全国2018年高中数学联合竞赛四川预赛试题精

2018年全国高中数学联合竞赛（四川预赛）试题2018年全国高中数学联合竞赛（四川预赛）试题和答案1.设名、1分别是号差班列｛凡）与他j的前总项和,对任意的正整数邦,都有九=筋；6若幺为质数，则正整数机的他为丁“丹十15mD、7AD、72.设片.耳分别是椭圆

I £f=1（[>5>0）2.设片.耳分别是椭圆

I £f满足/用户尾=90,若△尸匕鸟的面积为2，则占的值为A、1 B、0 C. D.2d..n.（sinx—I）（COSX—J）zm-a九函数y= "（x€R）的最大值为2+sin2.¥近 IVs rrTOC\o"1-5"\h\zAt B■I C*—+ D、J22 2 2.助多项式/■（H）=P：r—d十1除以1十1的葡式为以用,余式网幻=乩¥十占，其中4,也为实数，则方的瞌为 [ 】A.0 B.I 口、2 D.3.已知方箱」+X——4— -+**、小g=0的I所存实数据都在区间[名刊内（其中八5eZ,且。<占人则白一在的最小他为 [ 】A、I B.2 C,3 D、46对任意正整数小定义4目）为使得1+2+…+用是内的倍数的最小的正整数出一美于下列三个命题：①若口为有质数，则42）=尸—I：②对任意正整数人都有Z（2"）>2Z③对任意正整数区，都有胃（3）=3"—I.其中所有其命题的序号为A、®® 4®® C、®@ D.®gX3）

9工发函数〃i［=x+—在［1,4］的最大值为财，最小值为梢，则M—欧的值X为.4tanAtanCI2心W'li吗口=1咤”2的信:为出4tanAtanCI2心W'li吗口=1咤”2的信:为5］呜力3+1阳口3-1口如2+I呜"，logf,5.在三楂钳尸 中，-：条檐尸/、FR.PC两两乖直，且P4I,尸8=2.pc=2,若点0为:棱椎尸ur外接球的球面上任一点=则。到面工8r距国的最大值为-.设也线,=依十后与曲畿丁=1一万有三个不同的交.点力、E、C,且|=|H仃=2.则必的值为.12,设集合/=乩20,4.5,6,工田.若/的非空子集/、£满足』门8=必，就称有序集合对｛4幻为，的“隔离集合对二则集合/的“隔离集合豺”的个数为.（用具体数字作坊2 2.己知双曲线三一%=I,设其实轴端点为H、4r点尸是双曲线上不同于4W的一个动点，罚绣尸4，F4分别与直线才=1交于加］、河2两点.证明：以线段为直径的圆必经过定点.空一已知歌列；%i满足：/.设H,尸.工为正实数，求（工十,十五Xr+J十&）（工十空一已知歌列；%i满足：/-a；4-hj（/i€M*）,若时任隹正整Kt*郡有%<4.求实数小的最大汽（E）若〃工｝在眺工域内为贻词电堆偈数.求也:&声的取伯荆的（2）设冢工）=¥，且p>0-朴任以可上至少存在一点不.坦得，门口）〉鼠/）成立.求实数〃的取值苑用：1力求证：时任意的正整数"，都有£二加士。十：）《3成立.1 *2018年全国高中数学联赛（四川预赛）试题参考答案及评分标准说明工1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空腱只设与分和。分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次，2.如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，S分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题（本大题共b个小题.每小题5分，共30分）kA2.B3.B4.D 5,C6,D二、填空题（本大题共6个小题，每小题S分,共30分）2V15 3R7*4 8， 9、I10,一十二 \ 12,6050三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分,共胎分）13.已知双曲线L—J—=1,电其坡轴端点为4.4,点P是双曲线上不同F44 3%的一个动点，直线P4.P应分别与直我#=1交于股之两点.叶明；以线段弧加,为汽衿的网必经过定点.肝机：由己坳可设$f—2,。），一4：（2,0）,却用线上动点尸的坐标为（％kJ且由陶.TOC\o"1-5"\h\z因为亘线期］的方程为_>公/'行十分.直线尺^的方程为¥ 2），/+2 /12所艮跖（I,色工卜%口，口小）， ……5分/+2 4—2设以线段AfrW2为直径的圆C上任省一点耍卬）.则由方。而：0=0得闽C的方程为fr-血工-1）+（y——-1\）（jJ 」'J=0「TO分令尸0.代入匕述园方程，得……1S分由C-K=l可用工士TOC\o"1-5"\h\z4 3 £-44参考答案及评分标柞（第［贞共5页）因此有（X-1『-：=储解得工=：或工一g.所以，以线网,％A•人为宜径的圆心经过两定戊（―；，0）.g,0）. ……2。分14.没hV,工为正实数，求（工4,+J力｛>+4+&）（：+1+J5）的最小值-y z x.解：记r=（尺十,+，^）｛箕十，十Q'km十,+ ,y z x当工=了=工=下时，丁苜最小值（2+J5）'=20+14&. ……5分F证：7>20+1472.解法、T=（X>7+-）+41（xy+V7++—+—+—）为喀 专pyzzx+3（x+v+z+-+—+—）+a/2（—+2+二）+5\/1 ■■■■•■10分xyzzxy>2+x/sX'ftJxF-Jzzx- -V'，xyyzzx

当，=y=£=1时，可取到等号,故(_r4 PJ5Wy J5)(w~1 k N(2+J5V. ……20分y z x当工=y=E=i时.可取到等号，所以，丁的最小他为Q+6广=20+14a,J3.已知数列加/满足:事=1，4" 用5£3・卜若对任意正整数门,都有&<4,求实救出的最大值.解：因为风小一11r=:值;—%十泅="（小一4/十削一23mt—2『 5分?一［故/=%+£（为t一为）21+（邢一2）5—1）I苦的>2.注意到ht+oc忖r（m—2）（h—I）—*+oc।因此存在充分大的界,使得］十（博一2）5—1）>4,即见>4.矛盾！等考答窠及评分标准［第3页共5页）所以.til<2. ,1口分乂当用=2时，可证:村任意的正整数打.都有0</<4.当月二I1g=l<4i细论成立：假设竹=A(*^I}时，结论成立，即0<勺<4,则0<%.［=2+:片<2+(乂4工=4,即结诒对门=k+1也成立一由归纲原理知，对任意的正整数"，都,有。<$M4,综上可知，所求实数版的最大值为工 ……2。分16设函数f{y)=px-——21nxm若/(x)在其定义域内为单调递增函数.求实数门的取值范围；⑵设g(x)=一,且户>0*若在［L(-］上至少存花一点/.使得f(维J>虱飞)成汇求实数炉的取值范围；0)求证，对任意的正整数人都,行£}1口“1+工)<3成立.k=lM蝌⑴函数人工）的定义域为（皿》>0｝一TOC\o"1-5"\h\z由，住）=pt—“知/（工）=口+与一二，x x工要使/（用在其定义域内为单隔诩增函数，只须fXx）>0.即px2-2x+p>0在（我”讷恒成立.于是2之4-,注意到：~^—£竺=1.等号在汽=】时成立，\o"CurrentDocument"x+1 x+1 2.x即在x=l时有最大值L从而/?>L 5分12）解法•-：注意到烈幻=名在［1,钟上是减函数，所以耳（R）mn=g（c）=2.氟h）e=叁1）=2。,即片（工）E［2,2司一参号答案及评分标海c第4页共5页）当OVpVl时.LlJve(1.p].^1-1^0,故#0呼（X J-21nx<.v ?lnx<?，小：，题意.当户21时.由（1）加兵圻在［L柯上起借函数.J（i）=Q<2.Z虱刈在［L司上是弑函数，所以惊徐他!等ffr］兀0a>虱月皿产二1TE口,可.1。分由贡2a=汽引（。一1）i21n中；T，解出p>-T—■* e-1。分第匕P的取值范围是,户）.解法-,=悚前虺等价于式幻-虱冷>0在［L的卜印解、设小）嗔灯-式《｝=pr---2］nx--X X|盯土：F”,=|盯土：F”,