2021年西藏林芝第二高级中学高考数学一模试卷（理科） （解析版）

2021年西藏林芝第二高级中学高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（每题5分）.

1.已知A={x|x2-2x=0},B={0,1},则AG8=()

A.0B.{0}C.{0,2}D.{0,1,2}

2.己知，为虚数单位，复数z=2-3i,则在复平面中与三所对应的点在（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若a=（9）2,Z?=31ogs3,。=（2）3,则a,3c的大小关系是（）

A.c<h<aB.a<h<cC.h<a<cD.c<a<h

4.下列命题中的假命题是（）

A.3x6R,lgx=0B.3xER,tanx=l

C.VxGR,X3>0D.VxGR,2A>0

5.已知平面向量Z二(L2),k=(m,5),当和Z垂直时，i(2:31)=(

A.-22B.22C.-25D.25

qIT

6.已知)二，则cos(x+-^-)=()

4

B.—C.三

A.—D.1

5555

7.等差数列{〃“}的前〃项和为S”，若S“=22,则〃3+“7+。8=（)

A.18B.12C.9D.6

2

X+lsx41

8.设函数/(x)=«2、，则外（3）尸（）

—,X>1

lx

9D,巡

A.—B.3C.—

539

2

9.ZVIBC的内角AB、C的对边分别为a、b、c.已知a=代,c=2,cosA=—,

3

()

A.V2B.MC.2D.3

10.Jf(1-—)Jx的值为()

1X

A.c-2B.eC.e+1D.e-1

22

11.设尸为双曲线C：号-4"=1(〃>0,b>0)的右焦点，过点尸且垂直于x轴的直线

a」L

交双曲线的两条渐近线于A,B两点(48分别在一、四象限)，和双曲线在第一象限

的交点为E,若施=3而，则双曲线C的离心率为()

A.B.JQC.3D.4

3

12.己知/(x)是R上可导的图象不间断的偶函数，导函数为/(x),且当x>0时，满足

f(x)+2xf(x)>0,则不等式e1'2^(x-1)>/(-%)的解集为()

A.(-y,+oo)B.(-8,-1)C.(-8,0)D.(0,+8)

二、填空题(共4小题).

’2x-3y+9>0

13.设实数x,y满足不等式组｛xW-3<0，则x-2y的最小值为.

y》l

14.设正数“，人满足24+8=1,2△的最小值为_____.

ab

15.(x+2y)(2x-y)$的展开式中的系数为.

16.已知F为抛物线V=2px(p>0)的焦点，弦A8经过F,且赢•瓦=-3,。为坐标原

点，当AB的倾斜角等于60°时，tanNAO8=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在等比数列｛。〃｝中〃2=3,45=81.

(1)求an;

(2)设—=log3a〃,求数列｛瓦｝的前〃项和Sn.

18.在AABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c,且满足一5汽亭轴=—^―.

4cosB+5sinAsinBcosC

⑴求cosA；

(2)若a=3,求He的最大值.

19.某班主任对本班40名同学每天参加课外活动的时间(分钟)进行了详细统计，并绘制

成频率分布直方图，如图所示：

(1)求实数”的值以及参加课外活动时间在［10,20)中的人数；

(2)从每天参加活动不少于40分钟的人中任选3人，用X表示参加课外活动不少于50

分钟的人数，求X的分布列和数学期望.

20.已知函数/(x)=ax1+ax-6lnx(«6R).

（1）讨论函数/（X）的单调性;

（2）若>0在（0,+8）上恒成立，求。的最小正整数值.（ln|-^0.404）

=1（”>6>0）的短轴长为2、后，离心率为返.

21.已知椭圆C：

（1）求椭圆C的方程;

（2）已知点。（2,2）,若不过坐标原点。且斜率为上的直线/与椭圆C交于点M、N,

且满足而+祈=X,0D，求△MCW面积最大时直线/的方程.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.在直角坐标系X。），中，直线/的直角坐标方程为），=■■^-X+2A/3,曲线C的参数方程

3

x=3+3cos0（3为参数），以坐标原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

为

y=3sin。

（1）求直线/和C的极坐标方程;

（2）设直线/与曲线C交于M,N两点，求

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1.己知A={X|N-2X=0},B={0,1},则AC8=()

A.0B.{0}C.{0,2}D.{0,1,2)

解：集合A={X|X2-2X=0}={0,2},

B={0,1},

・・・AA8={0}.

故选：B.

2.已知i为虚数单位，复数z=2-3i,则在复平面中止送•所对应的点在（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

(2-i)z(2-i)(2-3i)l-8i

解：复数z=2-3i,则在复平面中

1+i1+i1+i(1+i)(1-i)

7c9，="—当所对应的点（-7-尚）在第三象限.

222

故选：C.

3.若Z?=31ogs3,则a，b,c的大小关系是（)

A.c<b<aB.a<h<cC.h<a<cD.c<a<h

Va=(1)Y=f，

b=310g83=log23>log2&="I"，

<(马0=1,

3

:.a,b,c的大小关系是

故选：D.

4.下列命题中的假命题是（

A.3xGR,lgx=0B.3x6R,tanx=1

C.VxGR,^>0D.VxER,2V>0

解：4、x=l成立;

兀

B、x=——^立；

4

。、由指数函数的值域来判断.

对于。选项X=-1时，（-1）3=-1VO,不正确.

故选：c.

5.已知平面向量；=（1,2）,（"?，5）,当；+章吗垂直时，1,（22-34=（）

A.-22B.22C.-25D.25

解：a+b=(m+l,7)，且之+E和之垂直,

•e•(a+b)*a=m+l+14=0,解得相=一15,

b=(-15,5)，2a-3b=(47,-11)，

••a•(2a-3b)=47-22:25,

故选：D.

兀&n

6.已知sinlx-^-)^，贝Ucos(x+-^-)=()

/兀、.「兀/兀、

解：7sin(x-7-)=7-，则mitcos(x"^“)=smE-(x+—)]=sinx)=-sin

4

(兀、_3

(x--------)-----------,

45

故选：D.

7.等差数列｛斯｝的前〃项和为S〃，若Su=22,则。3+3+。8=（）

A.18B.12C.9D.6

解：•・•等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，Sii=22,

1-------------=22,解得伙>=2.

2

则。3+。7+。8=。4+。6+。8=3。6=6,

故选：D.

x2+l,x《l

8.设函数/"(x)=\9,则咒/(3)]=()

—,x>l

lx

213

A.--B.3C.D.

53T

x2+l»x<l

解：函数/（x）=<2、，则f(3)=—,

—,x>l3

x

(3)]=f(―)=^4-1=—

399

故选：D.

9.ZiABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知”=代，c=2,cosA=-1-,贝ij6=

（）

D.3

解：Vc=2,cosA=—,

o

2222

由余弦定理可得：COS4=2=且^一W_.="+4-5整理可得：3/-%-3=0,

32bc2XbX2

二解得：〃=3或（舍去）.

故选：D.

10.f?(1--)必:的值为()

1X

A.e-2B.eC.e+1D.e-1

解：J；（T）dx=a-M）6=(e-1)-(1-0)=e-2,

1

故选：A.

22

11.设方为双曲线C："-y一1（«>0,b>0）的右焦点，过点尸且垂直于x轴的直线

2

ab

交双曲线的两条渐近线于A,B两点（A,〃分别在一、四象限），和双曲线在第一象限

的交点为E,若温=3近，则双曲线。的离心率为（）

A.B.73C.3D.4

3

解：设尸（c,0）,

把X=c分别代入渐近线方程y=±与和双曲线方程可得，A（c,3）,B（c,-/），

aaa

E（c,,

a

22

.•.前=（0,且跳），山=（0,上也_）,

aa

22

丁丽=3血，・，.b+1£=3Xbc~~b,化简得。=24

aa

12.已知/(x)是R上可导的图象不间断的偶函数，导函数为/(%),且当%>0时，满足

f(x)+2xf(x)>0,则不等式《「9(x-1)>f(-x)的解集为()

A.(y,-KO)B.(-8,A)C.(-8,0)D.(0,+8)

解：由题意：不等式式2.于(》-1)>/(-x)可化为：

(1)ZxZ

/(x-1)>/(x)两边同乘以ee得：e^f(x-l)>ef(x))①

令h(x)=e/f(x>易知该函数为偶函数，

因为h'(x)=e，[f'G)+2xf(x)],结合/(X)+24(x)>°(x>0)，所以"(x)

>0,(x>0)

所以/!(X)在(0,+8)上是单调增函数，结合该函数为偶函数，

故(x-1)2>x2,解得x<5.

2

故选：B.

二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.

r2x-3y+9>0

13.设实数X,y满足不等式组,X灯-3<0，则X-2V的最小值为-6.

y》l

解：由约束条件作出可行域如图,

令z=x-2y,得尸当-当，作一簇斜率为5的直线，

222

根据Z的几何意义知，z=x-2y在点C(0,3)处取得最小值-6.

故答案为：-6.

14.设正数a,41满足2a+b=l,2d的最小值为9.

ab

解：•.•正数〃，力满足2a+b=l,

...2_J=2(2a+b)+2a+b=5+空色＞5+2、也

abababWb

当且仅当空注且2a+b=\,即■时取等号，

ab3

故答案为：9.

15.(x+2y)(2x-y)5的展开式中―仁的系数为120.

解：由于(2x-y)5的展开式的通项公式为7"]=c＞(-1)“25”上”了,

故(x+2y)(2x-y)5的展开式中xy的系数为-C&22+2X痈，23=120,

DD

故答案为：120.

16.已知尸为抛物线)2=2px(p＞0)的焦点，弦A8经过F,且丞，而二-?,。为坐标原

点，当AB的倾斜角等于60。时，tan/408=-生包.

-9-

解：设A(xi,yi),8(元2,”)，

此时直线A8的方程为(x-^")，即”=

将它代入到抛物线方程整理可得：＞23工2=0,

V3

卬1丫2)2p2

则＞1丫2="2'所以KJ2

4P24

,=2

S0A0B=x1x2+y172-^—p=-3,解得P=2,

此时A的直线方程为)，=百a-1)，抛物线方程为)2=4x,

不妨设点A在第一象限，解得A(3,2百),B(1,2/3),

33

tan/A0F=~tanNB0F=2y'/"§，

o

2M+2«_够

3

；.tan/40B=tan(ZAOF+ZBOF)=—

2^3l-9

1-4-X2后

故答案为：-心叵.

9

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在等比数列｛斯｝中42=3,45=81.

(1)求an;

(2)设b〃=log34〃，求数列｛与｝的前n项和Sn.

叫

解：(1)设｛〃〃｝的公比为q,则43=----=27,・・.q=3,

a2

q

・•・〃“=3"L

(2)—=log33"i=〃-1,

・・・｛仇｝是以0为首项，以1为公差的等差数列.

.0

一Sn=2-•

18.在△ABC中，内角A、B、C对应的边长分别为。、氏c,且满足:；~5：c?sB-fb.c

4cosB+5sinAsinBcosC

(1)求cosA；

(2)若。=3,求匕+c的最大值.

解：(1)因为，5：c?sB「b,

4cosB+5sinAsinBcosC

所以由正弦定理，可得5sinAcosB-4s｝nB=gij吐,

4cosB+5sinAsinBcosC

整理得5sinAcos(B+C)=4sin(B+C),

又A+8+C=n,所以5sioAcos(ir-A)=4sin(TC-A),

即-5sinAcosA=:4sinA,

因为0VA<n,sinA>0,

4

所以cosA=---.

5

12.2212.2QA

由余弦定理，得co弦=k,所以_L上邑1=-名,

2bc2bc5

整理可得⑺+C）2-9=-^c<_X（且£_）2,即（b+c）2<10,

552

所以。+cwJI5，当且仅当。=c=Y型时取等号,

6+C=JI5>3=〃，因此可以取到最大值，

故b+c的最大值/记.

19.某班主任对本班40名同学每天参加课外活动的时间(分钟)进行了详细统计，并绘制

成频率分布直方图，如图所示：

(1)求实数”的值以及参加课外活动时间在［10,20)中的人数；

(2)从每天参加活动不少于40分钟的人中任选3人，用X表示参加课外活动不少于50

分钟的人数，求X的分布列和数学期望.

0.0375

0.02

0.0175

O1()2()3()405()60分仲

【解答】【解析】解：(1)因为所有小矩形面积之和等于1,

所以可得方程106Z+0.02X10+0.0375X10+0.0175X10+10«=1,

解得“=0.0125,

由于参加课外活动时间在［10,20)内的频率等于0.0125X10=0.125,

因此参加课外活动时间在［10,20)中的人数为40X0.125=5.

(2)依题意，参加课外活动时间在［40,50),［50,60)的人数分别为7人和5人,

随机变量X的取值可能为0,1,2,3.

禺1

(X=3)=^7-=—,

C322

^12

所以X的分布列为：

X0)23

P工2171

44442222

E(X)=0X-^+1X—+2X—+3X—=—

444422224

20.已知函数/(x)—ax2+ax-6lnx(aeR).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若/(x)>0在(0,+8)上恒成立，求。的最小正整数值.(ln|-«0,404)

解：(1)由题得，函数f(x)的定义域为(0,+8),

(x)=2ax+a4ax+ax-6&>0),

XX

当aWO时，由于/(X)在(0,+8)上恒为负数，

此时/(X)在(0,+8)上单调递减.

当“>0时，令f(x)>0,得*>二%立阻恒

4a

令/(X)<0,得0<x<飞鹤〃.例

4a

此时，/(x)在(0,-a+Va2+4—)上单调递减,

4a

在(-aH：2+48?,g)上单调递增.

综上，当“W0时，/(x)在(0,+8)上单调递减；

当〃>0时，/(x)在(0,-aWa2+48a)上单调递减,

4a

在(上返也阻，一)上单调递增.

4a

(2)依题意，&>粤更"在(0,+8)上恒成立.

x+x

令g(x)=号曳(x>0),

X+x

Ao

—(x^+x)-6(2x+l)lnxQ

则g，(x)=------------T------=-------y(x+l-2xlnx-lnx)(x>0)

22

(x+x)(x+x)

令h（x）=x+\-Ixlnx-Inx（x>0）,则h'（x）=-l-21nx」，

x

令。（x）=-l-21nx1,（x>0）,由于。一'（，x、）=—1—2-=一l-"2厂x,

xXXX

因此（p（x）在（0,上单调递增，在/，g）上单调递减,

所以当x卷时，（P（x）取得最大值2/〃2-3<0.

根据（p（x）恒为负数，知〃（x）亦恒为负数，

因此"（X）在（0,+8）上为减函数.

ffi]h）=^~~41n~^-h（2）=3-5/〃2<0知，

可知在区间,，2）上必存在XO,使得函数/7（X）满足/7（%0）=0,

且g（X）在（0,X0）上单调递增，在（XO,+°°）上单调递减.

61nxoXn+1

由于g(x<)g(xo)=w----,而lnxn='^--T--

x*Xcu2x+l

Aoonu

61nx0

i%g(x)<g(x0)=-2---

x0+x0

323

由€

€-+Xg€-

Xo22),ooXo5

所以因此〃的最小正整数值为1.

21.已知椭圆C：冬」;=1（。>匕>0）的短轴长为2加，离心率为喙.

（1）求椭圆C的方程；

（2）己知点。（2,2）,若不过坐标原点。且斜率为左的直线/与椭圆C交于点M、N,

且满足祈+祈=X.QD，求△MCW面积最大时直线/的方程.

'2b=2a

解：（1）根据题意可得Je.当，

解得层=12,从=6,g=6,

22

所以椭圆。的方程为匚+J=l.

126

(2)设直线/的方程为(加#0),M(羽，yi),N(x2,”)，