复单问题类型及解法探讨

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考“复单”问题类型及解法探讨河南省永城市高级中学 夏永恒函数的单调性是高考考查的重点内容之一，其中复合函数单调性的判定是多数学生感到棘手的问题 ，也是教师在教学中的难点问题,即使在学习了复合函数求导法则以后 ，由于有些复合函数的导数比较复杂，求起来比较困难，所以用导数解决也不是很方便•本文针对高一、高二的学生，从复合函数单调性的类型及常规判定方法上作一次探讨 ，与广大师生共勉•复合函数的概念如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，x^(a，b)，uw(m，n)，那么y关于x的函数y=f［g(x)］，x三(a，b)叫做f与g的复合函数，u叫中间变量，f(u)的定义域是g(x)的值域•复合函数的单调性判定法则设y=f(u)，u=g(x)，x•(a，b)，u•(m，n)，当f(u)与g(x)增减性相同时，则y=f［g(x)］为增函数；当f(u)与g(x)一增一减时，则y=f［g(x)］为减函数，总之"同则增，异则减”为了下面叙述的方便，不妨把f(u)称为外函数，g(x)称为内函数•三•复合函数单调性的常见类型及判定方法内外函数均为单调函数型这种类型是最简单的一种类型，判定起来也比较容易•例1.判定函数y=(1)log2x的单调区间•因为函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论 ，所以，对于判定单调性的所有问题均应先确定函数的定义域很显然，此函数的定义域为(0,•：：)外函数f(u)=Q)u是单调减函数，内函数g(x)=log2x是单调增函数，外减内增，由法则知：y=(占)"2%在(0,：；.匚彳)是减函数.外单内不单型这种类型也不很复杂.例2.判定y=log1,3—2x—x2的单调区间.2首先确定函数的定义域为 ：(-3,1),易知外函数f(u)=log1u是单调递减的，而内函数u(x)=.3_2x_x2在2(-3,1)上是不单调的，所以需要把u(x)的单调区间先确定后才能利用法则来判断 y=log厂、3-2x-X2的单调性.易得：u(x)在(-3,-1］上单调递增，在(-1,1)上单调递减，所以由法则知：y=log」•.3-2X-X2在(-3,-1］上是减2函数,在(-1,1)上是增函数.内单外不单型.此类型较为复杂.例3.判定函数y=(t)x-(“T,x•［-3,2］的单调性.'fJ -此函数定义域已经给出x€［_J3,2］,设u(x)=G)x,显然在X乏［―3,2］上u(x)=G)x是单调递减的，但是当x€［_3,2］时，u(x)€［：,8］,外函数f(u)=u2_u+1在［：,8］上却是不单调的•这样一来，必须把定义域［_3,2］再细分，使f(u)在对应区间上也单调，才能利用法则，那么从什么地方分段呢？这是解决此类问题的关键！1 1因为对f(u),u.［、8］时，需把U从丄处分开才单调，而u(x)二G)x,所以令G)x=丄，得x=1,从而得出分段点1,2 2即区间［-3,2］还需从1处分开，分成［_3,1］,(1,2］两个区间来讨论•这样，当x三［_3,1］时，u三［弓,8］,外函数单调递增，内函数单调递减，所以［_3,1］是y二G)x—G)x-1的单调递减区间；当x・(1,2］时,^［4,4］，外函数单减,内函数也单减：所以(1,2］是y=G)x_G)x1的单调递增区间•内外函数均不单调型•这是最复杂的一种类型•例4.判定函数y=x4-2x2 3的单调区间•显然函数定义域为R,外函数为f(u)=u2_2u-3,内函数为u(x)=x2,可见内外函数在R上均不单调，于是必须寻找分段点•容易发现，内函数u(x)=x2需从0处分段，而外函数的自变量u需从1处分段，那么因为u(x)=x2，所以，令x2=1,可得X二1,于是又得出两全分段点：-1和1,这样整体上R需分成(_：:,_1］,(_1,0］,(0,1］,(1,匚)四个区间来讨论,于是得到：当x・(-二，—1］时，u・［1,=),外函数单调递增,内函数单调递减,所以(-：：，-1］是f(x)的单调减区间,依次可得(-1,0］,(1,；)分别是f(x)的递增区间，(0,1］是f(x)的递减区间•以上问题当学生系统学习了复合函数求导法则后 ，亦可利用导数求解，这里不再赘述•1练习：1・已知y=f(X)是定义在(一,2)上的增函数，则函数y=f(x2-1)的单调递减区间是 •22.讨论函数y=x4-(2-X)x2-(2一入)的单调性•答案：1・(-'•3,-一^； 2.当入乞2时，函数y=X4-(2-入)x?-(2-入)在(-：：,0］上单调递减，在(0,=)上单24 2 J2