1-4 充分必要条件（精讲）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

1.4充分条件与必要条件（精讲）一．充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件，q是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件．性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件二．充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件充分、必要条件：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)集合关系若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件A⊆Bp是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qA=Bp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏pA⊈B且A⊉B一．判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法1.定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．2.集合法：即利用集合的包含关系判断．3.传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．二．充要条件的证明一般地，证明“p成立的充要条件为q”；（1）要分清哪个是条件，哪个是结论(1)充分性：由“条件⇒结论”是证明充分性，把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；(2)必要性：由“结论⇒条件”是证明必要性，把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.三．利用充分、必要条件求参解题思路1.化简：化简集合，明确题干中的条件和结论．2.转化：根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合间的关系问题．3.列式：利用集合间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组．注意等号成立的条件．4.求解：解不等式，得参数范围．考点一充分条件与必要条件【例1-1】（2023·安徽）已知，则“”的一个必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于可得，故“”是“”的必要条件，由不能得到，，，比如，故选：D【例1-2】（2023·江苏）（多选题）使成立的充分条件是（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】和不可推出．所以使成立的充分条件是或，故选：AB【一隅三反】1．（2022秋·河南商丘）（多选）下列条件中，使“”成立的充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】假设使“”成立的充分条件的是，则，即求能推得成立的条件，对于A，令，则，故A错误；对于B，令，则，故B错误；对于C，因为，即，故，故C正确；对于D，因为，即，故，故D正确；故选：CD.2．（2023·江苏）（多选）下列命题是真命题的是（）A．“x＞2”是“x＞3”的必要条件B．“x＝2”是“x2＝4”的必要条件C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件D．p：a＞b，q：ac＞bc，p是q的必要条件【答案】AC【解析】∵x＞3⇒x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要条件，∴A是真命题；∵x＝2⇒x2＝4，x2＝4不能推出x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要条件，∴B是假命题；∵A∩B＝B⇒A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要条件，反之也成立，故也是充分条件，∴C是真命题；∵ac＞bc，c<0时，a<b，q是不能推出p，∴p不是q的必要条件，D是假命题．故选：AC.3．（2022秋·四川绵阳）（多选）下列选项中，满足p是q的充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】对于A，由可推出，所以是的充分条件，A正确，对于B，由可推出，所以是的充分条件，B正确，对于C，由可推出，所以是的充分条件，C正确，对于D，当，时，，但是，所以不是的充分条件，D错误，故选：ABC.4．（2023·福建）下列命题中所有真命题的序号是__________①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要条件；③“”是“”的必要条件．【答案】②③【解析】对于①，若，，则不满足，故①是假命题；对于②，若，则，从而，故②是真命题；对于③，若，则，即，故③是真命题．故答案为：②③考点二充要条件的判断【例2-1】（2023·陕西西安）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解得或，则可推出或，可推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.【例2-2】（2023·上海普陀）“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】由可得，解得或，故是或的真子集，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A【例2-3】（2023·山东临沂）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”.其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的什么条件？（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分条件，结合选项，可得A正确；故选:A.【一隅三反】1．（2022·新疆巴音郭楞）已知p：“”，q：“”，则p是q的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【答案】D【解析】解可得，或.显然，若成立，推不出成立；若成立，则成立.所以，p是q的必要不充分条件.故选：D.2．（2023·河南开封）设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不允分也不必要条件【答案】B【解析】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B3．（2023·云南）唐代著名诗人杜牧在《赤壁》一诗中写有“东风不与周郎便，铜雀春深锁二乔”，即杜牧认为，如果没有东风，那么东吴的二乔将会被曹操关进铜雀台，即赤壁之战东吴将输给曹操．那么在杜牧认为，“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】杜牧认为没有东风，则赤壁之战东吴将输给曹操，则说明东风是打败曹操的必要条件．但有了东风，若没有其他的地利人和，也未必能打败曹操，故东风不是充要条件，故选：C．考点三充要条件的选择【例3-1】（2023·江苏）使或}成立的一个充分不必要条件是（）A．或 B．或C．或 D．【答案】B【解析】对于A，因为或或，故错误；对于B，因为或或，故正确；对于C，因为或或，故错误；对于D，因为不是或的真子集，故错误.故选：B.【例3-2】（2023春·辽宁）“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】关于的不等式的解集为R，则，解得，所以“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充一个分条件“”.故选：B.【一隅三反】1．（2022·山东）（多选）“”的必要不充分条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由，可得构成集合，结合选项可得集合，，都真包含，所以，，都是的必要不充分条件.故选:ABC.2．（2023·高一课时练习）关于x的方程有实根的一个充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，要使方程有实根，则，故是方程有实根的一个充分条件，故选：B3．（2023·江西萍乡）（多选）设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（

）A． B． C． D．【答案】ABCD【解析】对于A，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确；对于B，如下Venn图，若，则，若，则，故正确；选项C中，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确；选项D中，若，则，故；反过来，若，则，故，故互为充要条件，故正确.故选：ABCD.考点四已知充要条件求参数【例4-1】（2023·山西）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】D【解析】由题意得，所以，且等号不能同时成立，解得.故选：D.【例4-2】（2023·云南昆明）（多选）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（

）A． B． C．- D．0【答案】BCD【解析】设，,因为p是q的必要条件，所以，当时，由无解可得，符合题意；当时，或，当时，由解得，当时，由解得.综上，的取值为0，，.故选：BCD【例4-3】（2023春·湖南长沙）已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，即或，又是的充分不必要条件，所以，即的取值范围是.故选:A.【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若不等式的一个充分条件为，则，所以，解得.则实数的取值范围是.故选：D.2．（2023·广东江门）（多选）若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由题意可知是的充分不必要条件，则，故，故a的值可取，故选：BCD.3．（2023·江苏）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】．【解析】因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集，故有或解得.又，所以实数m的取值范围为．4．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由．【答案】(1)不存在满足条件的，理由见解析(2)若选①，问题中的存在，且的取值集合，若选②，问题中的存在，且的取值集合.【解析】（1）当横线部分内容为“充要条件”时，则，则且，方程组无解.∴不存在满足条件的.（2）若选①，则是的真子集，则且（两等号不同时取），且，解得，∴问题中的存在，且的取值集合.选②，则是的真子集，当时，，即，满足是的真子集；当时，，即，由是的真子集，得且（两等号不同时取），解得；综上所述：.所以问题中的存在，且的取值集合.考点五充要条件的证明【例5】（2023·陕西西安·）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是.【答案】证明见解析【解析】证明：（1）充分性：由得.即满足方程.是方程的一个根（2）必要性：是方程的一个根，将代入方程得.故是一元二次方程的一个根的充要条件是【一隅三反】1（2022秋·宁夏银川）中，角，，所对的边分别为，，，求证：的充要条件是．【答案】证明见解析.【解析】（1）先证充分性：若，则，∴成立（2）再证必要性：若成立，∵，∴，又因为中，，∴，∴，∴．综上可知，的充要条件是．2．（2022秋·四川乐山·高一校考阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.【答案】详见解析.【解析】充分性：，，代入方程得，即．关于的方程有一个根为；必要性：方程有一个根为，满足方程，，即．故关于的方程有一个根是的充要条件为．3．（2023·陕西）已知，求证：是的充要条件.【答案】证明见解析【解析】设，，先证充分性：∵，∴，即，∵，，∴，即；再证必要性：∵，∴，∴；综上：是的充要条件.考点六综合运用【例6】（2023·河南）已知或．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若是的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）或，，，解得：，的取值范围是；（2）因为是的必要条件，所以，或，的取值范围是或.【一隅三反】1．（2023·湖南郴州）设集合，；(1)用列举法表示集合；(2)若是的充要条件，求实数的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）集合，即；（2）由已知，，若是的充要条件，则，，.2．（2023·云南昆明）已知集合，，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(1)若，求实数的取值范围；(2)若是的________条件，判断实数是否存在？【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）若，则，则，解得，所以实数的取值范围是．（2）若选择条件，即是的充分条