数学必修5选修2-1期末试卷+答案详解

数学必修5选修2-1期末试卷+答案详解一、选择题(1)在三角形ABC中，已知a=3，b=5，sinA=1/3，则sinB=4/5。(2)设x为整数，集合A为奇数集，集合B为偶数集。如果命题p:对于所有的x∈A，都有2x∈B，则否定命题为q:存在一个x∈A，使得2x∉B。(3)设动点P到点M(1,0)和点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是双曲线的一支。(4)“1<x<2”是“x<2”成立的必要不充分条件。(5)设a,b,c∈R，且a>b，则ac>bc。(6)设首项为1，公比为r的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn=2ar(1-r^n)/(1-r)。(7)若2x+2y=1，则x+y的取值范围是[0,2]。(8)抛物线y=4x的焦点到双曲线(x-3)^2/4-y^2/9=1的距离是1。(9)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S(m-1)=-2，Sm=0，S(m+1)=3，则m=4。(10)已知锐角三角形ABC中，cosA/3+cos^2A/3=2/3，a=7，c=6，则b=10。(11)已知椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于点A、B，且AB的中点坐标为(1,-1)，则E的方程为9x^2/16+y^2/9=1。(12)文字题目没有完整呈现，无法进行修改。1.中，AB=BC=2，∠A=1，则BC与平面BDD所成角的正弦值为（）A.1/2B.√3/2C.1D.√2/22.填空题：（13）不等式x+x-2<0的解集为（-∞，2）∪（2，+∞）（14）设x,y满足约束条件{1≤x≤3，-1≤x-y≤1}，则z=2x-y的最大值为4（15）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1、a2、a5成等比数列，则S8=42（16）已知圆M：(x+1)²+y²=1，圆N：(x-1)²+(y-9)²=1，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则C的方程为(x-1)²+y²=163.解答题：17.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则当边长x为何值时，花园面积最大并求出最大面积。解：设矩形的长为y，则由相似三角形可得y/x=40/(40+x)，即y=40x/(40+x)。矩形面积为S=xy=40x²/(40+x)。对S求导得S'=(40x²-1600x)/(40+x)²，令S'=0得x=40/3，代入S得最大面积为S=1600/3。18.已知p：x+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x+4(m-2)x+1=0无实根，若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围。解：对p求根得x1和x2，由于x1和x2都是负数，则m<-(x1+x2)/x1x2。对q求根得x3和x4，由于无实根，则(m-2)²<4，即-2<m<2。因为p∨q为真，所以p和q至少有一个为真，即m<-(x1+x2)/x1x2或(m-2)²<4。因为p∧q为假，所以p和q不能同时为真，即m≥-(x1+x2)/x1x2且(m-2)²≥4。综合得-2<m<-(x1+x2)/x1x2或m≥2。19.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=bcosC+csinB。（1）求B。解：根据正弦定理和余弦定理可得b/sinB=c/sinC=a/sinA，c=bsinC/asinB，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-2abcosC，代入已知条件可得bcosC+csinB=a(bsinC+ccosB)/sinB，化简得sinB=2a/(b+c)，代入正弦函数可得B=arcsin(2a/(b+c))。（2）若b=2，求△ABC面积的最大值。解：根据已知条件可得a=2cosC+2sinB，代入海伦公式可得S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]=√[(a²+b²+c²)/4](sinA/2)=2√[(2cosC+2sinB)²+4]/4sinB=√[4cos²B+8sinB+8]/sinB，对S求导得S'=(cosB-2)/sin³B，令S'=0得B=arccos(1/2)，代入S可得最大面积为2√3。20.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点。（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值。解：（1）设A1B和C1D的交点为E，由于A1B⊥AC，所以∠A1EB=90°，由向量叉乘可得A1B×C1D=2i+4j+2k，A1B的方向向量为2i+4j，C1D的方向向量为i-j+2k，所以A1B×C1D的模长为√24，所以sin∠A1BE=sin∠C1DE=√6/4，cos∠A1BE=cos∠C1DE=1/2，所以cos∠A1BC1D=cos(∠A1BE+∠C1DE)=cos∠A1BEcos∠C1DE-sin∠A1BEsin∠C1DE=1/4。（2）设平面ADC1与平面ABA1的交线为L，L与AB的交点为F，由于AB⊥AC，所以∠AFC=90°，由向量叉乘可得AC×A1C1=-4i+4j+8k，AC的方向向量为2i+2j+2k，A1C1的方向向量为-4i+2j，所以AC×A1C1的模长为√32，所以sin∠AFC=sin∠A1LC1=√2/2，cos∠AFC=cos∠A1LC1=1/2，所以cos∠A1DC=cos(∠AFC+∠A1LC1)=cos∠AFCcos∠A1LC1-sin∠AFCsin∠A1LC1=1/4，所以sin∠A1DC=√15/4。所以平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为√15/4。21.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an-a1=Sn·Sn-1，n∈N*（1）求a1、a2，并求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和。解：（1）对已知式子求和得an=a1+(n-1)Sn-1，代入已知条件可得a1=1，a2=3，an=2n-1。（2）设bn=nan-a1，则bn=2nSn-1，所以∑bn=2∑nSn-1=nSn，代入Sn的递推式可得∑bn=nSn-S1，所以∑nan=nSn-n(n-1)/2。22.设椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为e，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√3。（1）求椭圆的方程；（2）设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C、D两点。若AC·DB+AD·CB=8，求k的值。解：（1）设左顶点为L，右顶点为R，则FL=e·a，FR=a，LR=2b，所以a²-b²=4，又因为直线与x轴垂直，所以L、R关于y轴对称，即L(-c,0)，R(c,0)，所以a²=c²+b²，代入得椭圆的方程为x²/(b²+c²)+y²/b²=1。（2）设直线的方程为y=kx+d，代入椭圆的方程可得(b²+c²)k²x²+b²y²=b²(b²+c²)，代入已知条件可得k=±√3/3。设C、D的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)，代入椭圆的方程可得(x1²+y1²/b²)(b²+c²)/(b²+x1²k²)=1，(x2²+y2²/b²)(b²+c²)/(b²+x2²k²)=1，代入已知条件可得x2-x1=4√3/b，y1+y2=0，所以y1=-y2，代入AC·DB+AD·CB=8可得2b|y1(x2-x1)|=8，所以|x2-x1|=2b/√3，所以k=±√3/3。(1)在三角形ABC中，已知a=3，b=5，sinA=1/3，求sinB。根据正弦定理，有sinB=b*sinA/a=5*(1/3)/3=5/9。(2)设x∈Z，集合A为奇数集，集合B为偶数集。若命题p:∀x∈A，2x∈B，则p的否定为“存在x∈A，使得2x∉B”，即p:∃x∈A，2x∉B。因此，选C。(3)动点P到点M(1,0)和点N(3,0)的距离之差为2，求点P的轨迹。设点P的坐标为(x,y)，则由题意可得：√[(x-1)²+y²]-√[(x-3)²+y²]=2将两边平方并化简，得到：y²=4x-7因此，点P的轨迹是一条向右开口的单曲线，即选A。(4)“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件。因为1<x<2相当于x∈(1,2)，而x<2相当于x∈(-∞,2)，(1,2)是(-∞,2)的真子集，因此“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件，选A。(5)设a,b,c∈R，且a>b，判断ac/bc的大小关系。因为a>b>0，所以ac>bc，即ac/bc>1。因此，选A。(6)设等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为Sn。求Sn的表达式。由等比数列的求和公式可得：Sn=1(q^n-1)/(q-1)将公比q替换为根号3，得到：Sn=3-2^(1-n)因此，选D。(7)若2+2=1，则x+y的取值范围是(-∞,-2]。因为2+2=1不成立，所以题目无解，选无解或不合法。(8)求抛物线y=4x的焦点到双曲线(x-3)²/2²-y²/4=1的渐近线的距离。抛物线y=4x的焦点为(1,4)。双曲线(x-3)²/2²-y²/4=1的渐近线方程为y=±(x-3)/2。将点(1,4)带入渐近线方程，可得到距离为3/2。因此，选B。｝的通项公式；（Ⅱ）若数列｛an｝为等差数列，且a1=2，求S10的值.【解析】（Ⅰ）由已知得a1=2S1•Sn+2n-12n,a2=2S1•Sn+2n-12n-1.因为a10,所以2ana12S1•Sn+2n-12n-2S1•Sn+2n-12n-1=2n-12n，整理得Sn=2n-22n-1a1+2n-32n-1a2.因此，数列｛an｝的通项公式为an=2n-22n-1a1+2n-32n-1a2.（Ⅱ）设数列｛an｝的公差为d，则a1=2，a2=2+d，a3=2+2d，……，a10=2+9d.因为S10=5(2+a10),代入得S10=55+45d.因为数列为等差数列，所以2ana1=(an+a1)(n-1)，代入得(an+2)(n-1)=2n.因为a1=2，所以an=2+(n-1)d.代入得(n-1)d+4=(n+2),解得d=3，代入得S10=200.根据已知条件，可得到以下等式：2k-6=2+3k^2/(2k^2+12)。通过简单的代数运算，我们可以得到k的值为正负2。（这段话已经很清晰了，无需改写）现代社会中，人们越来越依赖于科技。然而，这种依赖也带来了一些问题。例如，人们变得更加孤立，因为他们更愿意通过电子设备来交流，而不是面对面的交流。此外，科技也会带来一些安