2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（二模）

2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷（二模）

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）sin20°sin100-cos20°cos10°=（)

A.B,-1C.-

222

2.（5分）在复数范围内，已知p,q为实数，17是关于x的方程f+px+q=0的一个根,

则p+q=（）

A.2B.1C.0D.-1

3.（5分）已知集合4={0},B={x\x,,a）,若=则实数a的取值范围是（）

A.（YO,0）B.（-00,OJC.（0,-KO）D.10,+oo）

4.（5分）2021年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年

革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》4首独

唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安

排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（）

A.14B.48C.72D.120

5.（5分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地

震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为/gE=4.8+1.5M.2Oll

年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量大约是2008年5

月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放能量的少倍？（参考数值：屈弓3」62,

V10»2.154）（）

A.31.6B.15.8C.4.6D.1.5

6.（5分）关于函数/&）=12,-"，°尸＜2,其中叫给出下列四个结论：

甲：6是该函数的零点；

乙：4是该函数的零点；

丙：该函数的零点之积为0；

丁：方程/（x）=g有两个根.

若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

7.（5分）已知函数/（x）=sin（2x+?）,若函数g（x）=/（x）-。伍£H）在,芳］上恰有

三个零点石，x2,^（x,<x2<x3）,则七一百的值是（）

7T7T

A.-B.-C.TCD.2兀

42

8.（5分）在菱形ABC£）中，AB=6,ZA=60°,连结灰）,沿3£）把AAB。折起，使得二

面角A-BD-C的大小为60。，连结AC,则四面体A8CD的外接球的表面积为（）

A.13〃B.24万C.36兀D.52万

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足.f（x+2）=/（2-x）,且在［0,2］上是增函数，下

面判断正确的是（）

A.f（x）的周期是4

B.f（2）是函数的最大值

C./（X）的图象关于点（-2,0）对称

D./（x）在［2,6］上是减函数

10.（5分）已知a>0,b>0,a+2b=l,下列结论正确的是（）

A.'+2的最小值为9B.片+从的最小值为更

ab5

C.logy+log?人的最小值为-3D.2"+4〃的最小值为2夜

v2

11.（5分）己知双曲线C:d-左=1,其左、右焦点分别为耳，F2,过点K作一直线与双

曲线C的右支交于点P,Q,且国・所=0,则下列结论正确的是（）

A.△P6Q的周长为4B.耳用的面积为3

C.\PFl|=V7+1D.△尸耳。的内切圆半径为疗-1

12.（5分）连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，甲随机选择此正八面体的三个顶

点构成三角形，乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形，且甲、乙的选择互不影响，

则（）

A.甲选择的三个点构成正三角形的概率为2

5

B.甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为3

5

C.乙选择的三个点构成正三角形的概率为3

7

D.甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为口

35

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

4234

13.（5分）iS（x+1）=«（）+ciyX+a2x+a3x+a4x,则4+4+03+4=.

14.（5分）数学史上著名的'‘冰雹猜想”指的是：任取一个正整数机，若机是奇数，就将

该数乘3再加上1；若加是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步

骤后，必进入循环圈If4-2f1.按照上述猜想可得到一个以，〃为首项的无穷数列记作

{q}满足的递推关系为q=m,。用=忖'可为偶数’如取帆=6,根据上述运算法

尻,+1,勺为奇数

则得出“9=1,《0=4,若%=1,则满足条件的一个，”的值为.

15.（5分）已知一张纸上画有半径为2的圆O,在圆O内有一个定点A,且。4=1,折叠

纸片，使圆上某一点A'刚好与4点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A取

遍圆上所有点时，所有折痕与04的交点形成的曲线记为C,则曲线C上的点到圆O上的

点的最大距离为—.

16.（5分）已知向量b,4满足|V+5|=3,|《|=1且a-B+i=（a+5＞一,则的

取值范围是—.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况，随机选取了100名学生进行调查，

其中男生有60人.下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间（单位：分钟）

的频率分布直方图.将日均校内体育锻炼时间在［60,80］内的学生评价为“锻炼时间达标”,

已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生.

（1）若该校共有2000名学生，请估计该校“锻炼时间达标”的学生人数;

（2）根据样本数据完成下面的2x2列联表，并据此判断是否有90%的把握认为‘'锻炼时间

达标”与性别有关?

是否达标锻炼时间达标锻炼时间未达标合计

性别

男

女

合计

n{ad-be)1

附：K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.100.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

18.(12分)如图，。为AABC中BC边上一点，Zfi=60°,AB=4,AC=4-^3.给出如

下三种数值方案:

®AD=V5；®AD=y[\5；③AD=25.

判断上述三种方案所对应的A4a）的个数，并求A48D唯一时，的长.

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形为矩形，PE>_1>平面ABCD,

PD=CD=\,幺与平面所成角为30。，M为尸8上一点且CM_L%.

(1)证明：PA±DM；

(2)设平面以。与平面的交线为/,在/上取点N使尸N=D4,Q为线段PN上一动

点，工，求平面ACQ与平面PDC所成二面角的余弦值的最大值.

20.(12分)已知函数/(幻=空上”上的单调递增区间是［0,1J,极大值是3.

ee

(1)求曲线y=/(x)在点(-1,/(-1))处的切线方程;

(2)若存在非零实数%,使得/(不)=1,m＞0,求/(x)在区间(-8,刈上的最小值.

2LQ2分)已知一个半径为|的圆的圆心在抛物线C:^=2pMp＞。)上’该圆经过坐标原

点且与C的准线/相切.过抛物线C的焦点厂的直线A5交C于A,8两点，过弦/W的中

点M作平行于x轴的直线与直线。4,08,/分别相交于P,Q,N三点.

(1)求C的方程；

(2)当|PQ|=g|MN|时，求直线的方程.

22.(12分)设％=父，bn=\,S"为数歹lj｛a“？b,｝的前"项和，令力(x)=S,一1,其中xwR,

n

n^N+.

(1)当x=2时，数列｛勺｝中是否存在三项，使其成等差数列？并说明理由；

(2)证明：对V〃eN",关于x的方程力0)=0在,1］上有且仅有一个根儿;

(3)证明：KYpeN：由⑵中与构成的数列｛%｝满足Ovx“—七+〃＜』.

n

2021年山东省潍坊市高考数学模拟试卷(二模)

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1【解答】解：

sin20°sin100-cos20°cos10°=-(cos20°cos100-sin20°sin10°)=-cos(20°+10°)=-cos30°=-

故选：A.

2.【解答】解：因为1-i是关于x的方程f+px+q=0的一个根，

则1+i是方程X?+px+q=0的另一个根，

由韦达定理可得l+i+(l-i)=-p,(l+i)(l-i)=q,

解得p=-2,q=2,

所以p+4=0.

故选：C.

3.【解答】解：A0|8=A,

A18,且A={0},B={x\x„a},

二”的取值范围是［0，+oo).

故选：D.

4.【解答】解：根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，

在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有£=60种安排方法，

则有2x60=120种不同的安排方法，

故选：D.

5.【解答】解：设日本地震释放的能量为汶川地震释放的能量为

则由已知可得心耳=4.8+1.5x9=18.3,

lgE2=4.8+1.5x8=16.8,

Z7inl8.3

168

所以E|=1O®3,£2=IO',贝1]黄=^.=1()|5=10而710X3162=31.62,

所以日本地震释放的能量约为汶川地震释放的能量的31.6倍，

故选：A.

6.【解答】解：当xe[0,2]时，f(x)=2，-a为增函数，

当xc[2,+8)时，/(x)=b-x为减函数，故6和4只有一个是函数的零点,

即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙、丁均正确.

由两零点之积为0，则必有一个零点为0,则f(0)=2°-a=0,得a=l,

若甲正确，则f(6)=0,即6-6=0,6=6,

可得由/*)=?,

[6—九，龙..22

0„x<2(X..2

可得1-*或解得x=/og2：或1=方程/。)=|有两个根，故丁正确.

.­=2~X~2---

故甲正确，乙错误.

故选：B.

7.【解答】解：•.•当xe[0,包],2x+-e[-,—],

2333

_,.3TT,._一.

函数g(x)=/(x)-q(aeR)在xe[0,3-]上恰有三个零点为，x2,x3(x]<x2<x3)»

2X1+q=乃，2X3+~=37r>求得x3-x}=乃，

则W-X1的值是;T,

故选：c.

8.【解答]解：如图，取如的中点记为O,连接OC,OA,

分别取ABCD与AAfiD的外心E与尸，

过这两点分别作平面加C、平面4h的垂线，交于点P,

则「就是外接球的球心，连接OP,CP,

Z4OC为二面角A-班>-C的平面角为60。，

则AAOC是等边三角形，其边长为6x3=36，

2

OE=-OC=-x3V3=x/3,

33

/o

在APOE中，ZPOE=30°,PE=O£tan300=>/3x—=1.

3

又CE=[OC=2G，PC=R=4PE。+CE。=+Q®=屈,

则四面体/WCD的外接球的表面积为4%x(g)2=52".

故选：D.

二多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.【解答】解：定义在R上的奇函数/㈤满足/(x+2)=/(2-x),得

f(x+2+2)=f(2-x-2)=f(-x)=-f(x),即f(x+4)=-f(x),

贝U/(x+8)=-f{x+4)=4-/(x)]=f(x).

.•./(x)的周期为8.函数/(x)的图形如下：

由图可得，正确答案为：B,D.

当且仅当a=b时取等号，2取得最小值9,A正确；

ab

2I

a2+/=6+(1—2b彳=5/?2-4/7+1=50--)2+-,

根据二次函数的性质可知，当〃=2时，上式取得最小值,，区错误；

55

因为l=a+2b..2V^,当且仅当a=2〃=,，即4='/=’时取等号，

224

所以ab„1,

log2a4-log2b=log2ab„-3,即最大值一3,C错误；

2"+下二万"=20,当且仅当a=2Z?=L即〃=』/=」时取等号，此时2"+4〃取得最

224

小值2后，O正确.

故选：AD.

由双曲线方程V-$=1,得优=1,从=3,

3

可得＜•=以+^=2,则|耳心|=4,

由双曲线定义可得：I尸片|-|尸乙|=|。用-|。6|=2,

vPF;PQ=O,r.N耳PQ=90。，贝|||Pf；1+|Pg『=|＜用『=16,

i2

.1阳+1Pg|=^2(,\PF^+\PF2\)-(\PFl\-\PF2\)

=V2X16-4=2V7.

从而Rf△与P。的内切圆半径：r=^\PF,\+\PQ\-\FlQ\)

=^(|P/-|+|P/^D-^de^l-ie^l)=1x2V7-1x2=77-1.

故的内切圆半径为近-1,故。正确；

IPF\-\PF,|=2厂广

联立《'l’解得口耳1=«+1，|PFJ=x/7-l,故C正确；

[|叩+|”|=23

S.pF*=||P/-||P^|=1(>/7+l)-(V7-l)=3,故3正确：

^\PFi\-\PF2\AQFy\~\QF2\=2,\PF^+\PQ^=\QF^,

且|P/"=J7+1,\PF2|=V7-1,解得：|0招|=9+3夕,31=11+3疗.

.•.△尸片。的周长为18+8J7,故A错误.

故选：BCD.

12•【解答】解：甲随机选择的情况有C；=20种，乙随机选择的情况有C；=56利1,

对于A,甲选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：

甲从上下两个点中选一个，从中间四个点中选相邻两个，共有C；C：=8种，

故甲选择的三个点构成正三角形的概率为a=工，故选项A正确：

105

对于3,甲选择的三个点构成等腰直角三角形，有三种情况：

①上下两点都选，中间四个点中选一个，共有C：=4种；

②上下两点钟选一个，中间四个点中选相对的两个点，共有C；C；=4种；

③中间四个点中选三个点，共有C；=4种，

故共有4+4+4=12种，

所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为工■=3,故选项5正确；

205

对于C,乙选择的三个点构成正三角形，只有一种情况：

上面四个面的中心中选一个点且从下面四个面的中心选相对的两个点，或下面四个面的中心

中选一个点且从上面四个面的中心选相对的两个点，共有C：G=8种，

所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为§=故选项C错误；

567

对于。，选择的三个点构成等腰直角三角形同上所求，共有8+16=24种，概率为丝=3,

567

甲乙相似，则甲乙均为正三角形或均为等腰直角三角形，

所以甲选择的三个点构成的三角形与乙选择的三个点构成的三角形相似的概率为

2133

—x—-F—x—故选项。正确.

575735

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.【解答】解：(X+I)4=%+4%+。2汇2+。3丁，

令%=]得：24=16=%+4+。2+〃3+4，

令x=0得：1=4，

q+a2+/+&=16—1—15,

故答案为：15.

14•【解答】解：若%=1,则。6=2,火=4，4=8或1,

①当4=8时，％=16,4=32或5,

若出=32,贝！Jq=64；若％=5,贝ljq=10,

②若〃4=1时，。3=2,〃2=4，4=8或1,

综上所述，m的值为1或8或10或64,

故答案为：1或8或10或64(只需填一个).

15•【解答】解：以04中点为G坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

可知O(-Lo)，A(-,0),设折痕与av和A4'分别交于V,N两点，

22

则MN垂直平分A4,,.JMA'\^MA\,

又v|A'ORMOI+IA'MI，：\MO\+\MA\=2,

的轨迹是以O,A为焦点，2为长轴的椭圆.

的轨迹方程C为Y+4‘=1,

3

曲线c上的点到点。距离的最大值为d=1+2=3,

22

，曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为d+r=N.

2

故答案为：

2

16.ft?：•.1|a+/?|=3,:.\a-b\=\a+b[-4a-b-9-4a-b,

\jd-b+l\=4(a+b)-c\,9|(a+&)||c|=3,/.-b2,

:A^-4ab25,.•.啜［G-讦25,即喇"5|5.

故答案为［1,5］.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17•【解答】解：(1)由频率分布直方图可得：

在日均校内体育锻炼时间在［60,80］内“锻炼时间达标”的学生概率为：

0.010x10+0.005x10=0.15,

其人数为：100x0.015=15人，

已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生，

所以男生有10人.

未达标人数中男生：60-10=50人，女生：100-60-5=35人；

若该校共有2000名学生，该校“锻炼时间达标”的学生人数为：2000x0.15=300人；

(2)根据样本数据完成下面的2x2列联表，

是否达标锻炼时间达标锻炼时间未达标合计

性别

男105060

女53540

合计1585100

n(ad-bc*100>(10>35-50x5)2

(a+b)(c+d)(a+c)S+1)6()x40x15x85

故答案为：没有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关.

18.【解答】解：•.•N3=60。，AB=4,过A作8c的垂线49,垂足为O,

r-

则AO=4sin60°=4x—=2V3.

2

①A£>=&<275,此时满足条件的A43D有0个；

②A£>=而e(2G,4),此时满足条件的三角形有2个；

③AD=2币c(4,4^),此时满足条件的AA龙)有1个.

itElffAD*2=AB2+BDr-2ABBD-cos600,

28=I6+BD2-2X4XBDX-,解得BQ=6.

2

19•【解答】解：(1)证明：•.•四边形438为矩形，

•••PDJ"平面ABC。，:.PDA.CD,

ADp\PD=D,AD,P£>u平面MZ),

.•.CO,平面皿),

•.•姑匚平面孙。，PAVCD,

•：CMVPA,CMQCD=C,CM,COu平面CM£),

，24_1平面。40,

•••DWu平面CWD,：.PAA.DM.

(2)•.•/>£)，平面ABCD,.•.NE4。为R4与平面ABCD所成角，

与平面A8C£)所成角为30。，:.ZPAD=30P,

-.PD=\,:.AD=6,

以。为原点，94为x轴，ZJC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，

,:AD=6，PD=CD=\,PN=DA,;.PN=0

令PQ=〃0效此G),则0(0,0,0),A(6,0,0),C(0,1,0),Q(A,0,1),

AC=(-百，1,0),C2=(2,-1,1),

设万=(x,y,z)是平面AC。的一个法向量，

贝!J<，取x=l,得而=(1,v3,v3—2),

n-CQ=2x-y+z=0

平面PQC的一个法向量为比=(1,0,0),

__thn1

cos<m,n>=----------=]-------,

•.•0麴兑G,.•.当4=6时，cos<丽而〉的最大值■,

2

平面ACQ与平面PDC所成二面角的余弦值的最大值为1.

20.【解答】解：(1):*©=6+法+。

e

-ax2+(2a-b)x+b-c

•••/(x)的递增区间是［0，1］，

.•.—o^+Qa—»x+b—cuO的根是0和1,

h-c=O

故a=b=c,

-a+2a-b-^b-c=0

a+b+c

又fco的极大值是3,故/(1)==l,

eee

故a=6=c=1,

Mr/、f+X+]—X2+X

故/(x)=——；----f(x)=­；—，

ee

故/(-l)=e,八-1)=-2e,

则f\x)在点(-1,/(-I))处的切线方程是：y=-2ex-e.

(2)f(x)在(fo,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(l,y)上单调递减,

且/(0)=1,当XG(Y,0]时，/(x)„„„=/(0)=l.

若存在非零实数%,使得/(x0)=1,则%＞0,

①0＜列,与时，f(x)在(TO,0］递减，在(0,刈递增，

故/(x)在区间(-00,m］上的最小值是/(0)=1,

②“＞不时，f(x)在(-00,0］递减，在(0,1)递增，在(1,向递减，

故fMn,in=/(加)=---™―•

e

21•【解答】解：(1)设一个半径为|的圆的圆心的坐标为(x0,%),可得y；=2px0,

由抛物线的焦点为4，0),准线方程为x=1,

可得x；+乂=片+2p%=(为+$=：,

解得片2,

则抛物线的方程为y2=4x；

(2)由尸(1,0),准线方程为x=—l,

设直线AB的方程为x=my+l,与抛物线的方程V=4x联立，可得/一4〃。-4=0,

设4%,其),B(X2,%)，则，1+必=46，y\y2=-4，

玉+x2=m(y1+%)+2=2+4〃,则AB的中点A/的坐标为(1+2疝,1m),

由MT2M，可得|MN