文件第2讲同角三角函数基本关系及诱导公式

第2讲

同角三角函数的基本关系及诱导公式cos𝑥1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sin𝑥=tan

x.22.能利用单位圆中的三角函数线推导出π±α,π±α

的正弦、余弦、正切的诱导公式.要点梳理考点自测1.同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1.平方关系

商数关系:tan

α=sin𝛼

൭𝛼≠𝜋

+kπ,𝑘∈Z൱.cos𝛼

2要点梳理考点自测2.三角函数的诱导公式-sin

α-sin

αsin

αcos

αcos

α-cos

αcos

α-cos

αsin

α-sin

αtan

α-tan

α-tan

α—二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ-α2π+α2正弦sin

α余弦cos

α正切tan

α口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限要点梳理考点自测3.特殊角的三角函数值01010-101α

度数0°30°45°60°90°120°150°180°α

弧度数0𝜋6𝜋4𝜋3𝜋22𝜋35𝜋6πsin

α12√22√32√3212cos

α√32√2212-12-√32tan

α√33√3-√3-√330要点梳理考点自测124531.给出下列命题:①sin2α+cos2φ=1;②同角三角函数的基本关系式中角α

可以是任意角;③六组诱导公式中的角α

可以是任意角;④诱导公式的口诀“奇变偶不变,符号看象限”中的“符号”与α

的大小无关;⑤若cos(kπ-α)=1(k∈Z),则cos

α=1.2

2其中正确的是(

)A.①③

B.④C.②⑤D.④⑤要点梳理考点自测12453解析:①错误.sin2α+cos2φ=1

中的角不是同角.②错误.在tan

α=sin𝛼中α≠π+kπ,k∈Z.cos𝛼

2③错误.对于正、余弦的诱导公式角α

可以为任意角,而对于正切的诱2导公式α≠π+kπ,k∈Z.④正确.诱导公式“符号看象限”中的符号是把任意角α都看成锐角时原函数值的符号,因而与α

的大小无关.要点梳理考点自测12453⑤错误.当k=2n(n∈Z)时12,cos(kπ-α)=cos(2nπ-α)=cos

α=

.当k=2n+1(n∈Z)12时,cos(kπ-α)=cos[(2n+1)·π-α]=cos(2nπ+π-α)=cos(π-α)=-cos

α=-.答案:B要点梳理考点自测124532.sin

585°的值为()A.-√22B.√22C.-√32D.√32解析:sin

585°=sin(360°+225°)=sin

225°=sin(180°+45°)=-sin

45°=-√22

.答案:A要点梳理考点自测12453cos2𝛼3.若

tan

α=3,则sin2𝛼的值等于(

)A.2

B.3C.4D.6解析:∵sin2𝛼

2sin𝛼cos𝛼

2sin𝛼cos2𝛼

=

cos2𝛼

=

cos𝛼

=2tan

α,又tan

α=3,∴sin2𝛼=2tan

α=2×3=6.cos2𝛼答案:D要点梳理考点自测124534.(2015

届四川成都高中毕业班摸底测试)已知α∈ቀ0,πቁ,cos

α=4,则2

5sin(π-α)=

.解析:因为α

是锐角,所以sin(π-α)=sin

α=ට1-cos2𝛼=ට1-ቀ4ቁ2

=

3.5

5答案:35要点梳理考点自测124535.若

sin

α=-4,且

α∈ቀπ,

3πቁ,则

tan

α=(

)5

2A.3

B.4

C.-34

3

4D.-43解析:∵sin

α=-4,且α∈ቀπ,3πቁ,5

2∴cos

α=-ට1-sin2

𝛼=-3.5∴tan

α=sin𝛼

=

4.cos𝛼

3答案:B考向1考向2微型技巧总结考向

1

同角三角函数关系式的应用【例1】(1)已知tan

α=2,求下列各式的值:①2sin𝛼-3cos𝛼4sin𝛼-9cos𝛼;②4sin2α-3sin

αcos

α-5cos2α.2(2)(2014

浙江嘉兴模拟)已知α∈ቀπ,3πቁ,tan

α=2,则cos

α=.考向1考向2微型技巧总结考向1考向2

微型技巧总结解:(1)①原式=2tan𝛼-3

=2×2-34×2-

=-1.4tan𝛼-9

9②∵sin2α+cos2α=1,2

2∴4sin

α-3sin

αcos

α-5cos

α=4sin2α-3sin𝛼cos𝛼-5cos2αsin2α+cos2α=4tan2α-3tan𝛼-5

=

4×4-3×2-5tan2α+1

4+1=1.(2)依题意得ቊcos𝛼tan𝛼

=

sin𝛼

=

2,sin2α

+

cos2

α

=

1,15解得

cos2α=

.√5又

α∈ቀπ,

3πቁ,因此

cos

α=-

.2

5考向1考向2微型技巧总结考向1考向2微型技巧总结解:方法一:∵15sin

θ+cos

θ=

,θ∈(0,π),1225平方整理得

sin

θcos

θ=-

<0,∴sin

θ>0,cos

θ<0.由根与系数的关系知,2

1

125

25sin

θ,cos

θ

是方程

x

-

x- =0

的两根,145解方程得

x

=

,x2354535=-

,即

sin

θ=

,cos

θ=-

.考向1考向2微型技巧总结故(1)tan

θ=sin𝜃cos𝜃4-3543=

5

=-

.(2)sin

θ-cos

θ=

+

=4

3

75

5

5.(3)sin3θ+cos3θ=

43-

3ቀ5ቁ +

ቀ

5ቁ3=

125

37

.考向1考向2微型技巧总结方法二:(1)同方法一.21225(2)(sin

θ-cos

θ)

=1-2sin

θcos

θ=1-2×ቀ-

ቁ

=4925.∵sin

θ>0,cos

θ<0,∴sin

θ-cos

θ>0.∴7sin

θ-cos

θ=5.3

3

2

2151225(3)sin

θ+cos

θ=(sin

θ+cos

θ)(sin

θ-sin

θcos

θ+cos

θ)=

×

ቀ1+

ቁ

=

37

.125考向1考向2微型技巧总结考向1考向2微型技巧总结考向1考向2微型技巧总结解析:(1)sin2α-sin

αcos

α=sin2𝛼-sin𝛼cos𝛼

=tan2𝛼-tan𝛼

=2.sin2𝛼+cos2𝛼

tan2𝛼+1

5(2)∵α∈ቀπ

,πቁ,sinα=12,∴cosα=-ට1-sin2𝛼=-

5,∴tanα=sin𝛼=-12.2

13

13

cos𝛼

5答案:(1)A (2)-125考向1

考向2

微型技巧总结2.(2013

课标全国Ⅱ,理15)设θ

为第二象限角,若tanቀ𝜃+πቁ=1,则sin4

2θ+cos

θ=

.1解析:方法一:tanθ=tanቂቀ𝜃+πቁ

-πቃ=2-1

=-1,4

4

1+1

32∴sinθ=-1cos

θ,310

9将其代入

sin2θ+cos2θ=1,得

cos2θ=1,∴cos2θ=

,9

10易知cos

θ<0,∴cos

θ=-3

√10,sin

θ=√10,10

10故sin

θ+cos

θ=-√10.5考向1考向2微型技巧总结方法二:∵tanቀ𝜃+πቁ=1+tan𝜃

=1,∴tanθ=-1.4

1-tan𝜃

2

3∵θ

为第二象限角,∴sin

θ=√10,cos

θ=-3√10,10

105∴sin

θ+cos

θ=-√10.答案:-√105考向1考向2微型技巧总结考向

2

三角函数的诱导公式【例

3】

(1)sin(-1

200°)cos

1

290°+cos(-1

020°)·sin(-1050°)=

.(2)设

f(α)=

2sin(π+𝛼)cos(π-𝛼)-cos(π+𝛼)

(1+2sin

α≠0),则1+sin2α+cosቀ3π+αቁ-sin2ቀπ+αቁ2

26fቀ-

23πቁ=.(3)已知

cosቀπ

+

αቁ

=

1,则

sinቀπ

-αቁ=

.6

2

3(4)已知sinቀ7π

+αቁ=2

则cosቀ𝛼-11πቁ=12

,

123.考向1考向2微型技巧总结考向1考向2微型技巧总结解析:(1)原式=-sin

1

200°cos

1

290°-cos

1

020°sin

1

050°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)=-sin

120°cos

210°-cos

300°sin

330°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)=sin

60°cos

30°+cos

60°sin

30°=√3

×

√3

+

1

×

12

2

2

2=1.考向1考向2微型技巧总结(2)∵f(α)=(-2sin𝛼)(-cos𝛼)+cos𝛼1+sin2α+sin𝛼-cos2α=2sin𝛼cos𝛼+cos𝛼

=

cos𝛼(1+2sin𝛼)

=

1

2sin2α+sin𝛼

sin𝛼(1+2sin𝛼)

tan

,𝛼6∴fቀ-

23πቁ=

1

6tanቀ-23πቁ=1πtanቀ-4π+6ቁ=tan61π

=

√3.考向1考向2微型技巧总结3

6(3)∵ቀπ

-αቁ

+

ቀπ

+

αቁ

=

π2,∴sinቀπ

-αቁ=cosቂπ

-

ቀπ

+

αቁቃ=cosቀπ

+

αቁ

=

1.3

2

6

6

2(4)cosቀ𝛼-

11πቁ=cosቀ11π

-αቁ=cosቂπ-

ቀ

π

+

αቁቃ=-cosቀ

π

+αቁ,12

12

12

12而sinቀ7π

+αቁ=sinቂπ

+ቀ

π

+αቁቃ=cosቀ

π

+αቁ=212

2

12

12

,3212

3所以cosቀ𝛼-11πቁ=-.答案:(1)1

(2)√3

(3)1

(4)-22

3考向1考向2微型技巧总结考向1考向2微型技巧总结考向1考向2微型技巧总结解析:(1)原式=(-sin

1

071°)·sin

99°+sin

171°·sin

261°+tan

1

089°·tan540°=-sin(3×360°-9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)·sin(270°-9°)+tan(3×360°+9°)·tan(360°+180°)=sin

9°cos

9°-sin

9°cos

9°+tan

9°·tan

180°=0+0=0.(2)由题意可知tan

θ=2,sinቀ3π+θቁcos(π-𝜃)2sinቀπ-θቁ-sin(π-𝜃)故

2

=-cos𝜃-cos𝜃cos𝜃-sin𝜃= -2

=

-2

1-tan𝜃 1-

=2.2考向1考向2微型技巧总结(3)因为ቀπ

-αቁ+ቀ5π

+αቁ=π,所以tanቀ5

π+𝛼ቁ=-tanቂπ-ቀ5

π+6

6

6

66𝛼ቁቃ=-tanቀπ

-αቁ=-√3.12(4)因为tan(π+α)=tan

α=-,12所以tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan

α=.答案:(1)0

(2)2 (3)-√3

(4)12考向1考向2微型技巧总结1.由sin2α+cos2α=1,构造方程求值.已知sin

α,cos

α

共存在的式子或tan

α

的值,可构造方程求得sin

α,cos

α.具体步骤如下:cos𝛼(1)将sin

α,cos

α

的式子代入sin2α+cos2α=1;tan

α

需化为sin𝛼后代入;构造sin

α(或cos

α)的一元二次方程;求值,并利用α

的范围决定值的取舍.考向1考向2微型技巧总结将已知式化齐次式构造tanα

的方程求值.具体步骤如下:将sin

α,cos

α的式子两边平方;其中的常数利用公式1=sin2α+cos2α

替换,将原式化为齐次式;(3)将式子左右两边同时除以cos2α,得tan

α

的方程;(4)解方程求得tan

α,由α

的范围决定取舍.考向1考向2微型技巧总结2【典例】

已知

α∈R,sin

α+2cos

α=√10,则

tan

2α=(

)A.43B.34C.-34D.-43【思维透析】方法一sin

α+2cos

α代入sin2α+cos2α=1—sin

α

方程—sinα,cos

α—tan

α—tan

2α方法二:sin

α+cos

2α

平方—同除cos2α—tan

α—tan

2α考向1考向2微型技巧总结【解析】

方法一:由

sin

α+2cos

α=√10,得

sin

α=√10-2cos

α,

①2

2又sin2α+cos2α=1,②联立①②,解得ቐ10sin𝛼

=

3√10

,cos𝛼

=

√1010或ቐ10sin𝛼

=

-

√10

,10cos𝛼

=

3√10

.所以tan

α=sin𝛼=3

或-1.cos𝛼

3当tan

α=3

时,tan

2α=

2tan𝛼1-tan2𝛼=

2×3=-3;1-3241当tan

α=-3时,tan2α=2tan𝛼21-tan

𝛼2×ቀ-1ቁ31-ቀ-1ቁ3=

32=-4.4综上,tan2α=-3.故选C.考向1考向2微型技巧总结方法二:两边平方,再同时除以cos2α,得3tan2α-8tan

α-3=0,tan

α=3

或tan3α=-1,代入tan

2α=

2tan𝛼

,得到tan

2α=-3.1-tan2𝛼

4【答案】

C考向1考向2微型技巧总结【变式训练】(1)(2014

山东潍坊模拟)已知α∈ቀπ

,3πቁ,tan(α-7π)=-3,则sin

α+cos

α

的值2

2

4为()A.±15B.-15C.15D.-755(2)(2014

陕西汉中模拟)已知α

是三角形的内角,且sin

α+cos

α=1,则tanα=

.考向1考向2微型技巧总结4

cos𝛼

4解析: