专升本高等数学第五章

专升本高等数学第五章高等数学第五章是关于多元函数的极限与连续的内容。本章主要包括函数的极限、多元函数的连续性以及函数的一些特殊极限等方面的内容。下面是本章的相关参考内容。

一、函数的极限

1.定义：设函数$f(x)$在点$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-A|<\varepsilon$，则称常数$A$为$f(x)$当$x$趋于$x_0$时的极限，记作$\lim_{{x\tox_0}}f(x)=A$。

2.性质：

(1)唯一性：若$\lim_{{x\tox_0}}f(x)$存在，则该极限值唯一；

(2)局部有界性：若$\lim_{{x\tox_0}}f(x)=A$，则$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有界；

(3)趋于常数的函数：若$\lim_{{x\tox_0}}f(x)=A$，则常数函数$g(x)=A$。

二、多元函数的极限

1.二元函数的极限：

(1)定义：设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个去心邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\sqrt{{(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2}<\delta$时，有$|f(x,y)-A|<\varepsilon$，则称常数$A$为$f(x,y)$当$(x,y)$趋于$(x_0,y_0)$时的极限，记作$\lim_{{(x,y)\to(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$。

(2)性质：

①唯一性：若$\lim_{{(x,y)\to(x_0,y_0)}}f(x,y)$存在，则该极限值唯一；

②局部有界性：若$\lim_{{(x,y)\to(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$，则$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的某个去心邻域内有界；

③趋于常数的函数：若$\lim_{{(x,y)\to(x_0,y_0)}}f(x,y)=A$，则常数函数$g(x,y)=A$。

2.多元函数的极限的判定方法：

(1)二重极限存在的条件；

(2)二重极限计算的方法。

三、多元函数的连续性

1.定义：设函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个邻域内有定义，则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续，若$\lim_{{(x,y)\to(x_0,y_0)}}f(x,y)=f(x_0,y_0)$。

2.性质：

①若函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续，则$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的任意邻域内有界；

②若函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续，则$f(x,y)\pmg(x,y)$和$f(x,y)\cdotg(x,y)$在点$(x_0,y_0)$也连续；

③若函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续，且$g(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续且不为零，则$\frac{{f(x,y)}}{{g(x,y)}}$在点$(x_0,y_0)$也连续。

四、函数的一些特殊极限

1.无穷小与无穷大：

(1)无穷小定义：设$\lim_{{x\to0}}f(x)=0$，如果函数$f(x)$在$0$的某个去心邻域内有定义，则称$f(x)$是当$x$趋于$0$时的一个无穷小。

(2)无穷小性质：

①性质1：函数$f(x)$是当$x$趋于$0$时的一个无穷小的充要条件是，对于任意正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x|<\delta$时，有$|f(x)|<\varepsilon$；

②性质2：若$\lim_{{x\to0}}f(x)=0$，而函数$g(x)$满足$\lim_{{x\to0}}g(x)=A$，则$\lim_{{x\to0}}f(x)\cdotg(x)=0$；

③性质3：若$\lim_{{x\to0}}f(x)=0$，而函数$g(x)$满足$\lim_{{x\to0}}g(x)=A\neq0$，则$\lim_{{x\to0}}\frac{{f(x)}}{{g(x)}}=0$。

2.无穷大定义：设$\lim_{{x\tox_0}}f(x)=\infty$，如果函数$f(x)$在$x_0$的某