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文档简介
第四节换元积分法第五章一、不定积分的换元法二、定积分的换元法不定积分换元积分法
定积分换元积分法机动目录上页下页返回结束满足:二、定积分的换元法定理1.
设函数 单值函数j
(t)
˛
C1[a
,
b
],
j
(a
)
=
a
,
j
(b
)
=
b;在[a
,b
]上j
(t)
j
(t)证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是则F
(b)
-
F
(a)=
F[j(b)]
-
F[j(a
)]j(t)
j¢(t)j(t)
j(t)
j¢(t)的原函数,因此有则机动目录上页下页返回结束=说明:当b
<a
,即区间换为[b
,a
]时，定理1
仍成立；必需注意换积分变量必换限,原函数中的变量不必代回；换元公式也可反过来使用,即(令j(t)=x
)b或凑微分=
a
f
(x)
d
xj
(t) d
j
(t)不换积分变量就不换限j
(t)
j
(t)j
(t)
j
(t)j
(t)
j
(t)1)
dx可视为微分；机动目录上页下页返回结束5)
注意：j(t)˛
C1[a
,b]2-11
+
x
1
1
例.
设
I
=
dx,若令
x
=
1,1t11
2t
2t-11
+
(
)
则I
=121-1(-
1
)dt
=
-1
+
t
121dx-1dt
=
-1
+
x
=
-I
,从而,I
=0.2-11
+
x
但事实上，I
=1-11
1
dx
=
(arctan
x)2=p!t机动目录上页下页返回结束
x
=1在t=0处不可导.例1.
计算=
2arctan3
-
2arctan
0=
2p
.30
1
+
x解:
原式
=
2
3
1
dx30=
2arctan
x机动目录上页下页返回结束例2.计算解:
原式
==
ln
3.00dx-2
20=
0
+
ln(2
+
x2
)2机动目录上页下页返回结束2x
dx2+0
2
+
x
例3.设解:20f
(x
-1)dx.
求令t
=x
-1,则：x
=t
+1,dx
=dt当x
=0时,t
=-1;当x
=2时,t
=1.1-1原式=
0
10-1f
(t)dt
=
f
(t)dt
+
f
(t)dt0101
1tdt-1=dt
+1
+
e
1
+
t
0机动目录上页下页返回结束0
1=
t
-
ln(1+
et
)
+
ln(1+
t)
-1=
ln(1
+
e).例4.计算解:
令
x
=
sin
t
,
则p2∴
原式=02dt1+cos
2t=
12
2sin
2t
)=
1
(t
+p20
20p2当x
=0
时,t
=0;pdx
=
cos
t
dt
,x
=1时,t
=.cos
t
d
t2y
=
1
-
x2xoy1且机动目录上页下页返回结束2t
2
-1例5.
计算解:
令
t
=
2x
+1,则
x
=tt
d
t12∴ 原式
=
3
t
2
-1
+
22
1=
1
3
(t
2
+
3)
d
t2
31
13=
(
t
+
3t
)31当x
=
0
时,
t
=1;
x
=
4
时,
t
=
3
., dx
=t
d
t
,
且机动目录上页下页返回结束证:
令t
=p
-x,
则x
=
p
-
t
,
dx
=
-dt
,x
=
p
时,
t
=
0
.∴xf
(sin
x)
dxp
0p=
-
(p
-
t)
f
(sin(p
-
t))
dt00tf
(sin
t)
dtpp
f
(sin
t）dt
-当x
=0
时,t
=p;且机动目录上页下页返回结束例6.设
f
(x)在
0,1
上连续，00xf
(sin
x)
dxpp=
p
f
(sin
x）dx
-00f
(sin
x)
dx.ppp2\xf
(sin
x)
dx
=
00p=(p
-
t)
f
(sin(p
-
t))
dt
=
p
例7.p
cosq
+sinq=0
sinq
+
cosq
220
p2dq
=J
-
I
=2
0dqp
cosq
-
sinqsinq
+
cosq
1dq
=p=d(sinq
+cosq)2
0
sinq
+cosq
0机动目录上页下页返回结束p=
ln
sinq
+
cosq
2=
0.4\
I
=
J
=
p
.ppcosqsinq解:
J
+
I
=0
sinq
+
cosq0
sinq
+cosqp
2
dq
+
2
dq.例8.解:0xtf
(x2
-
t
2
)dt
=
220xf
(x2
-
t
2
)d
(x
-
t
)
20-
1212x=
-
2\
原式=
1
f
(x2
)
(x2
)令x2
-
t
2
=
u,则:当t
=0时,u
=x2
;当t
=x时,u
=0.1机动目录上页下页返回结束x2f
(u)duf
(u)du
=
2
0=
xf
(x2
).例9.设1机动目录上页下页返回结束00f
(x)在
0,1
上单调递减，xf
(t)
dt.f
(t)
dt
‡
x
有证:
令t
=
ux,dt
=
x
d
u
;当t
=
x
时,
u
=
1.0x
10100xf
(t)
dt
=f
(t)
dt
-
x
∴从而当t
=0时,u
=0;则
且110f
(t)
dtf
(xt)
dt
-
x
[
]010f
(xu)x
d
uf
(t)
dt
=
x=
xf
(xt)
-
f
(t)
dt
10f
(xu)
d
u
=x0
1=x f
(xt)
d
t
0
<
x
<1,0
£
t
£1,
\
0
£
xt
£
t
£1.[
]0又f
(x)在
0,1
上单调递减，故f
(xt)
-
f
(t)
‡
0,x\
xf
(xt)
-
f
(t) dt
‡
0,
即，
a
a则
-a
f
(x)
dx
=
2
0
f
(x)
dx(1)若(2)若a则
-a
f
(x)
dx
=
0a
0
a证:
-a
f
(x)
dx
=
-a
f
(x)
dx
+
0
f
(x)
dxa0
=f
(x)
dxa0
f
(-t)
d
t
+a=
0
[
f
(-x)
+
f
(x)]dxf
(-x)=f
(x)时f
(-x)=-f
(x)时偶倍奇零令x
=-t机动目录上页下页返回结束=三、两类函数的积分性质1.奇、偶函数例.计算解:3=
2
p
3.2x2
dxpp-p-p原式=x
cos
x
dx
+1
+
sin
x
3-p=
0
+
1
x3
p机动目录上页下页返回结束2、周期函数设f
(x)是以T为周期的周期函数，则对"常数a,有af
(x)dxa+T
0Tf
(x)dx=
00TaTf
(x)dxa+Tf
(x)dx
+f
(x)dx
+
证：左式=00Taf
(x)dx
+f
(x)dx
+
=x
=
t
+
T0T
=a
0
f
(t
+
T
)dtf
(x)dx
=右式.注：周期函数在任何一个周期长度的区间上的定积分值都相等.0af
(t)dt
af
(x)dx0
机动目录上页下页返回结束例10.
证明是以p
为周期的函数.证：令u
=t
+p是以p
为周期的周期函数.机动目录上页下页返回结束内容小结基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习1.d0
dxx提示:
令
u
=
x
-
t
,
则x100
0
sin(x
-
t)
d
t100机动目录上页下页返回结束sin
usin100
(x
-
t)
d
t
=
sin100
x2.设解法1=
f
(x3
)对已知等式两边求导,思考:
若改题为提示:两边求导,得解法2得机动目录上页下页返回结束3.下述做法是否正确？提示:21x2+(-
1
)
=
0.1
+
x21
+
(
1
)x
F¢(x)
=(x
„
0)F
(x)在(-¥
,0)内为-p
,在(0,+¥
)内为p
.2
21机动目录上页下页返回结束11x2
dt,0
1
+
t0
1
+
t12
dt
+
x设F
(x)=
解:;
ex
+
C,(B).F
(x)
=
x
‡
0
2
-
e-x
+
C,
x
<
0(
A).F
(x)
=
e
x
+
C;
f
(x)
=
e
x;-x
ex
,
x
‡
0=
e
,
x
<
0
12-x+
C
,
x
‡
0
ex-e
+
C
,
x<
0\
F
(x)
=
又
F
(x)连续、可导，从而，lim
F
(x)=1
+C1,xfi
0-lim
F
(x)
=
-1
+
C2
,xfi
0+
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