2023年高考全国乙卷数学(理)真题（解析版）

2+iZ2+iZ=------7-----5-1.设1+1~+1,则3=()CiDi【解析】【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轴复数的定义确定其共辄复数即可.2023年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题则歹=1+2i.故选：B.2设集合U=R,集合M={x|x<l},N={x|-lvx<2},则{x|x>2}=()A.N)B.NgMC.q(A/|N)D.M【答案】A【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{x\x>2}即可.【详解】由题意可得MjN={x\x<2}f则%(8")=国22},选项A正确；^,M={x\x>\}t则Njq,M={x|x>-l},选项B错误；M7V=(x|-l<x<l),则q,(McN)={x|x<-l或工21},选项C错误；^N={x\x<-1或论2},则MJ^N={x\x<\或论2},选项D错误;故选：A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积为()【答案】D【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体ABCD-\BXCXD}中，AB=BC=2,4气=3,点K为所在棱上靠近点BpCpD.M,的三等分点，O,L,M,N为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD-A^QD,去掉长方体ONIC}-LMHB{之后所得的几何体，B-------------VC该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，故选：D.4.己知f(x)=^—是偶函数，则。=()eI【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.的两条对称轴二二【详解】因为/*(*)=丰'为偶函数，则/(x)_/(t)=心_(7)舟=又因为*不恒为0,可得e'—eS')'=0,即e'=e(“-诉,故选：D.5.设。为平面坐标系的坐标原点，在区域((x,y)|l<x2+y2<4)内随机取-点，记该点为A,贝埴线Q4的倾斜角不大于买的概率为()【解析】【分析】根据题意分析区域的儿何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域{(x,y)|l<x2+j2<4}表示以。(0,0)圆心，外圆半径R=2,内圆半径〃=1的圆环,则直线OA的倾斜角不大于『部分如阴影所示，在第-象限部分对应的圆心角商。N弓9n结合对称性可得所求概率a_1.I—-----=—Ji2n6.己知函数f(x)=sin(a)x+(p)在区间单调递增，直线x=^和x=当为函数y=/(x)的图像63【答案】B22362TMB.-1C.iD.亟2222【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x=~—即可得到答案.【详解】因为f(x)=sin(g+Q)在区间I单调递增，所以一二----—=—»且口＞0,则丁=”,vv=—所以一二----—=—»且口＞0,则丁=”,vv=—=2,当x=^时，f(x)取得最小值，则2£+9=2虹—?，kcZ,662则伊=2虹，kwZ,不妨取化=0,则/(x)sin(2x-^l,贝f[一妄J=sm(—贝f[一妄J=sm(—l=—,故选：D.7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()【解析】【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有C：种情况,然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，故选：C.8.己知圆锥PO的底面半径为占，O为底面圆心，所，PB为圆锥的母线，£4QB=120。，若.PAB的面积等于匝，则该圆锥的体积为()4A.兀B.^71C.3nD.3»兀【幻C【解析】【分析【幻C【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取A3的中点E，连接CE,DE,因为是等腰直角三角形，且AB为斜边，则有CE1AB.又△A8Z)是等边三角形，则DEOAB，从而NCEQ为二面角C-AB-D的平面角，即ZCED=\50，【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在&4O8中，£408=120°，而OA=OB邓，取AC中点C,连接OC,PC,有OCLAB,PCLAB,如图，旦AB=2BC=3,由.PAB的面积为匝，得lx3xPC=^2424解得PC=,于是PO=JPC'O®=j(孕I手)2=妤所以圆锥的体积V=-nxOA2xPO=-nx(y/3)2xy/6=46n.33ZABO=30.OC=故选：B9.已知^ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△AEZ)为等边三角形，若二面角。-人8-。为150。,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为(,【答案】B【解析】【分析,【答案】B【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作.【详解】依题意，等差数列{%}中，％=《+(〃一1)•号二三〃+(6一《)，显然函数y=COS[y/?+(^-y)]的周期为3,而即COS%最多3个不同取值，又显然CEcDE=E,CE,DEu平面COE，于是AB1平面C庞，又ABu平面ABC,因此平面CDEL平面ABC,显然平面CDEc平面ABC=CE,直线CDu平面CDE，则直线CD在平面A8C内的射影为直线CE,从而NDCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2，则CE=1,DE=H，在一CDE中，由余弦定理得:CD=y/cE2+DE2-2CE-DEcosZCED=sinZDCEsinZC^£>V72<7DECD即sinZDCE=^^~=~^=,显然NDCE是锐角，cos2DCE=Jl-sir?2DCE=所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为如.5故选：C10.己知等差数列{%}的公差为学，集合S={cosq|〃€N*},若S={”,。},则沥=()B.—2D.-2B.—2D.-2A.-1|D211.设A,8为双曲线工2_号=1上两点211.设A,8为双曲线工2_号=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1)【解析】【分析】根据点差法分析可得1^1=9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设必而疗),研易,力)，则的中点材(号言笑也)，(cosan|hgN*}={ci,b},于是有cos/9=cos(6>+—),即有。+(。+竺)=2虹,keZ,解得0=kit--,keZ,333所以ksZ,ab=cos(Zti-—)cos[(^7r-—)+—]=-cos(^7t-—)coskn=-cos2Attcos—.333332B凹+、2可得灼=222222两式相减得(蚌一£)一=o,因为A,B在双曲线上，则，所以“AB•k==9.对于选项A：可得Sl—=9,则AB:y=9x-S,y=9x-S联立方程〈▲U=l，消去>得72月一2乂72工+73=0,9此时△=(-2x72)2-4x72x73=-288vO,所以直线人8与双曲线没有交点，故A错误;9此时△=(2x9此时△=(2x45)2-4x45x61=Tx45xl6<0,所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得k=3,kAB=3,则AB:y=3x由双曲线方程可得。=1，=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线,所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；97联立方程〈,消去y得63好+126工一193=0,y=—x—442MA=1262+4x63x193>0»故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确;故选：D.12.己知O。的半径为1,直线31与OO相切于点A,直线P8与。O交于8,C两点，D为BC的中点,44【解析】【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得以.PZ)=!一季sin2。一§),或PA.F£)=?+gsin2。+：然后结合三角函数的性质即可确定PAPZ)9对于选项B：可得9对于选项B：可得k——2,kAB=——,则AB:y—9联立方程<消去〉得45尸+2乂45工+61=()，若|PO|=JL则24.户£)的最大值为()1+^22C.1+很24【详解】如图所示，|OA|=1,|OF|=JL贝ij由题意可知:匕4FO=45,由勾股定理可得pa=』of^-o£=1当点4。位于直线PO异侧时，设ZOPC则：pa.PD=IPA||P£>|cosa+f/4JlxV2lxV2C0S6ZC0Sa+—4=>/2cosa52=cos2a-sinacosa2=Ms』2口224°”弓’则壬m一35."3,时’必/D有最大电4a,0<a<4当点位于直线PO同侧时，设ZOPCa,0<a<—,.c712222I40<a<-,则一《2。+—K一4442.,•当2a+£=£时，P4PD有最大值”二.422综上可得，pa.pd的最大值为也反2故选：A.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.题13.己知点A(l,>/5)在抛物线C：y2=2px±f则A到C的准线的距离为.9【答案】一4【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为工=-°,最后利4用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.【详解】由题意可得：(J^「=2pxl,则2〃=5,抛物线的方程为、2=5x,/5、9准线方程为工=一一，点A到C的准线的距离为1---I4；4\\a—cos.^sina2x-3y<-\14.若x-3y<-\14.若x,)，满足约束条件，x+2y<9,则z=2x-y的最大值为.3x+y>l【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.详解】作出可行域如下图所示：z=2x-yf移项得y=2x-z,x-3y=-\fx=5415.己知{"〃}为等比数列，。2。4。5=。3%，％。10=-8，则。7=.【答案】-2【解析】【分析】根据等比数列公式对"4%="6化简得郴=1，联立为《0=-8求出e=-2,最后得z7=aq"=q，=-2.【详解】设{%}的公比为冬(0工0),则ci2a4a5=a3a6=a2q-a5q,显然则%*2,即W=q?,则《0=1,因为％%0=-8,则=-8,则"5=(05)3=_8=(—2)3,则g=_2,则%=白向矿=q，=-2,联立有〈/,解得]设人(5,2),显然平移直线y=2x使其经过点A,此时•截距-z最小，则z最大,故答案为：8.故答案为：-2.16.设故答案为：-2.16.设6TG(0,l),若函数/*(*)="+(1+1)、在(0,+8)上单调递增，则。的取值范围是.【答案】[穿，1)【解析】【分析】原问题等价于f\x)=ax\na+(\+a^ln(l+〃)20恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得—火"由右侧函数的单调性可得实数。的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数"的取值范围.【详解】由函数的解析式可得f\x)=ax\na+(\+a\ln(l+a)>0在区间(0,+勿)上恒成立，则(l+i)'ln(l+")2—/lno,即(蜉)2、二)在区间(°，+8)上恒成立，故=]2一「,而q+1e(1,2),故ln(l+tz)>0,故*(")2—1%即"+1)21,故也“〈I，结合题意可得实数以的取值范围是[g、，l.故答案为：[与kl)三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的试验序号/123456789伸缩率N伸缩率N否则不认为有显著提高).【答案】(否则不认为有显著提高).【答案】(1)Z=lbS〉=61；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出云亍，再得到所有的z,•值，最后计算出方差即可；(2)根据公式计算出2届的值，和；比较大小即可.(1)求；，s2;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z>2届，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，【小问1详解】x=------------------------------------------------------=552.3,=541.3,z=x-y=552.3-541.3=11,nx.v*=-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=o1所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.】8.在^ABC中，己知匕B4C=120。，AB=2，AC=\.(1)求sin匕ABC：(2)若。为BC上一点，且ZBAD=90%求ZVIDC的面积.【小问2详解】由(1)知由(1)知：z=lb=2』6.\—』24.4，故有z>2^3,(2)匝.【解析】【(2)匝.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=J7,然后由余弦定理可得cosB=匝，最后由同【答案】(1)匝；角三角函数基本关系可得sinB=匝；(2)由题意可得李亚=4,则S^ACD=-S^ABCf据此即可求得△/!£)(?的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：=4+l-2x2xlxcosl20=7，则BC=V7，cosB=----------=--------==----,lac2x2x7714【小问2详解】S—xABxADxsin90由三角形面积公式可得浮业=岸-------------------=4,S-acd—xACxAOxsin302则=?S△软=，(：x2xlxsinl20=黑.JD\ZyIkJ19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB1BC,AB=2，BC=2皿，PB=PC=»，BP,AP,BC的中点分别为D,E,0,AD=,DO,点F在AC上，BFLAO.p(1)p(1)证明：以〃平面ADO；(2)证明：平面ADO.L平面8EF；(3)求二面角D-AO—C的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)豆.2【解析】【分析】(1)根据给定条件，证明四边形0D以为平行四边形，再利用线面平行判定推理作答.(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接设AF=tAC,则BF=BA+AF=+,AO=-BA+^BC,BF边形，EF//DO,EF=DO,又EF<Z平面AOQOOu平面ADO所以以〃平面ADO.解得t=-f则F为AC的中点，由D,E,O,F分别为PB,R4,BGAC的中点，2于是DE//AB,DE=\AB、OF/1AB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF，贝ij四边形ODEF为平行四22==+1+=+-rBC2=4(z-l)+4r=0,由(1)由(1)可知EF//OD,则A0=8,。。=亟，得AD=45DO=—22【小问2详解】因itOD^AO2=AD2=—,则ODVAO,有EFYAO.2又AO1BF,BF\EF=F,BF,EFu平面BEF，则有AOJL平面BEF，又AOu平面ADO,所以平面ADO1.平面BEF.【小问3详解】过点。作0H//8F交AC于点H,设ADBE=G,由AO1BF,得HO1AO,且FH=-AH,3又由(2)知，OD.LAO,则ND0H为二面角D-A0-C的平面角，因为O,E分别为的中点，因此G为aPAB的重心，1113即有。G=—AD,GE=—BE,又FH=-AH,即有DH=—GF,33324+315—_cosZABD=2x2^=?2x了2x务8解得PA=应，同理得8E=匝2,2在△D0H中，OH=-BF=—,0D=—,DH=—，2222PV15zV15z,3屈应于是BE2+EF2=BF2=3^即有BELEF，则GF2=32从而GF=----，DH=—x------=------，3232ee_6+315_于是cosZD0H=打*%=一-,sin2D0H=2x«x四222所以二面角D-AO-C的正弦值为豆2一史,-2'20.已知椭圆C：%.+§=1(。＞人＞0)的离心率为季，点4(-2,0)在C上. (1)求C的方程;(2)过点(-2,3)的直线交C于点P,Q两点，直线AP,AQ与)，轴的交点分别为M,N,证明：线段MN案】(1)匕+土=194 (2)证明见详解【解析】【分析】(1)根据题意列式求解a,b,c,进而可得结果；(2)设直线R2的方程，进而可求点M,N的坐标，结合韦达定理验证蜒互为定值即可.2【小问1详解】由题意可得，a2=b2+c2,解得方=2,=—=—c5/5=—=—a3所以椭圆方程为丈+三=1.l为+2J同理可得N0,主土l为+2J同理可得N0,主土令"。，解得尸不，即M0,c,则3+2邑+2_[*(石+2)+3]仕(沔+2)+3]xA4尸+9*所以线段PQ的中点是定点(0,3).4广+9【小问2详解】由题意可知：直线R2的斜率存在，设P0y=A(x+2)+3,P3涵),Q(邑况),yx,消去)，得：(4®+9)j+8k(2#+3)x+16(A：2+3A:)=0,4号+9因为人(一2,0),则直线AP:y=^-(x+2),可得…【解析】【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关;也可令系数等于零，得出定值； 21.己知函数/(x)=[!+“)m(i+x).(1)当“时，求曲线J=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程；(2)是否存在s。，使得曲线关于直线x=b对称，若存在，求sb的值，若不存在，说明(3)若/'(X)在(0,+8)存在极值，求。的取值范围.【答案】(1)(ln2)x+y-ln2=0； (2)存在a=-,b=~-满足题意，理由见解析.22⑶)【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数。的方程，解方程可得实数。的值，最后检验所得的。，人是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数^(x)=ot2+x-(x+l)ln(x+l),然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a＞-和0＜。＜上三中情况即可求得实数。的取值22【小问1详解】当々=一1时，ln(x+1),函数的定义域满足-+1=—＞0,即函数的定义域为(-8,-l)D(0,+OO),定义域关于直线x=-~对称，由题意可得b=-~,22由对称性可知'一；一"7)(刀＞!，即(in2)x+y-ln2=0.【小问2详解】由函数的解析式可得二(工+〃)血(，+1),1x+1经检验。=上,人=—满足题意，故。=—,方=一上.2222【小问3详解】由函数的解析式可得广(【小问3详解】由函数的解析式可得广(X)=(—2ln(x+1)+[—一—由/'(■¥)在区间(0,4-<X>)存在极值点，则广3)在区间(0,+8)上存在变号零点;令]--yln(x+l)+f—+6?—二0,Vx)\x)x+\则-(x+l)ln(x+l)+(x+a¥2)=o,令8(工)=物4-x-(x+l)ln(x+l),f(x)在区间(O,+8)存在极值点，等价于g(x)在区间(0,+8)上存在变号零点，g，(x)=2o^-ln(x+l),g"(A：)=2"----*当a<0时,g'⑴vO,g。)在区间(0,+8)上单调递减，此时g(*)vg(O)=0，g⑴在区间(0,+时上无零点，不合题意;当心!，2。21时，由于白■<1,所以g'(x)>O,g'(x)在区间(0,+时上单调递增,所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在区间(0,+8)上单调递增,g(x)>g(O)=O,所以g(x)在区间(0,+a?)上无零点，不符合题意；当OvovL时，由g(x)=2a一一二0可得x=--一1,2x+12a(1A当xc0,--一1时，妒⑴<0,g'(jv)单调递减，当尤4土T，*3)时■，g"3)>°，g'(x)单调递增，故g'(x)的最小值为g'土一l)=l-2o+ln2o,令〃?(工)=1一x+lnx(O<xv1),则tn[x)=------->0,函数刀(工)在定义域内单调递增,w(x)<m(l)=0,即存在a=—,b=—满足题意.22据此可得l据此可得l-x+lnx<0恒成立,则g'令/?(%)=Inx-%2+x(x>0),则h\x)=~^X—X+^>当xg(0,1)时，〃3)>0,/?(尤)单调递增,当x€(l,+oo)时,/?'(%)<0,/?(x)单调递减，故机X)方⑴=0,即取等条件为工=1),所以gr(x)=2ax-\n+X8，(2。-1)>2心-1)-[(2。-1)2+(2。-1)]=0,且注意到'(0)=0,根据零点存在性定理可知:g'(x)在区间(0,+8)上存在唯"零点％.当xe(0,xo)ut,g'(x)v0,g⑴单调减，当工€(%,+00)时，g'3)>0,g(x)单调递增，所以g(与)vg(0)=0.令〃(工)=111工一!"一上)，则,/(%)=—-—ri+4)=(x;)匕0‘\x)x21x)则〃(尤)单调递减，注意到叩)=0,故当xg(l,+oo)>Inx———JvO,从而有—)，所以^(x)=ar2+x-(x+l)ln(x4-l)>ax2+x-(x+\}x-(x+1)——2所以函数g(x)区间(0,+8)上存在变号零点，符合题意.(1)(1)综合上面可知:实数。得取值范围是0,-.I2J【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. (2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.【选修4.4】(10分)22.在直角坐标系xQy中，以坐标原点。为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程八兀'八[x=2cosa