理论力学03刚体力学课件

刚体的概念及特点刚体（rigidbody）：假如质点组中任何两质点间的距离都不会因力的作用而改变，我们就称该质点组为刚体。属理想模型。现实中没有真正的刚体，但当物体的大小和形状变化可以忽略不计时，通常便把它看作刚体。作用在刚体上的力可以刚性传递，为滑移矢量。刚体特点：各质点间无相对位移，因此也无相对速度，无内力作功。刚体的概念及特点刚体（rigidbody）：假如质点组中任刚体运动的分类和描述平动：刚体中的任意两点的连线始终保持方向不变的运动。特点：刚体上所有质点都具有相同的速度和加速度；等同于质点运动；刚体平动的描述需三个独立变量。定轴转动：刚体中两点始终保持不动，两点连线外的其它部分绕这两点确定的轴线作圆周运动。刚体定轴转动的描述需一个独立变量。平面平行运动（平面运动）：刚体中所有点始终保持平行于某一固定面的运动。相当于“平面平动＋定轴转动”。刚体平面运动的描述需三个独立变量。定点转动：刚体中只有一点固定不动，其它部分绕该点的瞬时轴转动。刚体定点转动的描述需三个独立变量（欧拉角）。一般运动：自由刚体的运动。可以分解为平动和定点转动。刚体定点转动的描述需六个独立变量。刚体运动的分类和描述平动：刚体中的任意两点的连线始终保持方向有限转动与无限小转动1有限转动不满足矢量对易律，不是矢量。图象参见教材P159。无限小转动是否满足对易律，是否是矢量？角坐标：角位移：大小：方向：右手螺旋法则。有限转动与无限小转动1有限转动不满足矢量对易律，不是矢量。图有限转动与无限小转动2无限小转动是否满足对易律，是否是矢量？？对线位移比较了解，故先寻求角位移与线位移间的关系：有限转动与无限小转动2无限小转动是否满足对易律，是否是矢量？有限转动与无限小转动3线位移：线位移：有限转动与无限小转动3线位移：线位移：有限转动与无限小转动4线位移满足：！有限转动与无限小转动4线位移满足：！角速度角速度（Angularvelocity）：大小：方向：沿t时刻的转轴，即转动瞬轴线速度：又：角速度与线速度关系单位：角速度角速度（Angularvelocity）：大小：方向补充_欧勒公式&泊松公式&矢量运算一个转动的定长矢量对于时间的变化率，等于该矢量转动的角速度矢乘该矢量本身。判断对错泊松公式欧勒公式补充_欧勒公式&泊松公式&矢量运算一个转动的定长矢量对于时间角加速度角加速度（Angularacceleraton）：方向：转动瞬轴的改变方向单位：线加速度：又：向轴加速度转动加速度角加速度角加速度（Angularacceleraton）：角量与线量的关系对于图示运动有：角量与线量的关系对于图示运动有：力的可传性力的可传性原理：刚体上的力所产生的力学效果，决定于力的大小、方向和作用线的地位，与力的作用点在作用线上的地位无关。刚体上的力可沿作用线滑移，故称滑移矢量，但不能随意改变作用线位置，否则力的作用效果将改变！力的可传性力的可传性原理：刚体上的力所产生的力学效果，决定于力系的简化1对于共点力：利用平行四边形法则进行矢量合成；对于不共点但作用线相交的力，可以都滑移到交点处，再利用共点力合成。？力系的简化1对于共点力：利用平行四边形法则进行矢量合成；？力偶（couple）力偶：作用在同一物体上，大小相等、方向相反、又不在同一直线的两个力称力偶。力偶的合力为0：力偶面：力偶所在的平面。力偶对于力偶面内任意一点P的力矩:两力间的垂直距离：力偶臂力偶（couple）力偶：作用在同一物体上，大小相等、方向相力偶矩力偶矩：是力与力偶臂的乘积。力偶矩是力偶唯一的力学效果。垂直于力偶面，遵从右手螺旋法则。为自由矢量，可以作用在力偶面内的任意一点。多个共面力偶可以进行力偶矩合成，不受作用点限制！（与力有别）？力偶矩力偶矩：是力与力偶臂的乘积。力偶矩是力偶唯一的力学效果力系的简化2作用在刚体上的每个力，都可化为经过任意一点P的一个力和一个力偶。因此不论多复杂的力系都可以求得一个合力和一个合力偶。P点称为简化中心；合力称为主矢；力偶矩矢量和（合力偶）称为主矩。力系的简化2作用在刚体上的每个力，都可化为经过任意一点P的一力系的简化3力系的简化中心可以任意选取，选取原则是简化问题的研究。通常以质心为刚体力系的简化中心。主矢将使刚体质心的平动状态发生变化；主矩将使刚体绕通过质心的轴线的转动状态发生变化。在对刚体力系做了简化后，就可以讨论描述刚体运动的微分方程了。对于不同的简化中心，主矢和主矩是否相同？如果不同，会不会影响刚体的运动？思考力系的简化3力系的简化中心可以任意选取，选取原则是简化问题的刚体运动微分方程1刚体质心C的运动微分方程：刚体质量质心加速度主矢刚体在质心动系中的动量矩定理：对质心的主矩质心系中对质心的总动量矩六个独立变量六个运动微分方程刚体运动可唯一描述！刚体运动微分方程1刚体质心C的运动微分方程：刚体质量质心加速刚体运动微分方程2（1）它的质心好象一个具有质量m的质点，而所有外力作用在此质点上，且此时动量对时间的微商等于所有外力的矢量和。（2）刚体在相对于随质心平动的动坐标系的运动中，对质心C的动量矩对时间的微商，等于所有外力对C的力矩的矢量和。（当转动对于固定系的某定点而言时，也有类似结果）。有时也可用动能定理来代替以上得到的某个运动微分方程。绝对元位移由前面结果可知，对于自由刚体，假如在多个外力作用下在空间运动，则有：刚体运动微分方程2（1）它的质心好象一个具有质量m的质点，而刚体平衡方程只有当刚体受力的矢量和为零，并且受力对于任意一点力矩的矢量和也为零时，刚体才会处于平衡状态。刚体平衡方程：共面（xy）力系：共点（O）力系：共面（xy）共点（O）力系：共线（x）力系：刚体平衡方程只有当刚体受力的矢量和为零，并且受力对于任意一点刚体平衡方程_例题例（教材P172）：一根均匀的棍子，重为P，长为2l。将其一端置于粗糙地面，而C点靠在离地面h高的墙上。当棍子与地面的角度为最小值时，棍子在上述位置仍处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系数。解：根据题意画出受力图，在如图所示的坐标系中，有平衡方程：即：刚体平衡方程_例题例（教材P172）：一根均匀的棍子，重为P刚体平衡方程_例题求解上面的方程组：刚体平衡方程_例题求解上面的方程组：刚体的动量矩1刚体的动量矩：刚体的动量矩1刚体的动量矩：刚体的动量矩2刚体的动量矩2刚体的动量矩和转动惯量令：以上为轴转动惯量以上为惯量积刚体的动量矩和转动惯量令：以上为轴转动惯量以上为惯量积刚体的动量矩和惯量张量刚体动量矩在各坐标轴上的投影：该矩阵称刚体对O点的惯量张量，矩阵中的各元素（轴转动惯量和惯量积）称惯量张量的组元，也叫惯量系数。刚体的动量矩和惯量张量刚体动量矩在各坐标轴上的投影：该矩阵称刚体的转动动能1刚体对定点O的转动动能：刚体的转动动能1刚体对定点O的转动动能：刚体的转动动能2刚体对定点O的转动动能也可写为：转动惯量是物体转动时惯性的量度。其大小取决于刚体质量分布、形状和转轴的位置。注意刚体绕转动瞬轴的转动惯量刚体的转动动能2刚体对定点O的转动动能也可写为：转动惯量是物转动惯量1只要计算出刚体的三个轴转动惯量和三个惯量积，再代入转轴的方向余弦，就可求得刚体相对于该转轴的转动惯量I了。转动惯量1只要计算出刚体的三个轴转动惯量和三个惯量积，再代入转动惯量2具有质量分布的刚体的转动惯量，可等效于集所有质量于一身的一个质点的转动惯量，该等效质点离轴线的垂直距离为k，称为刚体对该轴线的回转半径。平行轴定理：刚体对于某轴线的转动惯量，等于它对通过质心并与该轴平行的轴线的转动惯量，外加刚体质量与两轴间垂直距离的平方的乘积。即：练习1：自行证明该定理！正交轴定理：当刚体的质量为面分布时，刚体对该平面内任意两个正交轴线的转动惯量之和，等于它对过交点的另一正交轴的转动惯量。如果质量分布在xoy平面内则有：练习2：自行证明该定理！转动惯量2具有质量分布的刚体的转动惯量，可等效于集所有质量于转动惯量3求质量按规律分布，且形状规则的刚体的转动惯量，求和变积分：转动惯量矩阵表达：转动惯量3求质量按规律分布，且形状规则的刚体的转动惯量，求和惯量椭球1通过刚体上的某定点O的轴线可以有无数条，刚体对于各条都有一个转动惯量，现考虑将各轴的转动惯量I大小反应为几何量。做法：在转轴上截取一点Q，使它到O点的线段长度满足：Q点的坐标为：将其代入转动惯量方程：此为一椭球方程，由反映各轴惯量大小的线段端点构成的，称为O点的惯量椭球。惯量椭球1通过刚体上的某定点O的轴线可以有无数条，刚体对于各惯量椭球2刚体上的每个点都对应一个惯量椭球。质心所对应的惯量椭球称为中心惯量椭球。已知惯量椭球，可以由某轴上矢径的长度求出刚体绕该轴转动时的转动惯量；反之，已知刚体对三坐标轴的转动惯量和它们的惯量积，便可以写出坐标原点的惯量椭球方程。选择合适的坐标轴可以消去惯量积。每个惯量椭球都有三条相互垂直的主轴，称为惯量主轴。设其长度分别为a，b，c。若把它们分别取为x，y，z轴，则该惯量椭球的方程可表示为：惯量椭球2刚体上的每个点都对应一个惯量椭球。每个惯量椭球都有惯量椭球3由定义知：可见在这种坐标选择下，惯量积项已经被消去了。仅剩三个主转动惯量项，无需双下标，故通常记为：刚体动量矩：刚体转动动能：惯量椭球3由定义知：可见在这种坐标选择下，惯量积项已经被消去惯量主轴求法如果刚体具有对称面，那么对称面中任意一点的垂线必为过该点的一条惯量主轴。如果刚体具有对称轴，那么对称轴必为轴上任意一点的惯量主轴。对于一个质量对称分布或者具有几何对称性的质量均匀的刚体，在求惯量主轴时，有下列简便的几何法则：惯量主轴求法如果刚体具有对称面，那么对称面中任意一点的垂线必例题_转动惯量的求法直接根据定义用积分来求先计算惯量张量中的各组元，和转轴的方向余弦，再代入公式求绕轴的转动惯量I。先找出惯量转轴，取惯量主轴为坐标轴，再作计算。例题（参见教材P182）附加问题：写出该长方形薄片定点及质心处的惯量椭球方程。该问题是“薄片”问题，不必考虑厚度。例题_转动惯量的求法直接根据定义用积分来求例题（参见教材P1刚体的平动刚体平动时可用质心的运动来代表。由于刚体平动时，刚体其它部分与质心作类似运动，无相对于质心的转动。所以存在刚体相对于质心的力矩平衡：但实际中，作平动的刚体通常受到约束，即上式的F表达式中包含未知的约束力，所以还需要附加方程。质心的运动微分方程：1、平动刚体的运动规律2、约束反作用力骑自行车时，为何不能急刹前闸？思考刚体的平动刚体平动时可用质心的运动来代表。由于刚体平动时，刚刚体定轴转动1对于定轴转动的刚体，通常选该定轴为z轴。刚体上的各点轨道都是一个平行于xoy平面，且以z轴上的垂足为圆心的圆圈。刚体上的各点间不同的量：刚体上的各点间相同的量：相互关系1：刚体定轴转动1对于定轴转动的刚体，通常选该定轴为z轴。刚体上刚体定轴转动2相互关系2：刚体定轴转动2相互关系2：刚体定轴转动3动量矩定理定轴转动刚体的动量矩定理刚体定轴转动的动力学方程求解动力学方程便得描述刚体转动的运动方程：定轴转动刚体的动能：若所受外力皆为保守力，则：刚体定轴转动3动量矩定理定轴转动刚体的动量矩定理刚体定轴转动例题_复摆1例（教材P188）：设质量为m的复摆绕通过某点O的水平轴作微小振动，试求其运动方程及振动周期，并加以讨论。单摆：数学摆复摆：物理摆刚体复摆悬于O点，其质心C距悬点O为l，它绕通过悬点且垂直于纸面的轴摆动。图示为刚体包含质心的一个剖面。假设刚体绕该定轴的转动惯量为I0，回旋半径为k0，即：定轴转动的动力学方程：例题_复摆1例（教材P188）：设质量为m的复摆绕通过某点O例题_复摆2通解例题_复摆2通解例题_复摆3复摆周期：单摆周期：单摆摆长此为该刚体的等值单摆摆长即：相当于集所有质量于O’点的一个单摆。复摆的振动中心例题_复摆3复摆周期：单摆周期：单摆摆长此为该刚体的等值单摆例题_复摆4以O为悬点的周期：以O’为悬点的周期：悬点和振动中心可以互换。应用：实验测定重力加速度g。优于单摆方法。例题_复摆4以O为悬点的周期：以O’为悬点的周期：悬点和振动思考棒球手或垒球手怎样打球可以避免手受到很强的冲击，减小疼痛？思考利用复摆测定重力加速度比单摆精确的原因？思考棒球手或垒球手怎样打球可以避免手受到很强的冲击，减小疼痛补充例题_教材P228设均质棒的线密度为，可证明长为x的棒对于过其端点的垂直轴的转动惯量为：。所以：该摆对于过O点的转动轴的转动惯量为：要想得角度的关系（运动方程），需解定轴转动的动力学方程，而这首先要得到相对于定轴的转动惯量和力矩的表达式。选夹角增大的方向(向内)为正方向，则摆对于过O点的转动轴的力矩为：补充例题_教材P228设均质棒的线密度为，可证明长补充例题_教材P228定轴转动的动力学方程：即：两边都乘以后根据初始条件积分：补充例题_教材P228定轴转动的动力学方程：即：两边都乘以补充例题_教材P228此即夹角最大值所满足的关系，然而我们从中仍然没有一个直观和明了的感觉。不过我们对于这样一个摆在平衡状态下的夹角是很容易测得的，设为，下面我们来看一下两者是否有一定的关系。平衡时力矩和为零：补充例题_教材P228此即夹角最大值所满足的关系，然而我们从补充例题_教材P228即：短棒与垂线间的最大夹角为平衡时夹角的两倍。补充例题_教材P228即：短棒与垂线间的最大夹角为平衡时夹角定轴转动时轴上的附加压力1定轴转动为非自由运动。轴对刚体具有约束作用。如何求出约束反力呢？定轴转动刚体A、B两点不动轴的约束A、B两点的约束反力动量定理（3）动量矩定理（3）刚体运动规律（1）A、B处的约束反力（5）定轴转动时轴上的附加压力1定轴转动为非自由运动。轴对刚体具有定轴转动时轴上的附加压力2动量定理：定轴转动时轴上的附加压力2动量定理：定轴转动时轴上的附加压力3定轴转动时轴上的附加压力3定轴转动时轴上的附加压力4刚体对A点的动量矩定理：定轴转动时轴上的附加压力4刚体对A点的动量矩定理：定轴转动时轴上的附加压力5此为刚体绕固定轴转动的动力学方程对A点的动量矩定理动量定理定轴转动时轴上的附加压力5此为刚体绕固定轴转动的动力学方程对定轴转动时轴上的附加压力6附加压力为零的定轴转动刚体，我们称其达到了动平衡状态。此时的转轴称为自由转轴。刚体处于平衡状态，A、B两点的力称静力反作用力。刚体处于非平衡状态，A、B两点的力称动力反作用力。静力反作用力动力反作用力附加压力定轴转动时轴上的附加压力6附加压力为零的定轴转动刚体，我们称定轴转动时轴上的附加压力7动平衡的充要条件：即刚体的质心位于转动轴上，且转动轴是一惯量主轴。定轴转动时轴上的附加压力7动平衡的充要条件：即刚体的质心位于例题_附加压力例：(教材P192)，参看书本。高速运转物体的附加压力远大于静力反作用力，且为周期性冲击，会对轴承造成严重损伤。因此，保证高速运转物体的动平衡是机器安装的一个重要方面。注意例题_附加压力例：(教材P192)，参看书本。高速运转物体的刚体平面平行运动对于作平面平行运动的刚体，空间运动问题可以简化为一平面运动问题。只需研究刚体内任意一个与固定平面平行的截面即可。纯平动平面平行运动纯转动薄片上所有点的速度、加速度都与基点相同。任意一点的速度、加速度可由定轴转动规律得到。AB刚体平面平行运动对于作平面平行运动的刚体，空间运动问题可以简刚体平面平行运动_速度、加速度设基点A的速度为，而它的位矢为，则薄片中位矢为的任意一点的速度为：加速度为：方向？！刚体平面平行运动_速度、加速度设基点A的速度为，而刚体平面平行运动_转动瞬心1转动瞬心：当作平面运动的刚体（薄片）的角速度不为零时，在任一时刻，薄片所在的平面上总会有一个速度为零的点，该点称为转动瞬心，记为C。令速度为零可得转动瞬心相对于固定系的坐标：转动瞬心相对于A点动系的坐标：构成空间极迹（固定平面）构成本体极迹（薄片动系）刚体平面平行运动_转动瞬心1转动瞬心：当作平面运动的刚体（刚体的平面平行运动_转动瞬心2若选转动瞬心C为基点，薄片的运动会是什么情况？薄片的平面平动绕基点（转动瞬心）的转动如何寻找和确定转动瞬心？对于纯转动而言，速度垂直于位矢，所以只要知道薄片上任两点的速度，就可以找出转动瞬心。本体极迹和空间极迹在某时刻的公切点即此时的转动瞬心。薄片的平面平动本体极迹在空间极迹上无滑滚动转动瞬心的速度为零，但加速度不为零!转动瞬心不一定在薄片上，在其所在的平面！注意从基点速度矢量开始，顺转一直角的方向上，取线段刚体的平面平行运动_转动瞬心2若选转动瞬心C为基点，薄片的例题_寻找转动瞬心例题_寻找转动瞬心刚体平面平行运动_动力学基点运动学动力学任选:基点平动＋绕基点转动质心平面平行运动质心平动绕质心的转动相对于质心的动量矩定理质心运动定理外力包含约束反力，所以需外加约束方程。刚体平面平行运动_动力学基点运动学动力学任选:基点平动＋绕刚体平面平行运动_机械能守恒平面平行运动动能：柯尼希定理质心动能相对于质心运动的动能假如只有保守力作功，则机械能守恒：它可以代替前面动力学方程中的某一个。刚体平面平行运动_机械能守恒平面平行运动动能：柯尼希定理质心例题（P201）_平面平行运动1解：根据题意画图、建系、并给出受力分析。纯滚动，有：约束方程圆柱体动力学方程：其中k为圆柱体对过质心垂直轴线的回转半径。例题（P201）_平面平行运动1解：根据题意画图、建系、并给例题（P201）_平面平行运动2纯滚动：讨论连滚带滑：例题（P201）_平面平行运动2纯滚动：讨论连滚带滑：滚动摩擦在前面例题中，若倾角为0，即在粗糙水平面滚动，则：圆柱体保持以初速的惯性运动。非绝对刚性接触形变反作用力N不经过质心滚动摩擦力矩阻碍运动，最终静止滚动摩擦系数滚动摩擦在前面例题中，若倾角为0，即在粗糙水平面滚动，则：圆刚体绕固定点的转动定点转动：刚体中只有一点固定不动，其它部分绕该点的瞬时轴转动。刚体定点转动的描述需三个独立变量（欧拉角）。定点转动章动、进动、自转的合成一系列连续地绕转动瞬轴的转动转动瞬轴：瞬时角速度所在的轴。瞬时速度为0的点组成的轴。转动瞬轴在空间中所描绘的锥面，称空间极面；转动瞬轴在刚体上所描绘的锥面，称本体极面；本体极面在在空间极面上的无滑滚动刚体绕固定点的转动定点转动：刚体中只有一点固定不动，其它部分欧勒（欧拉）角1欧勒角（Eulerangles）：三个独立变化的角度，在刚体定点转动时，以该定点作为坐标系原点，可以用这三个角来确定转动轴的空间取向和刚体绕该轴转过的角度。章动角ON称为节线进动角自转角欧勒（欧拉）角1欧勒角（Eulerangles）：三个独立欧勒（欧拉）角2章动角进动角自转角描述刚体可能运动状态的欧勒角范围：欧勒（欧拉）角2章动角进动角自转角描述刚体可能运动状态的欧勒欧勒运动学方程1固定坐