人教A版数学数学课件1-2集合间的基本关系

1.2集合间的基本关系第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(数学抽象)2.掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断集合间的基本关系.(逻辑推理)3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.(数学抽象)4.能使用Venn图表达集合间的关系,体会直观图对理解抽象概念的作用.(直观想象)思维脉络课前篇自主预习[激趣诱思]银河系是地球和太阳所属的星系.因其主体部分投影在天空上的亮带被我国称为银河而得名.问题:如果我们把银河系包含的所有行星和恒星构成的集合叫集合A,把太阳系包含的所有行星和恒星构成的集合叫集合B.那么集合A与集合B有怎样的关系?[知识点拨]知识点一:子集与真子集1.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.名师点析

对Venn图的理解(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.2.子集与真子集

概念定

义符号表示图形表示性

质子集一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集A⊆B(或B⊇A)

(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A;(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C真子集如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集A⫋B(或B⫌A)

对于集合A,B,C,如果A⫋B,B⫋C,那么A⫋C名师点析

1.对子集的理解(1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B.(2)若A⊆B,则A有以下三种情况:①A是空集;②A是由B的部分元素组成的集合;③A是由B的全部元素组成的集合.故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素组成的集合”.2.对真子集的理解(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集.(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:a.集合A是集合B的子集;b.存在元素x∈B,且x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.(3)任何集合都一定有子集,一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.微思考(1)子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或某些元素”?提示

不能.“A是B的子集”的定义中“集合A中的任意一个元素都是集合B的元素”,即对任意x∈A都能推出x∈B.注意“任意一个元素”而不是某个或某些元素.(2)符号“⊆”与符号“∈”有什么区别?提示

符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系.(3)集合A⫋B与集合A⊆B有什么区别?提示

A⊆B⇒A=B或A⫋B.因此若集合A是集合B的子集包含两个方面:A⫋B或A=B.(4)任何一个集合都有子集吗?任何一个集合都有真子集吗?提示

任何一个集合都有子集,但是并不是任何一个集合都有真子集,空集就没有真子集.微练习(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则(

)A.P∈Q

B.P⊆QC.Q⊆P

D.Q∈P(2)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则(

)A.B⫋A

B.A⫋BC.B<A

D.A<B答案

(1)C

(2)A解析

(1)集合Q中的元素都在集合P中,所以Q⊆P.

(2)由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可.如图所示,由图可知,B⫋A.知识点二:集合相等一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.名师点析

对集合相等的理解

(1)A=B的图形表示如右:(2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.(3)集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A⊆B,且B⊆A,则A=B”.(4)若A=B,则有A⊆B,且B⊆A.微思考本书1.1中,我们是如何定义两个集合相等的?提示

只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.微练习已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为

.

答案

0解析

由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.知识点三:空集一般地,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记为⌀,并规定:空集是任何集合的子集,即⌀⊆A.微拓展有限集合的子集问题若有限非空集合A中含有n个元素,则有:(1)集合A的子集的个数为2n;(2)集合A的真子集的个数为2n-1;(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.例如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}.微思考(1){0},⌀,{⌀}之间有什么区别与联系?提示

{0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,因此⌀⊆{0},而{⌀}是含有一个元素⌀的集合.(2)若A⊆B,能不能看成集合A是集合B中部分元素组成的集合?提示

不能.因为当A=⌀时,A⊆B,但A中不含任何元素;当A=B时,有A⊆B,但A中含有B中所有元素.(3)若一个集合只有一个子集,则这个集合有什么特征?提示

一个集合只有一个子集,则这个集合是空集.知识点四:子集与真子集的性质由子集、真子集和空集的概念可得:(1)空集是任何集合的子集,⌀⊆A;(2)任何一个集合是它自身的子集,即A⊆A;(3)空集只有一个子集,即它自身;(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得A⊆C;(5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得A⫋C.微思考∈与⊆、a与{a}之间有什么区别?提示

(1)∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有

∉Q等;⊆表示集合与集合之间的关系,因此,有Q⊆R,⌀⊆R等.(2)a与{a}的区别:一般地,a表示一个对象,而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集),a是集合{a}的一个元素.因此,有2∈{2},不能写成2={2}.课堂篇探究学习探究一集合的子集、真子集问题例1(1)(2020安徽合肥高一检测)集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数是(

)(2)(2020浙江台州高一检测)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A=

.若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B=

.

(3)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.(1)答案

C解析

(1)由已知得,A={0,1,2},此集合的真子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共7个.(2)答案

{-1,0}

{-1,0}解析

因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={-1,0}.(3)解

因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.反思感悟

1.求集合的子集、真子集的步骤判断—根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况↓分类—根据集合中元素的多少进行分类↓列举—采用列举法逐一写出每种情况的子集2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点(1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身;(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.变式训练1(1)若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为(

)(2)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则满足条件的集合A的个数为(

)A.6 B.5 C.4 D.3(3)设集合A={x∈Z|-1≤x+1≤6},求A的非空真子集的个数.(1)答案

B解析

集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.(2)答案

B解析

由题知,A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,故集合A={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共5个.(3)解

化简集合A,可得A={x∈Z|-2≤x≤5}.∵x∈Z,∴A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,∴A的非空真子集的个数探究二集合之间关系的判断例2判断下列集合间的关系:(1)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}.(2)A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=k+2,k∈Z}.(4)A={y|y=x+1},B={(x,y)|y=x+1}.解

(1)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如下图所示,由图可知A⫋B.(2)当k,n取整数时,A={…,-4,-2,0,2,4,6,…},B={…,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,…},故A⫋B.(4)集合A表示直线y=x+1上点的纵坐标构成的集合,而集合B则表示直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以A≠B.反思感悟

判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系.然后根据以下方法判断:(1)直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B,若是,则A⊆B,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系;(2)而对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍;(3)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系;(4)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.变式训练2指出下列各对集合之间的关系:(1)A={-1,1},B={x∈Z|x2=1};(2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形};(3)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数}.解

(1)用列举法表示集合B={-1,1},故A=B.(2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A⫋B.(3)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A⫋B.探究三集合相等关系的应用例3已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.分析根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.反思感悟

根据集合相等求参数,首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解.延伸探究

若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.解

∵0∈B,A=B,∴0∈A.又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},∴x2=|x|,解得x=±1.当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,∴x=-1,即x=y=-1.探究四由集合间的关系求参数的范围例4已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;(2)若A⊇B,求实数a的取值范围.分析(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论,然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.解

(1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}.如图在数轴上标出集合A,B.由图可知,B⫋A.(2)由已知A⊇B.①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,由图可得

解得-1≤a≤4.又因为a<1,所以实数a的取值范围为{a|-1≤a<1}.反思感悟

由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项(1)求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心圈表示.(2)涉及“A⊆B”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视.延伸探究

(1)例4(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且A⊇B,求实数a的取值范围.(3)若集合A={x|x>2},B={x|x>2a-3},且A⊆B,求a的取值范围;若改为B⊆A呢?(4)若A={x|x>2},B={x|x>2a-3},且A⫋B,求a的取值范围;若改为B⫋A呢?解

(1)不存在.理由如下,因为A={x|-5<x<2},所以若A⊆B,则B一定不是空集.(2)①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a≥或a≤-3.又因为a<1,所以a≤-3.综上,实数a的取值范围为{a|a≤-3,或a≥1}.图1图2图3图4

素养形成分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数(字母),若A⊆B或A=B,则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法.(1)分类讨论是指:①A⊆B在未指明集合A非空时,应分A=⌀和A≠⌀两种情况来讨论.②因为集合中的元素是无序的,由A⊆B或A=B得到两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.(2)数形结合是指对A≠⌀这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心圈,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数范围.特别提醒

此类问题易错点有三个:①忽略A=⌀的情况,没有分类讨论;②在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心圈;③没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指:①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足集合中元素的互异性.②所求参数能否取到端点值需要单独验证.典例

已知集合A={x|1<ax<2},B={x||x|<1},是否存在实数a,使得A⊆B.若存在,求出实数a的取值范围.分析对参数a进行讨论,写出集合A,B,借助于数轴,求出a的取值范围.【规范答题