圆的有关计算及证明（33题）

专题06圆的有关计算及证明一．选择题（共8小题）1．（2020•锡山区校级一模）如图，为的直径，点在上．若，则的度数是A． B． C． D．【分析】欲求，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．【解答】解：，，．故选：．2．（2020•锡山区校级一模）如图，正六边形内接于，若直线与相切于点，则A． B． C． D．【分析】连接，，，由多边形是正六边形可求出的度数，再根据圆周角定理即可求出的度数，利用弦切角定理．【解答】解：连接，，，多边形是正多边形，为外接圆的直径，，．直线与相切于点，，故选：．3．（2020•江都区校级一模）如图，在中，，则的度数是A． B． C． D．【分析】根据圆周角定理得出，根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可．【解答】解：对的圆周角是，对的圆心角是，又，，、、、四点共圆，，，故选：．4．（2020•启东市一模）用一个圆心角为，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为A．1 B．2 C．3 D．6【分析】易得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长，圆锥的底面半径为．故选：．5．（2020•崇川区校级模拟）如图，在中，点、、在上，且，则A． B． C． D．【分析】在优弧上任取一点，连接，，先由圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理求出的度数即可．【解答】解：优弧上任取一点，连接，，．四边形内接与，，，．故选：．6．（2020•无锡一模）如图，是的直径，、分别切于点、，若，则的度数是A． B． C． D．【分析】连接，由弦切角定理得，再由切线的性质求得，最后由切线长定理求得的度数．【解答】解：连接，、分别切于点、，，，，是的直径，，，．故选：．7．（2020•亭湖区校级一模）如图，若锐角内接于，点在外（与点在同侧），则下列三个结论：①；②；③中，正确的结论为A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【分析】连接，根据圆周角定理，可得，因为，所以，所以，根据锐角三角形函数的增减性，即可判断．【解答】解：如图，连接，根据圆周角定理，可得，，，，根据锐角三角形函数的增减性，可得，，故①正确；，故②错误；，故③正确；故选：．8．（2020•南通一模）若用半径为6，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据弧长公式求出扇形弧长，根据圆的周长公式计算，得到答案．【解答】解：扇形的弧长，圆锥的底面圆的周长，圆锥的底面圆半径，故选：．二．填空题（共16小题）9．（2020•崇川区校级一模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺的0刻度固定在半圆的圆心处，刻度尺可以绕点旋转．从图中所示的图尺可读出的值是．【分析】如图，连接．只要证明，可得．【解答】解：如图，把刻度尺与圆的另一个交点记作，连接．是直径，，，，，由刻度尺可知，，，故答案为：．10．（2020•崇川区校级一模）如图，正方形的边长为2，点是边上一点，以为直径在正方形内作半圆，将沿翻折，点刚好落在半圆的点处，则的长为．【分析】连接，，然后，可以判定，从而可以得到的度数，再根据折叠的性质可知，从而可以得到点、、三点共线，然后根据勾股定理，即可求得的长，本题得以解决．【解答】解：连接，，四边形是正方形，将沿翻折得到，，，，在和中，，，又，，点、、三点共线，设，则，，，，，解得，，即的长为，故答案为：．11．（2020•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知，是以为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连结，设的中点为，则线段的最小值为2．【分析】先确定最小值时点的位置：过作交轴于，由图可知：当经过时，线段的长最小，此时有最小值，根据勾股定理和三角形中位线定理可得的长．【解答】解：过作交轴于，是的中点，，，当取最小值时，最小，由图可知：当经过时，线段的长最小，此时有最小值，，，，，，，即线段的最小值为2；故答案为：2．12．（2020•江都区校级一模）如图，将矩形绕点沿顺时针方向旋转到矩形的位置，，，则阴影部分的面积为．【分析】先求出，求出，求出，，分别求出扇形和三角形的面积，即可求出答案．【解答】解：四边形是矩形，，，，，，，，由勾股定理得：，阴影部分的面积是，故答案为：．13．（2020•江都区校级一模）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点与点，点的坐标为，，是圆上一点，．圆心的坐标是，．【分析】连接，，由圆周角定理可知为的直径，再根据可求出以及的度数，在中，解直角三角形即可解决问题；【解答】解：连接，，，为的直径，，，，过作于，则，，，，在中．，，，故答案为：，．14．（2020•宜兴校级一模）用一个圆心角为，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是2．【分析】易得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长，圆锥的底面半径为．故答案为：2．15．（2020•宜兴校级一模）如图，四边形内接于，，，，则46．【分析】根据平行线的性质求出，根据圆内接四边形的性质求出，计算即可．【解答】解：，，四边形内接于，，，故答案为：46．16．（2020•宜兴校级一模）如图，中，，，，为边的中点，以上一点为圆心的和、均相切，则的半径为．【分析】过点作于点，于点．根据切线的性质，知、是的半径；然后由三角形的面积间的关系列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．【解答】解：过点作于点，于点．、是的切线，点、是切点，、是的半径；；在中，，，，由勾股定理，得；又是边的中点，，又，，即，解得，的半径是．故答案为：．17．（2020•启东市一模）如图，是的弦，半径，，则的度数为．【分析】连接，利用全等三角形的性质证明是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图，连接，设交于．，，，，，，，，，，，是等边三角形，，故答案为．18．（2020•崇川区校级一模）将圆心角为，面积为的扇形围成一个圆维的侧面，则此圆锥母线长为4．【分析】先利用扇形的面积公式计算出扇形的半径为，扇形的半径就是圆锥的母线．【解答】解：设扇形的半径为，则，解得，即圆锥的母线长为．故答案为：4．19．（2020•崇川区校级一模）数学课上，老师提出如下问题：是的内接三角形，于点．请借助直尺，画出中的平分线．晓龙同学的画图步骤如下：（1）延长交于点；（2）连接交于点．所以线段为所求中的平分线．请回答：晓龙同学画图的依据是垂径定理和在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．【分析】根据垂径定理和圆周角定理的知识画出图形即可．【解答】解：如图所示：线段为所求中的平分线，画图的依据是垂径定理和在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；故答案为：垂径定理和在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．20．（2020•无锡一模）圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为240度．【分析】根据弧长圆锥底面周长，圆心角弧长母线长计算．【解答】解：由题意知：弧长圆锥底面周长，扇形的圆心角弧长母线长．故答案为：240．21．（2020•无锡一模）如图，在矩形中，，以点为圆心，为半径的圆弧交于点，交的延长线于点，设，图中阴影部分的面积为．【分析】根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后求出，再根据阴影部分的面积列式计算即可得解．【解答】解：，（扇形的半径），，，，，阴影部分的面积，，．故答案为：．22．（2020•灌南县一模）如图，是的直径，是的弦，，则30．【分析】如图，连接．求出即可解决问题．【解答】解：如图，连接．是的直径，，，，故答案为30．23．（2020•亭湖区校级一模）已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面半径为1．【分析】正确理解圆锥侧面与其展开得到的扇形的关系：圆锥的底面周长等于扇形的弧长．【解答】解：根据扇形的弧长公式，设底面圆的半径是，则．故答案为：1．24．（2020•南通一模）如图，在中，半径垂直于弦，垂足为，若，，则24．【分析】直接垂径定理得出，结合勾股定理得出的长进而得出答案．【解答】解：，，，，连接，在中，故．故答案为：24．三．解答题（共9小题）25．（2020•锡山区校级一模）已知：如图，在中，，是角平分线，平分交于点，经过，两点的交于点，交于点，恰为的直径．（1）求证：与相切；（2）当，时，求的半径．【分析】（1）连接，证明，再结合等腰三角形的性质说明，进而证明；（2）结合已知求出，再证明，利用相似三角形的性质计算．【解答】（1）证明：连接，则平分在中，，是角平分线点在圆上，与相切；（2）解：在中，，是角平分线，，，在中，设的半径为，则解得的半径为．26．（2020•江都区校级一模）如图，已知等腰三角形的底角为，以为直径的与底边交于点，过作，垂足为．（1）证明：为的切线；（2）连接，若，求的面积．【分析】（1）首先连接，，由以为直径的，可得，又由等腰三角形的底角为，可得，即可证得，继而可证得结论；（2）首先根据三角函数的性质，求得，，的长，然后求得，，以及的面积，继而求得答案．【解答】（1）证明：连接，，为直径，，即，是等腰三角形，，，是的中位线，，，，点在上，为的切线；（2）解：，，，，，，，，，，，，，．27．（2020•宜兴市校级一模）如图，中，经过、两点，且交于点，连接，．（1）证明与相切；（2）若的半径为6，，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接并延长交于点，连接．由圆周角定理得出，再求出，根据切线的判定定理即可得出是的切线；（2）分别求出等边三角形的面积和扇形的面积，即可求出答案．【解答】证明：（1）连接并延长交于点，连接．是的直径，，，，，，即，又点在上，是的切线；（2）连接，，，是边长为6的等边三角形，，，．28．（2020•广陵区校级一模）如图，中，，以为直径的交于点，是的中点，连接、．（1）判断与的位置关系并说明理由．（2）若半径，，求的长．【分析】（1）连接、，利用中位线定理可求出且，进而可得出，由圆周角定理可得出，进而可得出，结合、即可证出，根据全等三角形的性质可得出，即与相切；（2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：（1）连接、，如图所示．点为的中点，点为的中点，，且，．又，．在和中，，，，与相切；（2）为的直径，，，，，，，，，，，，，．29．（2020•崇川区校级一模）如图，是的直径，为上一点，过上一点作的切线，且于点．（1）若，求的度数；（2）若半径为5，，求的长．【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，结合已知条件即可求出的度数；（2）过点作于点，则为的中点，由，，可得四边形是矩形，得，再根据勾股定理即可求出的长．【解答】解：（1）如图，连接，为的切线，，，，，，，，，，；（2）过点作于点，则为的中点，，，四边形是矩形，，，在中，，．30．（2020•无锡一模）如图，的顶点，在上，与相交于点，连接，，．（1）求圆心到弦的距离；（2）若，求证：是的切线．【分析】（1）连接，，过作于，得到是等边三角形，求得，解直角三角形即可得到结论；（2）由（1）得，是等边三角形，求得，根据相似三角形的性质得到，求得，于是得到是的切线．【解答】解：（1）连接，，过作于，，，，，是等边三角形，，，，，，，圆心到弦的距离为：；（2）①由（1）得，是等边三角形，，，，，，，，，是的切线．31．（2020•亭湖区校级一模）如图，直线交于、两点，是的直径，平分交于点，连接，过点作交于点．（1）求证：直线是的切线；（2）若，的半径为5，求四边形的面积．【分析】（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而得出，即可得出答案；（2）首先得出四边形是矩形，进而利用勾股定理得出的长，进而得出答案．【解答】（1）证明：连接，，．平分，．．是的直径，，又，，，即，，又是半径，与相切．（2）解：延长，与交于点，由（1）可知，四边形是矩形．，．又四边形是矩形，，．．在中，，．．．32．（2020•高邮市一模）如图，是的直径，与相切于点，与的延长线交于点，于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径；（3）在（2）的条件下，求线段、及劣弧围成的阴影部分面积．【分析】（1）根据切线的性质得出，即可得出，由，推出，根据等腰三角形的性质得出，即可证得；（2）由，推出，所以，，得到，易知为等边三角形，所以，得出结论；（3）三角形的面积减去扇形的面积即为线段、及劣弧围成的阴影部分面积．【解答】解：（1）证明：连接，与相切，，，，，，，；（2），，，，，，，为等边三角形，，