函数的奇偶性(2) 课件-高中数学人教A版（2019）必修第一册

3.2函数的基本性质3.2.2函数的奇偶性(2)

奇函数偶函数定义定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)＝-f(x)定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)＝f(x)图象特征关于原点对称关于y轴对称定义域特征关于原点对称复习回顾

奇偶函数的运算

奇±奇=奇偶±偶=偶

奇×奇=偶奇÷奇=偶

偶×偶=偶偶÷偶=偶

奇×偶=奇奇÷偶=奇题型一

利用函数奇偶性求解析式例1(1)

已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)=x(x+1),则当x>0时，f(x)=________解析：当x>0时，-x<0，

所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，

因为f(x)是偶函数，

所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)x(x-1)题型一

利用函数奇偶性求解析式例1(2)

已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=3x2-x+1，试求f(x)和g(x)的表达式.解析：因为

f(x)+g(x)=3x2-x+1，

①

用-x代替①中的

x，得f(-x)+g(-x)=3x2+x+1，

因为

f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，

所以

f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，

所以

-f(x)+g(x)=3x2+x+1，

②

联立①②得，f(x)=-x，g(x)=3x2+1题型一

利用函数奇偶性求解析式巩固练习1

已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，求当x<0时，f(x)的解析式．解：当x<0时，-x>0，

所以f(-x)=x2-x，

因为f(x)是奇函数，

所以当x<0时，f(x)=-f(-x)=-x2+x题型一

利用函数奇偶性求解析式巩固练习2

设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．解：因为

f(x)+g(x)=x2+2x，

①

用-x代替①中的

x，得f(-x)+g(-x)=x2-2x，

因为

f(x),g(x)分别是偶函数和奇函数，

所以

f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，

所以

f(x)-g(x)=x2-2x，

②

联立①②得，f(x)=x2，g(x)=2x题型二

奇偶性的应用例2

已知函数

f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的值是________解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数, ∴g(-x)=-g(x), ∵f(-5)=17=g(-5)+2, ∴g(5)=-15, ∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13-13题型二

奇偶性的应用巩固练习3

已知f(x)=ax5+bx3+cx-9，且f(-3)=12，那么f(3)=______解析：∵g(x)=ax5+bx3+cx是奇函数, ∴g(-x)=-g(x), ∵f(-3)=12=g(-3)-9, ∴g(3)=-21, ∴f(3)=g(3)-9=-21-9=-30-30题型二

奇偶性的应用巩固练习4

若函数g(x)=f(x)+x3是偶函数，且f(-1)=2，则f(1)=______解析：∵函数g(x)=f(x)+x3是偶函数, ∴g(1)=f(1)+1=g(-1)=f(-1)-1, ∵f(-1)=2, ∴f(1)=00题型三

利用奇偶性和单调性比较大小例3

若偶函数f(x)在区间[5,7]上是增函数且最小值是6，则f(x)在[-7,-5]上是( )A.增函数，最大值是6 B.增函数，最小值是6C.减函数，最小值是6 D.减函数，最大值是6解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且

x1<x2，即-7≤x1<x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，

由题意可得

f(-x2)<f(-x1)，由偶函数的性质可得

f(x1)>f(x2)，

且对任意的x∈[-7,-5],-x∈[5,7],由题意可得6=f(5)≤f(-x)≤f(7)

则6=f(-5)≤f(x)≤f(7)

因此，f(x)在[-7,-5]上是减函数，最小值是6C方法小结偶函数

y轴两侧的函数单调性相反；奇函数原点两侧的函数单调性相同；题型三

利用奇偶性和单调性比较大小巩固练习5

设f(x)是R上的偶函数，且在[0,＋∞)上单调递增，则f(-2)，f(-π)，f(3)的大小顺序是

．解析：∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，

又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，

∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).

f(-π)>f(3)>f(-2)题型三

利用奇偶性和单调性比较大小巩固练习6

已知f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数，且f(5)>f(2)，则f(-2)与f(-5)的大小关系是：f(-2)____f(-5)解析：因为f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数，

所以f(5)=-f(-5)，f(2)=-f(-2).

又f(5)>f(2)，所以-f(-5)>-f(-2)，即f(-2)>f(-5).>题型四

利用函数的奇偶性和单调性解不等式例4

若偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，则不等式f(x2-3x+3)≥0的解集是__________解：因为偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，

所以

f(x)在(-∞，0)上单调递增，

又

f(1)=0，所以

f(-1)=f(1)=0，

所以当

-1≤x≤1时，f(x)≥0，

则不等式

f(x2-3x+3)≥0等价于

-1≤x2-3x+3≤1，解得1≤x≤2，

所以不等式的解集为[1,2]Oxy1-1[1,2]题型四

利用函数的奇偶性和单调性解不等式巩固练习7

已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x