一类欧式期权定价的偏微分方程解的推广

一类欧式期权定价的偏微分方程解的推广

cev模型的退化经典的灰色旗定价模型将证券市场的预期收益率和波动率描述为常数。事实上，很难在市场经济中找到这样的模型。越来越多的科学家认为，模型应该是非线性的。波动率和预期收益率应描述为时间和价格水平的一般函数。在文献中，关于纠正效应和绩效率的描述主要基于时间函数。因此，考虑到空间问题，仅将黑面模型用于以下用途。其中Wt是定义在完备概率空间(Ω,F.P)上的Wiener过程.股票期望收益率μ(St)和波动率σ(St)都为股票价格的一般函数,并假定函数μ(·)连续,σ(·)为n阶可导.r为金融市场的无风险利率.当函数μ(·)和σ(·)为常数时,该模型退化为经典的Black-Scholes模型,该模型下的期权定价解析表达式也被Black和Scholes等人陆续给出.随着众多学者多年来的研究,经典BlackScholes期权定价模型下的理论及其推广已经非常的完善,美式、亚式、回望等新型期权都已经被人做了相应的研究,并且极大地推动了金融市场的发展.当函数μ(·)为常数,时(σ0和β为常数),模型(1)退化为Cox和Ross提出的CEV模型在CEV模型中,将波动项描述为股票价格的幂函数,部分解决了“波动率微笑”问题,即股票价格过高时,股票的波动率会增大这一事实,但是当股票价格过低时CEV模型非但不能描述波动率会增大这一事实,反而使得波动率越来越小了.Cox证明了当β=0.5时的结论,Hsu,Lin和Lee应用Fokker-planck方程证明了当β>1时的结论,而当β<1时的结论早已被Campbell和Glosten,Brandt和Kang等人分别解出.本文将这些模型更一般化,将股票的期望收益率描述为股票价格的连续函数,波动率描述为股票价格的n阶可导函数,运用求解偏微分方程的方法得到了欧式期权的解析表达公式.文中所得结论涵盖了上述文献的结果.资策略及模型假设未定权益在到期日T的损益为g(ST),t时刻的无套利价格为V(t,St),且V(t,St)关于t一阶可导,关于St二阶可导.下面考虑一无套利投资组合.在该无套利投资组合中包含无风险债券,股票和未定权益,并假定其投资策略为θt=(,),其中,分别表示持有无风险债券,股票的数量.因此,由无套利定价的自融资投资策略定义可知:存在投资策略θt使得定理2.1未定权益g(ST)在t时刻的无套利价格应满足如下的偏微分方程其倒向初值条件为证由Ito公式及式(1)可得又因为由式(3)(自融资策略)可得因此,对照式(5)和式(6)可得联立式(3)和式(7)可得由V(T,ST)=g(ST)知F(T,x)=g(x),(t,x)∈[0,T]×R+,可得定理结论成立.为了方便地求解偏微分方程(4),补充如下的预备知识.考虑抛物型方程其中P=P(t,x),a,b,h都为常数,且a>0.引理2.1(见[10,p175])上述抛物型偏微分方程在边值条件下,存在唯一解:详细的证明见文献.扫码过滤和实际情况下的e0t,y首先考虑欧式看跌期权定价问题,假定当前为t时刻,同时它也是股票发行时刻,期权的交割日期为T,交割价格为K,因为欧式看跌期权的损益为(K-ST)+,因此令g(x)=(K-x)+并带入式(4),可得欧式看跌期权在该模型下所满足的偏微分方程其倒向初值条件为可得将f(y)进行泰勒展开其中θ为常数.并假定Ei(t,y)分别是偏微分方程组的解,则将式(12)中n+1个偏微分方程叠加可得是偏微分方程(10)的一个近似解。这里Ei(t,y)分别满足边值条件因此,问题转化为如何求解偏微分方程组(12).定理3.1偏微分方程有唯一解从而偏微分方程(13)化为其边界条件变为根据热传导方程的经典解,其唯一强解表示为将边界条件带入,可得对上述变换做逆变换可得E0(t,y).定理3.2偏微分方程在倒向初值条件下,有惟一解证因为Ei(t,y)是方程的解,所以做变换y=Inx,上式可化为令z=x-i,可得由引理2.1可知它有唯一解对上述变换求逆运算可得定理证明.定理3.3损益为(K-ST)+的欧式看跌期权的定价公式为其中n=1,2,3,…,θ为常数.证将定理3.1和定理3.2结论带入式(11),并对变换(9)求逆变换可得定理证明.定理3.4损益为(ST-K)+的欧式看涨期权的定价公式为其中证因为欧式看涨期权的损益为(ST-K)+,因此,令g(x)=(x-K)+并带入式(4),可得欧式看跌期权在该模型下所满足的偏微分方程运用变换(9),则上述方程可化为相同地,将f(y)进行泰勒展开,可以把方程(21)化为近似方程求解问题,在不致引起混淆的情况下,用Fi(t,y)分别表示偏微分方程组的解.由此可见,欧式看跌期权的求解只有P0(t,y)部分与欧式看涨期权求解过程中的E0(t,y)不同,而Fi(t,y)=Ei(t,y),i=1,2,…,n.因此,只需求解方程然后联立定理3.2可得定理证明,运用变换(14),偏微分方程(23)化为其边界条件变为根据热传导方程的经典解,其唯一强解将边界条件带入,可得对上述变换做逆变换可得结论成立.推论3.1欧式看涨、看跌期权的平价关系为证将定理3.3和定理3.4结论带入可得结论成立.值得注意的是,由于式(10)对f(·)进行了拉格朗日型泰勒展开,使得定理3.3和定理3.4中出现了一个未知的常数θ,使得定理在实际使用时受到了很大的限制.这里不妨将f(·)展开式中的尾项舍去,则可得如下不含任何未知参数的欧式期权近似计算公式.推论3.2欧式看涨、看跌期权的近似计算公式为n=1,2,3,…,n取值越大,结果精确度越高,d1,d2,Ci(t,St),Pi(t,St)见定理3.3,定理3.4欧、德机构的假设基于以上结论考虑上节给出的近似计算公式的误差问题.令其中,α>0,β>0,则根据洛必达法则有因此,当β>1时可得令则Rc表示欧式看涨期权的误差,Rp表示欧式看跌期权的误差.由定理3.3、定理3.4、推论3.1、推论3.2可知定理4.1存在正整数N和正数M,满足当n>N时,有证当n足够大时,有依据式(21),存在正整数N,当n>N时有又因为根据极限的有界性,存在正常数M2满足因此,当n>N时有.crank-niconson格式差分法结果分析基于以上结论,不妨以欧式看跌期权为例,用Crank-Nicolson格式差分法所得数值结果和定理3.3所获得的看跌期权定价公式进行比对.在定理3.3中假定当前股票价格为50,执行价格为50,首先考虑波动率为常数情形,假定年平均波动率为0.3.将定理3.3退化的结论同差分法所得结论进行比对,所得数据见表1和表2.在表1情形下,ds代表股票价格迭代步长,dt代表时间迭代步长,并假设无风险收益率r=0.1.定理3.3所得欧式看跌期权的价格为2.8446,随着股票价格迭代步长dS逐渐变小,CrankNicolson格式差分法所得数值结果逐渐靠近通过公式求解所得结论.在表2情形下,假定r=0.2,定理3.3所得欧式看跌期权的价格经计算为2.0400,可以看出表2所述数值结论更接近定理3.3的数值结果.在此基础之上,考虑波动率非线性情形,假定无风险收益率为0.1,波动率满足函数σ2(St)=0.16+0.01sin(1000St),套用定理3.3中的结论,可得该类型欧式看跌期权为4.0781,通过Crank-Nicolson格式差分法所得结论见表3.综上所述,本文所得结论是可靠的,而且本文所得结论数值计算时,十分简便,只需将近似结果编入matlab直接计算.而有限差分法提供的Crank-Nicolson格式需要将股票价格的取值范围(0,+∞