a,b>0,r\inR)$$3.指数函数及其性质（1）指数函数的概念一般地，我们把函数$y=ax$（$a>0$且$a\neq1$）称为指数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域为$R$。需要注意的是，指数函数的底数不能是负数、零和1。（2）指数函数的图象和性质当$a>1$时，指数函数的图象如下：当$0<a<1$时，指数函数的图象如下：指数函数的值域为正实数，且在$R$上单调递增，同时也是非奇非偶函数。函数图象都过定点$(0,1)$。利用函数的单调性，我们可以得到以下性质：（1）在$[a,b]$上，$f(x)=a^x$（$a>1$或$0<a<1$）的值域是$[f(a),f(b)]$或$[f(b),f(a)]$；（2）若$x\neq0$，则$f(x)\neq1$；$f(x)$取遍所有正数当且仅当$x\inR$；（3）对于指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a\neq1$），总有$f(1)=a$。二、对数函数（一）对数的概念一般地，如果$a=N$（$N$为正整数），那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$x=\log_aN$。需要注意的是，底数$a$不能是负数、零和1。两个重要对数：1.常用对数：以10为底的对数$\log_{10}N$；2.自然对数：以无理数$e$为底的对数的对数$\lnN$。同时，指数式与对数式可以互相转化。（二）对数函数的图象和性质当$a>1$时，对数函数的图象如下：当$0<a<1$时，对数函数的图象如下：对数函数的定义域为$(0,+\infty)$，值域为$R$，在$R$上递增，函数图象都过定点$(1,0)$。三、幂函数我们把函数$f(x)=x^\alpha$（$\alpha<0$）称为幂函数。幂函数的值域为$R$，在$R$上递减。函数图像都过定点（1，0）。若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则有以下对数运算性质：1.loga(M·N)＝logaM＋logaN；2.loga(M/N)＝logaM－logaN；3.logaM^k＝k·logaM，其中k为任意实数。幂函数的定义为：一般地，形如y＝x^α（α为常数）的函数称为幂函数。幂函数的性质归纳：1.所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图像都过点（1，1）。2.当α＞0时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，+∞)上是增函数。特别地，当α＞1时，幂函数的图像下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图像上凸。3.当α＜0时，幂函数的图像在区间(0，+∞)上是减函数。在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴。在第三章中，我们学习了函数的应用。一、方程的根与函数的零点1.函数零点的概念：对于函数y，把使f(x)=0（x∈D）成立的实数x叫做函数的零点。y=f(x)（x∈D）2.函数零点的意义：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，即函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标。即：方程f(x)=0有实数根⟺函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⟺函数y＝f(x)有零点。3.函数零点的求法：1.（代数法）求方程f(x)=0的实数根；2.（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。4.二次函数的零点：二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的零点可以用求根公式求得，即x=（-b±√(b^2-4ac)）/2a。一、二次函数二次函数的一般式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。根据二次函数的一般式，可以得出以下三种情况：（1）当△＞0时，方程ax^2+bx+c=0有两不等实根，此时二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点。（2）当△＝0时，方程ax^2+bx+c=0有两相等实根，此时二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。（3）当△＜0时，方程ax^2+bx+c=0无实根，此时二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。二、函数的应用解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解。三、对数函数对数函数的底数限制为a＞0且a≠1。对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。对数函数的反函数为指数函数。四、空间几何体1、柱、锥、台、球的结构特征：（1）直棱柱：两底面相互平行，侧面是平行四边形；（2）正棱柱：两底面相互平行，侧面是正多边形；（3）正棱锥：底面是正多边形，侧面是三角形；（4）正棱台：底面是正多边形，侧面是梯形；（5）平行六面体：两底面相互平行，侧面是矩形。（6）圆柱：两底面相互平行，侧面是圆柱面；（7）圆锥：底面是圆，侧面是圆锥面；（8）台：底面是圆，顶面是小于底面的圆，侧面是台面；（9）球：球心到球面上各点的距离相等。2、空间几何体的三视图：正视图、侧视图、俯视图。3、空间几何体的直观图——斜二测画法：原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积：柱体的表面积为2πrh+2πr^2，体积为πr^2h；锥体的表面积为πr√(r^2+h^2)+πr^2，体积为1/3πr^2h；台体的表面积为2πr(h1+h2)+2πr^2，体积为1/3πh(r1^2+r2^2+r1r2)；球的表面积为4πr^2，体积为4/3πr^3。空间直线与直线之间的位置关系是几何学中的重要内容。首先，我们需要了解柱体、锥体、台体的表面积和体积公式。对于棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台，它们的表面积和体积公式分别如下：-棱柱表面积：全面积=侧面积+2底面积；体积=底面积×高。-圆柱表面积：全面积=2πr²+2πrh；体积=πr²h。-棱锥表面积：全面积=侧面积+底面积；体积=底面积×高÷3。-圆锥表面积：全面积=πr²+πrl；体积=πr²h÷3。-棱台表面积：全面积=侧面积+上底面积+下底面积；体积=(上底面积+下底面积+底面积×母线长)÷3。-圆台表面积：全面积=π(r'²+r'r+l²)+πr²；体积=πh(r'²+r'r+h²)÷3。其次，我们需要了解球体的表面积和体积公式，分别为：球体表面积=4πR²，球体体积=4/3πR³。在了解了这些公式后，我们可以进一步探讨空间点、直线、平面之间的位置关系。对于平面，我们需要了解它的概念、表示方法以及点与平面、直线与平面之间的关系。对于空间直线与直线之间的位置关系，我们需要了解公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。此外，我们还需要了解平面的基本性质，包括三条公理和它们的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”。总之，了解这些几何学的基础知识可以帮助我们更好地理解空间点、直线、平面之间的位置关系，为后续的几何学习打下坚实的基础。1.空间中直线的位置关系：-共面直线：同一平面内，没有公共点；-平行直线：同一平面内，没有公共点；-异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。异面直线判定：通过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线。异面直线所成角：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a'//a,b'//b，把a',b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）。异面直线所成的角的范围为(0,90°]，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a⊥b。求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。2.空间中的平行问题：直线与平面平行的判定及其性质：-线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。-线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。平面与平面平行的判定及其性质：-两个平面平行的判定定理：-如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。-如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。-垂直于同一条直线的两个平面平行。-两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行。2、平面的交线平行如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么它们的交线就是平行线。用符号表示为：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，那么a//b。3、垂直问题（1）垂直的定义①异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直。②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直。③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角（平面角是直角），那么这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。用符号表示为：l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，mα，nα，那么l⊥α。性质定理：如果两条直线都垂直于一个平面，那么这两条直线平行。用符号表示为：a⊥α，b⊥α，那么a//b。②面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。用符号表示为：a⊂α，α⊥β，那么α⊥β。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。用符号表示为：α⊥β，αβ=l，a⃗⊂α，a⊥l，那么a⊥β。4、空间角问题（1）直线与直线所成的角①两平行直线所成的角：规定为0度。②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a'，b'，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角①平面的平行线与平面所成的角：规定为0度。②平面的垂线与平面所成的角：规定为90度。③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角是指一个棱上的点，分别向两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角度就是二面角的平面角。如果平面角是直角，那么这个二面角就是直二面角。如果两个平面所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面就垂直。我们可以通过在棱上选择点，分别在两个面内作垂直于棱的射线来求二面角，也可以通过已知二面角内一点到两个面的垂线，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角来求二面角的平面角。直线的倾斜角是指直线与x轴正向和向上方向之间所成的角度。当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0度。当直线的倾斜角不为90度时，我们可以用正切值来表示它的斜率，即k=tanα。斜率反映了直线与轴的倾斜程度。当倾斜角在0度到90度之间时，斜率为正；当倾斜角在90度到180度之间时，斜率为负；当倾斜角为90度时，斜率不存在。我们可以通过过两点的直线斜率公式来求直线的斜率，也可以通过点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式来表示直线的方程。不同的直线方程适用于不同的情况，例如点斜式和斜截式不适用于垂直于x轴的直线。特殊的方程如平行于x轴的直线y=b和平行于y轴的直线x=a也可以用来表示直线方程。直线系方程可以用来表示具有共同性质的直线，例如平行直线系的方程为x+By+C=0。Ax^2+Bx+Cy^2+Dy+E=0（2）一般方程其中A、B、C、D、E为常数，且A和C不同时为0.3、圆的位置关系（1）两圆相离：两圆之间的距离大于两圆半径之和.（2）两圆外切：两圆之间的距离等于两圆半径之和.（3）两圆相交：两圆之间的距离小于两圆半径之和.（4）两圆内