浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目及答案)

1.（本题满分15分）如图，平面⊥平面，是以为斜边的等腰直角三角形。分别为的中点，。（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使⊥平面，并求点到,的距离。2.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m（Ⅰ）试确定m，使得直线AP与平面BDB1D1所成角的正切值为；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。3.如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体。 （I）求证BC⊥平面AFG； （II）求二面角B－AE－D的余弦值．.4在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，M是AB的中点．（1）求证：；（2）求CM与平面CDE所成的角DABEFC（第18题）5.如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．DABEFC（第18题）（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当的长为何值时，二面角的大小为？6.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=沿直线EF将翻折成使平面平面BEF.（I）求二面角的余弦值；（II）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与重合，求线段FM的长.7.如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=,M，N分别为PB,PD的中点。（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。9.如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若二面角的大小为，求的大小．10.（第16题图）FACDEB如图，在五面体中，已知平面，，，，．（第16题图）FACDEB（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．11.如图，在直三棱柱中，已知，，．（第22题图）ABCA1B1（第22题图）ABCA1B1C1（2）求二面角平面角的余弦值．ACDBN12(本小题14分)在等腰梯形中，，，，是的中点．将梯形绕旋转，得到梯形（如图）．ACDBN（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值．PABCDQM13.（本题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=ADPABCDQM（I）求证：平面PQB⊥平面PAD；（II）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，=90°,BC=CD=,AD=BD：EC丄底面丄底面(I)求证：AD丄BF:(II)若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角B-MF-C的余弦值.1.证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．2.解法１：（１）故。所以。又.故在△，即.故当时，直线。（Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又,故。从而解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一个法向量.设与所成的角为，则依题意有：，解得.故当时，直线。（２）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于即为的中点时，满足题设的要求.3.(Ⅰ)在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC．………………2分在图乙中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG．又DE//BC，所以BC⊥平面AFG．……………………4分(Ⅱ)因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，所以FA，FD，FG两两垂直．以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，所以，0)．……6分设平面ABE的一个法向量为．则，即，取，则，，则．………………8分显然为平面ADE的一个法向量，所以．………………10分二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．………12分4.方法一：（1）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CM⊥AB．又EA⊥平面ABC，所以CM⊥EM．（2）解：过点M作MH⊥平面CDE，垂足是H，连结CH并延长交ED于点F，连结MF、MD，∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．因为MH⊥平面CDE，所以MH⊥ED，又因为CM⊥平面EDM，所以CM⊥ED，则ED⊥平面CMF，因此ED⊥MF．设EA＝a，BD＝BC＝AC＝2a在直角梯形ABDE中，AB＝2a所以DE＝3a，EM＝，MD＝a，得△EMD是直角三角形，其中∠EMD＝90°所以MF＝．在Rt△CMF中，tan∠FCM==1，所以∠FCM=45°，故CM与平面CDE所成的角是45°． 方法二： 如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别作为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，则 A（2a，0，0）， B（0，2a，0）， C（2aA（0，2a，2a）， A（a，a （1）证明：因为=（-a，a，-a），=（a，a，0）， 所以 ·=0， 故. （2）解：设向量n=（1，，）与平面CDE垂直， 则，， 即=0，=0. 因为=（2a,0,a）,=(0,2a,2a), 所以y=2，z=-2， 即n=（1，2，-2）， ， 直线CM与平面CDE所称的角是45°.5.方法一：DABEFCHG（Ⅰ）证明：过点作交于DABEFCHG可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故．因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．由平面平面，，得平面，从而．所以为二面角的平面角．在中，因为，，所以，．DABEFCDABEFCyzx从而．于是．因为，所以当为时，二面角的大小为．方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．设，则，，，，．（Ⅰ）证明：，，，所以，，从而，，所以平面．因为平面，所以平面平面．故平面．（Ⅱ）解：因为，，所以，，从而解得．所以，．设与平面垂直，则，，解得．又因为平面，，所以，得到．所以当为时，二面角的大小为．6.方法一：（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结 因为及H是EF的中点， 所以 又因为平面平面BEF，及平面 所以平面BEF。 如图建立空间直角坐标系 则 故 设为平面的一个法向量 所以 取 又平面BEF的一个法向量 故 所以二面角的余弦值为（Ⅱ）解：设 因为翻折后，C与A重合，所以CM= 故， 得 经检验，此时点N在线段BG上 所以 方法二：（Ⅰ）解：取截段EF的中点H，AF的中点G，连结，NH，GH 因为及H是EF的中点， 所以H//EF。 又因为平面EF平面BEF， 所以H`平面BEF， 又平面BEF， 故， 又因为G，H是AF，EF的中点， 易知GH//AB， 所以GH， 于是面GH 所以为二面角—DF—C的平面角， 在中， 所以 故二面角—DF—C的余弦值为。（Ⅱ）解：设， 因为翻折后，G与重合， 所以， 而 得 经检验，此时点N在线段BC上， 所以7.解：（Ⅰ）证：AB＝AC，D为BC的中点，BC⊥ADPO⊥平面ABCPO⊥BC，而PO∩AD=OBC⊥平面ADPAP⊥BC（Ⅱ）当CM⊥AP时，二面角A-MC-B为直二面角，，，，AM⊥平面MBC平面AMC⊥平面MBC方法二：8.（Ⅰ）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以又因为平面，所以平面．（Ⅱ）方法一：连结交于，以为原点，，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示在菱形中，，得，．又因为平面，所以．在直角中，，，，得，．由此知各点坐标如下，，，，，，，，．设为平面的法向量．由，知取，得设为平面的法向量．由，知取，得于是．所以二面角的平面角的余弦值为．方法二：在菱形中，，得，，有因为平面，所以，，，所以．所以．而，分别是，的中点，所以，且．取线段的中点，连结，，则，，所以为二面角的平面角．由，，故在中，，，得．在直角中，，得，，，在中，，得．在等腰中，，，得．在中，，，，得．所以二面角的平面角的余弦值为．9.方法一：（Ⅰ）取中点，在线段上取点，使得，连结，，因为，所以，且．因为，分别为，的中点，所以是的中位线，所以，且．又点是的中点，所以，且．从而，且．所以四边形为平行四边形，故又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）作于点，作于点，连结因为平面，平面，所以，又，，故平面，又平面，所以．又，，故平面，所以，．所以为二面角的平面角，即．设．在中，，，．在中，．在中，．所以．从而，即．方法二：（Ⅰ）如图，取中点，以为原点，，所在射线为，轴的正半轴，建立空间直角坐标系．由题意知，，．设点的坐标为，因为，所以．因为是的中点，故．又是的中点，故．所以．又平面的一个法向量为，故．又平面，所以平面．（Ⅱ）设为平面的一个法向量．由，知，取，得．又平面的一个法向量为，于是，即．（1）又，所以，故，即．（2）联立（1），（2），解得（舍去）或．H（第16题图）FAH（第16题图）FACDEB又是锐角，所以．10（1）因为，平面，平面，所以平面，………………3分又平面，平面平面，所以．………………6分（2）在平面内作于点，因为平面，平面，所以，又，平面，，所以平面，所以是三棱锥的高．………………9分在直角三角形中，，，所以，因为平面，平面，所以，又由（1）知，，且，所以，所以，……12分所以三棱锥的体积．……14分11.如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系．（第22题图）ABCA1B1C1则，，，（第22题图）ABCA1B1C1，．（1）因为，所以异面直线与夹角的余弦值为．…………4分（2）设平面的法向量为，则即取平面的一个法向量为；所以二面角平面角的余弦值为．…………10分12.（1）证明：因为，是的中点所以，又所以四边形是平行四边形，所以又因为等腰梯形，，xzyACDBxzyACDBN所以，即由已知可知平面平面，因为平面平面所以平面……4分（2）证明：因为，，所以平面平面又因为平面,所以平面………………8分（3）因为平面,同理平面，建立如图如示坐标系设，则,,，，…9分则，设平面的法向量为，有，得设平面的法向量为，有得………………12分所以………………13分由图形可知二面角为钝角所以二面角的余弦值为．…14分13.（I）∵AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．……5分（II）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面