相交线三线八角

相交线、三线八角知识回顾一、 什么是相交线？如果直线a与直线b只有一个公共点，则称直线a与直线b相交，0为交点，其中一条是另一条的相交线•相交线的性质：两直线相交只有一个交点.二、 什么是对顶角？一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角三、 什么是邻补角？两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角1•相交线如图所示，直线a与直线b只有一个公共点，称直线a与直线b相交，0为交点，其中一条是另一条的相交线.相交线的性质：两直线相交只有一个交点.2•邻补角如图中，1和3,1和4,2和3,2和4互为邻补角互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。3•对顶角•我们也可以说，两(1•我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角 •如图中，1和2，3和4是对顶角・(2)对顶角的性质：对顶角相等。4•垂线的概念及性质：(1)垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足•如图所示，可以记作“ABCD于0”(2)垂线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短5•同位角、内错角、同旁内角的概念：同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角 (两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，/1与/5,/2与/6,/3与/7,/4与/8都是同位角•内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错， (即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角叫做内错角，如图中，/3与/5,/4与/6都是内错角同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间， 并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中,/3与/6,/4与/5都是同旁内角57、8看图识角:(1)'F”型中的同位角•如图.呂DN(2)Z”字型中的内错角，如图ABN(1)'F”型中的同位角•如图.呂DN(2)Z”字型中的内错角，如图ABN'T字型中的同旁内角如图.DNCDNC同步练习匚板块一相交线【例1】判断正误：⑴三条直线两两相交有三个交点⑵两条直线相交不可能有两个交点.()⑶在同一平面内的三条直线的交点个数可能为0,1,2,3.个交点.(个交点.(⑷同一平面内的n条直线两两相交，其中无三线共点，则可得⑸同一平面内的n条直线经过同一点可得2nn1个角（平角除外）.（经过两点有且只有【解析】⑴.因为两两相交”包含三条直线交于一点的情况.经过两点有且只有（2）1假设两条直线有两个交点，这说明经过两点的直线有两条，这与一条直线〃相矛盾，所以两条直线相交只能有一个交点，不可能有两个.⑶V・因为如下图三直线的位置关系如下：（4）V⑸V（甲）（丙）【答案】（I）；（2）它⑶V⑷V⑸V【例2】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为几个？最多为几个?【解析】很容易得到最少的交点个数是i个；对于最多的情况，不妨从简单情况入手，画图探索规律,从中发现规律，平面内n两相交的6条直线最多有15个交点从中发现规律，平面内n两相交的6条直线最多有15个交点.10个交点个交点，那么平面内两2【答案】最少有1个，最多有15个交点板块二对顶角和邻补角【例3】下列四个命题：如果两个角是对顶角，则这两个角相等.如果两个角相等，则这两个角是对顶角.如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等.如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角.其中正确的命题有（ ）C.3个【答案】B【例4】下列说法中正确的有（ ）一个角的邻补角只有一个；一个角的补角必大于这个角；若两角互补，则这两个角一定是一个锐角、一个钝角；互余的两个角一定都是锐角。A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】B；一个角有两个邻补角，所以①是错的；一个角的补角可能大于、小于或是等于这个角，所以②是错的；两个直角互补，所以③是错的；④是正确的【答案】B【例5】如图所示，直线AB,【例5】如图所示，直线AB,CD相交于点o,若1270，贝〃BOD【解析】T1 2180, 1 270255,BOD1 125答案：125,55【答案】125,55【例6】下列图中A.1对2是对顶角的有（【解析】对顶角的识别：①有公共顶点；②两边均互为反向延长线.邻补角的识别：①有公共顶点；②有一公共边；③另一边互为反向延长线【答案】B

【解析】C•对顶角的识别：①有公共顶点；②两边均互为反向延长线.邻补角的识别：①有公共顶点；②有一公共边；③另一边互为反向延长线【答案】C【例8】三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同三点时，对顶角有n对，则m与n的关系()A•mnB.m>n C.mxn D.mn10【解析】三条直线两两相交于同一点时，对顶角有 6对，交于不同三点时，对顶角有 6对，所以mn【答案】D【例9】如图所示，两条直线相交，有 对对顶角，三条直线相交于同一点，有 对顶角；四条直线相交于同一点，有 对对顶角，…，n条直线相交于同一点有 对对顶角.【解析】两，六，十二，n(n1)掌握探索方法，在探索过程中适时进行类比、归纳、概括.这是一道探索规律题，要注意观察寻找变化的特征.TOC\o"1-5"\h\z直线L、12相交，有两对对顶角；直线13分别与L、12又各组成两对对顶角，所以I.、12、13相i2 3 i2 i2 3交于同一点，有2226对对顶角；直线14分别与I.、12、13各组成两对对顶角，所以I.、4 .23 i12、J、14相交于同一点有2 2223i2对对顶角…；I.、12、13、…、I相交于同一点，2 4 .2 3 n【答案】两，六，十二，n(n1)【例10】如图所示，直线a、bc两两相交，123, 265,求4的度数【解析】 123, 265•-【解析】 123, 265•--1【答案】32.5265•13—652 32-54 332.5【例11】已知：如图，直线AB、CD交于点0,且AODBOC120°求AOC的度数•AC—ODB图1【解由对顶角相等可知，AOD BOC，又AODBOC120,故AOD60【答案】AOC120从而由AOC、 AOD互为邻补角可知， AOC120【例12】如图，【例12】如图，AB、CD、EF交于点o,AOE25°DOF45。求AOD的对顶角和邻补角的度数.【解析】由对顶角相等可知， COE DOF的度数.【解析】由对顶角相等可知， COE DOF45,故AOC由AOC、AOD互为邻补角可知， AOD18070110OFzBCAOECOE 图2COE25 4570.由对顶角相等可知， AOD的对顶角BOC110答案】AOD的对顶角为110AOD的对顶角70板块三垂直和垂线段【例13】下列说法中正确的是（ ）点到直线的距离是点到直线所作的垂线；两个角相等，这两个角是对顶角；两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短A•①② B•②③ C•③④ D•②④【答案】C【例14】如图，已知ACB90°.CDAB，垂足为D，则点A到直线CB的距离为线段 的长;线段DB的长为点 到直线的距离.D图1【解析】AC,B,CD初学的同学做此题很容易做错， 有一种线段太多不易判断的感觉， 实际上在看图时，只要把一相关的线暂时隐藏，问题就可以解决•例如：观察点 A到直线CB的距离时，眼中只有点A与CB，然后自己画出其垂线段，再看所画线段与谁重合.【答案】AC,B,CD【例15】如图，A点处是一座小屋，BC是一条公路，一人在。处，①此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？②此人要到公路，怎么走最近？理由是什么?【解析】①走线段0A,因为两点之间线段最短；②如图，过点0作ODBC,垂足为D，走线段0D,因为垂线段最短【答案】如图度数.DOF65°,求BOE和AOC的【解析】 BOD90°65°度数.DOF65°,求BOE和AOC的【解析】 BOD90°65°25°（垂直定义）•AOCBOD25°（对顶角相等）••••OECD,•••BOE90°25°65°（垂直定义）.本题综合运用了两角互余、对顶角相等等性质•由已知条件和观察图形，可知 BOD与DOF互余，BOE与BOD互余，BOD和AOC的对顶角，利用这些关系可解此题.【答案】AOC25°BOE65°板块四三线八角【例17】如图，填空:①1与2是两条直线与 被第三条直线 所截构成的 角.图1②1与3是两条直线与被第三条直线所截构成的角.③2与4是两条直线与被第三条直线所截构成的角④3与4是两条直线与被第三条直线所截构成的角⑤5与6是两条直线与被第三条直线所截构成的角【答案】①1与2是两条直线12与丨被第三条直线h所截构成的同位角.②1与3是两条直线11与13被第三条直线12所截构成的同位角.③2与4是两条直线12与13被第三条直线11所截构成的内错角.④3与4是两条直线1与3被第三条直线11 1312所截构成的内错角.【解析】让学生讲出来即可⑤5与6是两条直线h与12被第三条直线13所截构成的同旁内角【例18】下列图中/1和/2是同位角的是（ ）A.（l）、⑵、⑶A.（l）、⑵、⑶B.⑵、⑶、⑷D.（l）、⑵、⑸C.D.（l）、⑵、⑸【解析】D判断什么是同位角，图（1）、（2）、（5）中的/1和/2是同位角【答案】D【例19】如图，判断下列各对角的位置关系：（1）/1与/4;⑵/2与/6;⑶/5与/&⑷/4与BCD；（5）/3与/5.【答案】/1与/4是同位角，/2与/6是内错角，/5与/8是对顶角，/4与/BCD是同旁内角，/3与/5是内错角.【例20】找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角，并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的.AC D图12与4是直线E【例22】找出下图中用数字表示的各角中，川」一内错角？哪此是同旁内角?AC D图12与4是直线E【例22】找出下图中用数字表示的各角中，川」一内错角？哪此是同旁内角?图2【答案】图中,2与3是直线AB、CD2「皿EFm【例 如下图，图中与/1勺个数是（23】B.；C.4D.5【答案】1与5是直线AD、BC被直线AB所截形成的同位角；2与4是直线AD、BC被直线AC所截形成的内错角；3与5是直线AC、BC被直线AB所截形成的同旁内角;3与4是直线AB、BC被直线AC所截形成的同旁内角;【例21】找出下图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？【答1与3是直线BE、CD被直线AC所截形成的同位角;案】【答案】【例下图有24】对内错角.NN【解析】24•做此类型题：第一、要找三种关系角（同位角、内错角、同旁内角）关键在于寻找线段；第二、不同的线段找出来的三种关系角是不会重复；第三、在线段很多的时候，要找出相同特点的线段的条数m,只需算出一条线段的关系角的对数 n，故该特点的线段的关系角为mn.在本题中，线段DE、DF、EF，每条线段都有2对内错角；线段AD、BE、CF，每条线段都只有2对内错角；线段AB、AC、BC,每条线段都只有1对内错角；线段AF、BD、CE,每条线段都有3对内错角；故总的内错角为： 2323133324.【答案】24【例25】若平面上有4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对・【解析】每条直线都与另3条直线相交，有3个交点，每两个交点决定一条线段，共有 3条线段，而每条线段两侧各有一对同旁内角，共有3412条线段，总共有24对同旁内角•【答案】24■课后练习【习题1】找出下图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？MN【答案】图中，1与3是直线EG、FH被直线MN所截形成的同位角【习题2】如图，找出图中用数字标出的角中的同位角、内错角和同旁内角.【答案】同位角有：3【答案】同位角有：3与7、4与6、2与8;内错角有：1与4、3与5、2与6、4与8;同旁内角有：2与4、2与5、4与5、3与6•【习题3】用数字标出图中与1是同位角的所有角.【解

析】1的两条边所在的直线 a，b,若把a看成是第三条直线，则有:【解

析】1)是a截直线b及卜得1的同位角为a截直线b及12,得1的同位角为a截直线b及13,得1的同位角为若把b看成第三条直线，则有4)得1的同位角为b截直线4)得1的同位角为5；5)的同位角为b截直线a及12,得16；6)截直线a及13得1的同位角为•3 7【答案】1的同位角有【习题4】如图，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池使C中，问从河岸AB的何处开渠，才能所开的渠道最短？画图表示，并说明设计的理由。A

A【解析】答案如图。点C与直线AB上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】如图CC【习题5】n条直线最多可将平面分成几部分？【解析】仍可以从简单情况入手，画图探索规律， （图可用上图）:1条直线最多可将平