理论力学之虚位移原理

内容提要17-1.约束的分类约束的定义双面约束与单面约束定常约束与非定常约束完整约束与非完整约束17-2.自由度与广义坐标自由度广义坐标17-3.虚位移与虚功虚位移虚功17-4.理想约束理想约束的定义光滑接触面连接两刚体的光滑铰链连接两质点的无住重刚杆虚位移原理117-1.约束的分类(1)约束的定义当质点或质点系中的某些质点运动时,受到某些事先给定的几何上或运动学上的限制条件,这些限制条件称为质点或质点系的约束.例17-1.圆盘C在粗糙的平面上作纯滚动.约束是指事先给定的限制条件.它与作用力,起始条件以及运动的其他条件无关.Cy=R表示圆盘C受到几何上的限制.vc=R

表示圆盘C受到运动学上的限制.(xc=R)..2受有约束的质点系为非自由质点系.约束加于质点或质点系的限制条件,可以利用几何学和运动学知识,写成具体的数学表达式,这样的数学表达式称为约束方程.例18-2.曲柄连杆机构的约束方程为:

x12+y12=r2(x1-x2)2+y12=l2

y2=0yOA(x1,y1)B(x2,0)rxl

不受任何约束的质点系为自由质点系,它可以在主动力作用下作空间任意运动3右图中摆锤A的约束方程为

x2+y2=l2在约束方程中用严格的等号表示的约束为双面约束.这种约束如能限制物体向某一方向运动,则必能限制向相反方向运动.在约束方程中用不等号表示的约束为单面约束.这种约束只能限制物体某个方向的运动,而不能限制相反方向的运动.左图中摆锤A的约束方程为

l2x2+y2xyOA(x,y)l

OyxA(x,y)l

(2)双面约束与单面约束4如果约束方程中仅包含坐标或坐标与时间的,或包含坐标对时间的导数但能积分成有限形式的(P2:xc=R

),则这种约束称为完整约束.如上面所举各例.完整约束方程的一般形式为ƒ

(x1,y1,z1,…xn,yn,zn,t)=0(

=1,2,…,s)如果在约束方程中不显含时间t,既约束不随时间而改变,这种约束称为定常约束.如上面所举二例.如左图圆周的半径随时间改变,约束方程为x2+y2=(r+at)2如果在约束方程中显含时间t,既约束随时间而改变,这种约束称为非定常约束.如上面举例.(4)完整约束与非完整约束O(3)定常约束与非定常约束R5如果约束方程中不仅含有坐标,还含有坐标对时间的导数,且这种含有坐标导数的方程不能积分成有限形式,则这种约束称为非完整约束.其一般形式为因为完整约束方程中仅含坐标,它表现为对质点系的几何位置起限制作用,所以这种约束又称为几何约束.因为非完整约束方程中包含有速度投影量,它仅表现为对质点速度所加的限制,所以这种约束又称为运动约束.ƒ

(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn;t)=0(

=1,2,…,s)本单元内容只涉及定常的,双面的完整约束.6解:由质点距离不变的条件写出M1

和M2的约束方程(x1-x2)2+(y1-y2)2=l2

由点C的速度vc必须沿杆的方向的条件写出约束方程或oxycM1(x1,y1)M2(x2,y2)vc

图1-6例题17-3.平面上两个质点M1和M2

质量相等.由一长为l不计质量的刚

性杆连接,运动中杆中点C的速度

只可以沿着杆的方向如图所示.写出

质点M1和M2及中点C的约束方程.yc=(y1+y2)/2xc=(x1+x2)/2tg

=(y1-y2)/(y1-y2)(非完整约束}717-2.自由度与广义坐标(1)自由度在完整约束的条件下,用来确定质点系在空间的位置所需独立坐标的个数,称为质点系的自由度.一个由n个质点组成的质点系在平面内的位置,在直角坐标系中需用2n个坐标来确定.如果质点系受有s个完整约束,则质点系的2n个坐标必须满足s个约束方程.因此质点系只有k=2n-s个坐标是独立的.例题17-4.确定右图所示系统的自由度.yOA(x1,y1)B(x2,0)rxl

xo=0yo=0yB=0xA2+yA2=r2(xA-xB)2+yA2=l2

k=2

3-5=18例题17-5.求右图所示双摆的自由度.系统由3个质点组成,受4个约束xO=0yO=0xA2+yA2=l12(xA-xB)2+(yA-yB)2=l22k=23-4=2OxyA(xA,yA)B(xB,yB)

1

29(2)广义坐标唯一地确定质点系位置的独立参数,称为广义坐标.例题17-4.确定右图的广义坐标.xA

=l1sin

1yA

=l1cos1xB

=l1sin1+l2sin2yB

=l1cos1+l2cos2OxyA(xA,yA)B(xB,yB)

1

2解:可取

1和

2为广义坐标来确定系统的位置.这时A和B点的直角坐标与广义坐标的关系为:10在一般情况下,若一个由n个质点组成的质点系,受s个定常的完整约束,则系统具有k=2n-s个自由度.如以q1,q2,…,qk

表示所选定的广义坐标,则质点系中任一质点Mi的直角坐标可以表示为广义坐标的函数.x

i=xi

(q1,q2,…,qk)yi

=yi

(q1,q2,…,qk)

(i=1,2,…,n)ri=ri(q1,q2,…,qk)

(i=1,2,…,n)显然质点Mi的矢径ri也可表示为广义坐标的函数11例题领17炒-5已.准分别释确定易下列喇结构乘的自小由度樱和广雅义坐梯标.雄(孕1)徐长为l的刚涛杆.测(死2)蹦用三工根长渐为l的刚腥杆铰矛接的酬三角铺形赔结构意.(捞3)揪用四棋根长看为l的刚饭杆铰延接的思四边构形结资构.解:xyAB

(1爆)约初束方贤程为(xA-xB)2+(yA-yB)2=l2自由索度为偷:k=2

2陕-1卡=评3广义矛坐标狼为:x,y,

rA=xi+yjrB=模(x+lco谨s

)i+疼(y+lsi皆n

)jxy12(2险)约束方程舍为(xA-xB)2+(yA-yB)2=l2(xA-xC)2+(yA-yC)2=l2(xB-xC)2+(yB-yC)2=l2自由而度为长:k=才23-3腐=麻3广义纲坐标岔为:x,y,

rA=xi+yjrB=狠(x+lco渐s

)i+茧(y+lsi搁n

)jrC=蒙[x+lco萍s(+肤60o)]i+素[y+lsi衬n(+覆60o)]j显然斯用三势根长韵为l的刚取杆铰支接的拥三角屑形结系构可寸以视匀为一财根刚浸杆.

xyABCxy13(3据)约束方程卷为(xA-xB)2+(yA-yB)2=l2(xA-xD)2+(yA-yD)2=l2(xB-xC)2+(yB-yC)2=l2自由度为:k=24-4=4广义丈坐标榆为:x、前y、、说

rA=xi+yjrB=戒(x+lco迈s

)i+遮(y+lsi疮n

)jrC=芒[x+l(c土os

狡-厌si塑n停)]i+耍[y+l(s伐in+绝co顷s)]j(xC-xD)2+(yC-yD)2=l2rD=路(x-lsi到n

)i+架(y+lco垂s

)j

xyABCDxy1417坟-3借.虚觉位移嘉与虚沸功(一跨)虚平位移质点羡或质牌点系挖在给角定瞬问时,层为约旷束所美容许洋的任个何微小的固位移自,称螺为质骡点或眯质点汽系的苏虚位袜移.帆记为r选.虚位姓移只毁是一消个几械何概蝴念,付它完替全由疯约束消的性日质及其限圣制的伪条件坟所决型定.拦它只蠢是约幕束所舰容许布的可公能发明生而实辫际不代一定千发生恢的位雹移,孤它与券作用唇力无勇关,贫与时非间无关.斥它可凶以有辟多种物不同准的方冻向,阵它必娃须是仇微小颈量.实位框移是估质点氧或质刻点系瓣在力灰的作桥用下胁,在肆一定秩时间间隔王内实蛇际发吉生的霸位移建.它册有确怜定的仁方向老,它趋可以博是微小量嘴,也禽可以遭是有焰限量慎.15xy

AMO例题17岸-6.铰叉接于挺光滑辅水平毯面上龙的直叨杆OA受力震如图怀所示悄.画丸出点A的实饭位移倘和虚球位移孕.drd

r1

1

2

r2在定韵常的拐几何冬约束邀的情永形下拔,区约右束的宿性质菠与时间裂无关受,龙微笋小的责实位搜移是誉虚位调移之摆一.xy

AMO16BA

r

r对于惧非定版常约遣束号,湿由于赖它的裹位置掏或形服状随伤时间而流改变稿,袍而虚过位移持与时邮间无叠关姐,域实位销移却谁与时间有早关悟,所脂以微凑小的奸实位罚移不殿再是桌虚位陡移之驾一.BAdr例题17忌-7俘.物址块B搁置孩于三炸棱体A上,君摩擦慎不计霸.画支出系络统由绘静止纽奉开始婚运动宾后物伐块B的实姿位移绪和虚泡位移愈.171)几何法在定浮常约秃束条腾件下刻,街微考小的拨实位患移是疾虚位壮移之轨一.领可以用励求实判位移锋的方韵法来坡建立挑质点庭虚位助移之灶间的妄关系郑.I

1

rB

rA

2

2例题万17傍-8支.盼求四图示亡机构A点和B点的前虚位居移解:搭应北用几犬何学之和运块动学衬来求A点和B点的哲虚位集移

rA和

rBOA杆作说定轴厦转动

rA=

1

(1)

AB杆作滚平面吼运动环,I为瞬窃心

rA

=

2

(2)OAB18

2

=

1

rB

=

2

=

1当然也可鲁以取

1的转坚向为秘顺时汉针转垒向,峰画出茄虚位基移图巡寿得出蜂的绍

rA和rB的表削达式娃与转慈向为框逆时挣针是鸣一致店的.由(幕1)逐(2滴)式得:I

1

rB

rA

2

2OAB19OAB2)解析法利用票广义伪坐标尊的概蜂念,生可以余得到宣任意本质点阵系中情各质趁点的虚狂位移幅表示园为广胸义坐没标的票变分怨的关坟系式活.即狱解析柴法.解:xA=l1co赏s

yA=l1si筹n

xB=l1co岔s

+l2co蔑s

l1si球n

=l2si握n

xy

例题溉17你-9主.求亿图示柏机构A点和B点的唐虚位白移.OA=l1纷;AB=l2宰.

xA=钩-l1si贤n

城

yA=l1co串s

劝

变分混与微映分相驱似20

rA=i

xA+j

yA=l1(-isi编n

副+jco穷s)解

棍

rB=i

xB=i(-l1si赖n

钢)[勺

模+众c计tg渐

杏tg兰

信

克]l1co断s

团=l2co洗s

南

xB=怜-l1si别n

做-l2si掏n

疼

可以息证明莫用几该何法绒和解丘析法钞所得米的结峰果是块一致血的.OABxy

21(二雄)虚功1)航力封作虚毅功

W=F

r=Fx

x+Fy

y2)前力矩昨或力寨偶矩蚕作虚俭功

W=MO(F)苏

W=m

例题潜17倡-1笛0.枕计域算上喷图中拍力偶垮矩作晨的虚象功解:

W=M

1

W=识-M

2

W=MI(F)甘

xy

AMO

r1

1

2

r22217-4.理进想约摊束以Ni表示艺质点介系中货质点Mi的约斜束反碧力的闭合力君,

ri表示搅该质仁点的决虚位迹移形,宝则质讨点系狱的理叙想约束跑条件卖可表纠示为

Ni·

ri=0(1酒)理林想