垃圾处理的数学建模

#还应能处理在设备使用寿命（由假设给出）中全区所产生的厨余垃圾量。清运方案的设计即在知道厨余垃圾处理中心的分布设计时，列出每个处理中心所辖的准云站。车辆调度责只需在知道总的转运情况后，给出拖车（等同于司机个数）的个数以及每个拖车负责清运的转运站。（其中清运方案和拖车个数将在中给出）5.2.1、目标函数的建立。全区其他垃圾的处理是既定的，唯一变化的就是厨余垃圾的处理。对厨余垃圾的情况综合考虑，目标函数应为橱余垃圾处理的总费用L最小。其费用的产生包含以下几个方面：大、小型处理设备的设备投资L1。由4.1.1给出数据得:(5)L=12328.77*M+76.71*m(5)1大、小型处理中心的处理设备运营费用L2。L二150*迓卫S⑵*W+200*区另S（1）*W⑹2ijiijij=1i=1j=1i=1所有橱余垃圾转运过程中消耗的燃油费用L3。由4.1.2给出的数据得：L=(区另L=(区另S(2)*d(2)*l*W+3ijj=1i=1ii区另S(1)*d(1)*l*W)*0.617*2.07iijiiij=1i=1(7)其中d(2)=其中d(2)=iy一y(2)ii(8)d(1)=

d(1)=

iX一X(1)iiy一y(1)ii(9)所有厨余垃圾转运过程中司机工资所产生的费用L4。由4.1.2中数据得：L4=D*0.617*1.46(10)其中D=2*(区卫S⑵*d⑵*/+Z2S(1)*d(1)*/)(11)ijiiijiij=1i=1j=1i=1垃圾转运的总费用为：L=L+L+L+L・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(12)

目标函数为总费用最小。据（5）—（12）式，得min=12328.77*M+76.71*m・+150*KMK38ijj=1i=1+(艺卫ijj=1i=1ijj=1+150*KMK38ijj=1i=1+(艺卫ijj=1i=1ijj=1i=1+2*(KMK38S(2)*d(2)*l+KmK38S(1)*d(1)*l)*0.617*1.46ijiiijiij=1i=1j=1i=15.2.2、约束条件的建立S⑵*W+200*EKSd)*Wijij=1i=1S⑵*(x-x⑵+y-y(2))*l*Wiiiiii(13)S⑴*(x-x⑴+y-y⑴)*l*W)*0.617*2.07iiiiii每个转运站的厨余垃圾必须运往一个处理中心进行处理。s（i）+s⑵=1,其中i=1,2,338jj(14)x在不考虑垃圾转运产生费用时，设当厨余垃圾量达到吨时，用大型处理设备和小型处理设备成本价相当，则有，x——*76.71+200*x=12328.77+150*x0.25解得：x=34.5考虑到大型设备运营成本小，因此当垃圾量大雨吨时，应优先选用大型处理设备。所以对大型处理设备的处理能力有：34.5仝S（2）*W<200,其中j=1,2...Mijii=1全区每天产生的总垃圾须当天处理完。(15)KMK38S（2）*W+KmK38S（1）*W>459.42ijiijij=1i=1j=1i=1对每个转运站来说，每天产生的厨余垃圾须当天处理完。S⑵*W+S（1）*W=W,i=1、2、3...38ijiijii由于本区地理位置的限制，对大、小型处理中心的坐标有一以下束。(16)(17)-6.11<x（1）,x⑵<12.68i（18）-9.99<y（1）,y（2）<16.30ii、对问题二的模型建立5.3.1模型准备题目中要求要对转运站进行重新设计，考虑到原来的转运站不合理的原因有如下：（1）各个小区到其转运站距离在不是最优的；（2）由于人口密度的不同，转运站设计的设计会不合理；（3）由于垃圾转运站设计时，其最大承载量是是事先给定的，故现有垃圾量和垃圾承载能力的设计会出现不合理的可能［注④］;（4）在设计转运站时要考虑到转运站对周围小区的环境的影响。由于统计小区位置的工作量实在太大，故忽略（1）因素，只考虑（2）（3）因素对第四个因素做合理假设（见模型假设）。5.3.2模型的确立现有的转运站为38个，而每个转运站的服务半径为2km,这是集合覆盖问题，我们的目的是求得最小覆盖。最小几何覆盖问题是：S一个集合，S,SS是S的子集，构成S的覆盖，即12mmSS二S，求最小的覆盖。设x是属于S的任一取定的元素，如果x当且仅当只属于ii=1dA，…,Sm的K个集合，则称“的频率为K，记为K（x）。Si是S1，S?”"Sm中的一个集合，令P（S）=min（K（x）;xeS）。称P（S）为S的覆盖度，空集的覆盖度定义为iiiim+1。在本题中38个转运站为整个深圳市南山区的子集S,i=12..38，我们得到i矩阵特征值，由于太大我们此处省略，下面我们给出求解38个转运站中最小覆盖的公式。最小覆盖问题是NP困难问题中应用最广泛的问题之一，我们利用启发式算法解决此类问题［注⑤］。略去构造启发函数的基本原则，我们直接给出如下启发函数：

F(SF(S)=a1±RS)iP(S)-1i+bN-|S.|..(19)其中a和b是待定的参数，L=a（1+N）+b。启发式函数算法如下SCHF：初值，COVER={◎},COVER0={s,SS}；12m第（1）步，求出使F（SJ最大的S.o和最小的Sjo（其中S,S，…,SGCOVER0）；12m第（2）步，如果F（S）＞L，贝VCOVER=COVER+{S},S二S-S，ioioioCOVER0=COVER+{s},否贝VCOVER0=COVER-（}。iojo第（3）步，如果S二①，则输出COVER之后停机，否则返回第一步。我们求得转运站最小覆盖集如表五：所管小区及人口坐标对应人口人均垃圾量X104吨/人合并万案1麻勘站麻勘村南网格片区麻勘村西网格片区麻勘村北网格片区[,][,][,]3123428946390521、2合并2阳光（白芒关夕卜）站白芒村北网格片区[1.15.12.90]346773白芒站白芒村南网格片区,]31722与5合并4大石磡站大勘一村大勘二村大勘商业区[,][,][,]5牛城村牛成村牛成路[,]站6动物园站7平山村站8官龙村站9新围村站西丽湖片区[]]丽山路南山区大学城石新路网格片区[,]10福_福光村光站11塘塘朗村朗站12长长源村源村36893283612780615369不变与3合并188不变64259不变28294381845118783392998、9合并不变11、12合并21玉泉站玉泉路片区22九街站23大新小学站桃园路附近：24涌前海路附近：下村南头街：站25南山市场26北大板桥巷头站27南鼎太风华园站28南南光村网格片光站区29南南山村正一坊山村网格片区站30深圳大深南大道学站31科技园咼新南大道站29541426893698722836654226399540476392914047544889不变22、23、24、25合并26、27合并不变不变不变不变32沙河市场站白石洲66532、33合33白41并石洲南站34华304侨城侨城西街02不变站35大121大冲路不变冲站20少帝路网格片16336疏区46港小松岭路旁小店216不变区站网格片区0237花391果路花果路附近29不变站26438望工业路33海路蛇口老街178不变站69表五：南山区转运站最小覆盖集在此覆盖集中一共有26个转运站，我们根据表五的最小覆盖集，在最小的覆盖情况下，通过下面要给出的两个指标适当的增加转运站，并确定转运站的位置。不难想到，存在如下矛盾，一个转运站所服务的人数越多，那么小区或人对转运站有一个满意程度，定义为小区满意度。可以求出，人均垃圾占有量

总(20)总(20)T也可求出每个转运站的人均占有量，即T二厶,我们以总的人均占有量作为比较iPi多点若T=T,小区的满意度为，若T>T，则容易想到，小区的满意度小于，iii反之小区的满意度大于，即每个转运站人均占有量越多，则小区的的满意度越差。据此■i(21)■i-1-1,Y'<-2i(22)1+Q(x一卩)-2f(Y'.)=1L」(22)aInx+b,Y'>0

i当Y'二0时，指标Y二0.5，当Y'=-2时，隶属度为1，当Y'二2时，隶属度为。iiii我们要对转运站进行重新设计，在最小覆盖下适当增加转运站，那么在一个

区域增加一个则可能会引起转运站的利用效率的低下，因此提出衡量每个转运站的指标承载度耳，显然承载度约大，那么转运站的利用效率越高。i耳=—(23)iLi进而我们利用两个指标的权衡去确定转运站的个数。［注①］:最终排序为图中转运站从北到南的排序［注②］:原点选取在深南大道和同乐路交点附近［注③］表三数据来源于深圳市南山区人口与计划生育“十一五”规划研究报告［注④］来源于深圳市规划设计院：南山区转运站服务半径为0.8km，转运站的设计规模，两厢标准站60t/d，—厢标准站30t/d。［注⑤］来源于软件学报，1998年2月第9卷第2期，集合覆盖问题的启发函数算法。六、模型求解

对问题一的求解由4.2.1和得出如下规划模型：min=12328.77*M+76.71*m+150*艺另S⑵+150*艺另S⑵*W+200送另S(i)*Wiji)*l*Wiiijij=1i=1+(艺卫S(2)*(x-x(2)iij=1i=1j=1i=1+込送S(1)*(x-x(1)+y-y(1))*l*W)*0.617*2.07ijiiiiiij=1i=1+2*(艺卫S(2)*d(2)*l+込工S(1)*d(1)*l)*0.617*1.46ijiiijiij=1i=1j=1i=1s.s(1)+s⑵=1,其中i=1,2,338ijij34.5<£8S(2)*W<200,其中j=1,2...Mijii=1区ILs⑵*w+区另S(1)*W>459.4ijiijij=1i=1j=1i=1S(2)*W+S(1)*W=W,i=1、2、3...38ijiijii-6.11<x(1),x(2)<12.68ii-9.99<y(1),y(2)<16.30ii上述约束规划中，考虑到总的垃圾量为吨，因此大、小型垃圾处理中心的个数分别取这下面种情况：M=2,m=3、M=2,m=4、M=2,m=5、M=3,m=1和M=3,m=2。将上述约束规划用LINGO编程（程序及运行结果分别见附录1和附录2）,代入不同的M、m值，求的运行结果分别见表六大、小型处理中心个数M,mM=2,m=3M=2,m=4M=2,m=5M=3,m=1M=3,m=2总费用L（元）表六：各种情况下程序运行结果比较

附录2中可见，所有sj1）都取0。这说明当M3不需要建小型处理中心。ij上表可得，当选建三个大型处理中心时，每天处理厨余垃圾的总花费L取得最优值。因此，对于问题一，应建三个大型厨余垃圾处理中心。每个垃圾处理中心位置坐标、所辖的转运站、每天处理垃圾量等，从附录2中整理出下表。各个大型处理中心坐标所辖转运站编号转运站垃圾量垃圾转运路程合计第一个大型垃圾处理中心坐标：（,）1处理垃圾量（吨）：垃圾转运总路程（cm）：23456708910121315161718第二个大型处理中心坐标：14处理垃圾量（吨）：192021

(,22垃圾转运总路程（cm）：23242526272829313637第三个大型垃圾处理中心坐标：（10,11处理垃圾量（吨）：垃圾转运总路程（cm）：3032333440352038表六：厨余垃圾处理中心处理情况图一直观清晰的表示了三个大型处理中心的位置和其所辖的转运站。注意途中红色直线只代表该处理中心和对应转运站的所属关系，而非转运路线。I(L0.TO-無D,JFB\茁］忻.扉泌抄逊沁凹nilLirins).:■■㈡(f.理U10)I锻昭+?-|迪街切讯水系•潦圳铁豁境I|廿倉舆划辿界:;:宦辑込姑||匕扛图一：厨余垃圾处理中心和各自转运站分布图例由表六中可得，对全区所有的厨余垃圾，转运总路程D=I06,24+63.29+57.06二226.59cm。因此需要的司机人数』D*°.617]=2人。考虑到每清运一20*4个转运站的垃圾到处理中心，都需要一个来回，因此青云方案的设计只需要给出每个司机需要转运垃圾的转运站即可（见表七）。至于最佳清运路线，由各地道路状况不同按最近的清运即可，这里不予给出。司机负责转运站编号转运路程（km）司机11、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、15、16、17、18司机214、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38表八：各司机负责的转运站情况八、结果说明对问题一，最终选取了3个大型处理设备。就处理能力来说，这种设计足够满足对未来垃圾的增长（在寿命期限内，厨余垃圾最高将达到501吨，详见5.1.5未来垃圾预测）的需求。之所以选取3个大型处理中心而无小型处理中心，主要是因为：1）每天需要的处理设备的成本和运营成本与垃圾转运产生的油费和司机费用相比太高（大型设备每天成本费为12328元/台，460吨的运营费用为每天69000元。而每天所有的厨余垃圾转运费用为L+L二5659元），以至于几34乎不用考虑转运费对处理中心位置的选择约束；2）小型设备的处理能与大型处理设备相比