2022中考压轴题汇编

2022华师大版中考压轴题精选及解析1、（2022广东省实验区）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是等腰梯形，，，点为轴上的一个动点，点不与点、点重合．连结，过点作交于点．（1）求点的坐标；（2）当点运动什么位置时，为等腰三角形，求这时点的坐标；（3）当点运动什么位置时，使得，且，求这时点的坐标．1、解：（1）过点作，垂足是点，四边形是等腰梯形，，在中，，．xyCBDAEPxyCBDAEPO（2），为等腰三角形，为等边三角形．，点是在轴上，点的坐标或。（3），且．，，．，设，即．这时点的坐标．2、（2022江苏省宿迁市）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r（题图（题图①）d＝a＋ra－r＜d＜a＋rd＝a－rd＜a－r所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有个；（2）如图②，当r＝a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系（题图②（题图②）d＞a＋rd＝a＋ra≤d＜a＋rd＜a所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有个；（题图③）（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝a（题图③）（4）就r＞a的情形，请你仿照“当……时，⊙O与正方形的公共点个数可能有个”的形式，至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论．解：图①（1）图①d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r0d＝a＋r1a－r＜d＜a＋r2d＝a－r1d＜a－r0 所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；图②图②d、a、r之间关系公共点的个数d＞a＋r0d＝a＋r1a≤d＜a＋r2d＜a4所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；（3）如图所示，连结OC．则OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r．BCDFE在Rt△BCDFEOF2＋FC2＝OC2即（2a－r）2＋a2＝r24a2－4ar＋r2＋a2＝r5a2＝45a＝4r∴r＝a． 3、（2022长沙市）如图1，已知直线与抛物线交于两点．（1）求两点的坐标；（2）求线段的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．PPA图2图13、解：依题意得解之得 3分（2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1）图1DM图1DMACB第3题Ｅ过作轴，为垂足由，得：，同理：设的解析式为的垂直平分线的解析式为：．（3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2）．抛物线与直线只有一个交点，，PA图2第3题PA图2第3题HGB设到的距离为，到的距离等于到的距离。4、（2022福建南平市）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。请探究：（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由：（2）若设，，当取何值时，最大？（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？4、解：（1）理由：正方形ABCD和正方形BEFG中∴又∴△ABE≌△CBG∴（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG∴∴∴又∵∴△ABE∽△DEH∴∴∴当时，有最大值为（3）当E点是AD的中点时，△BEH∽△BAE理由：∵E是AD中点∴∴又∵△ABE∽△DEH∴又∵∴又∴△BEH∽△BAE5、（2022福建泉州市）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD.（1）当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米.①求隧道截面的面积S（米2）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；CABDOr②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（CABDOr解：（1）当AD=4米时，S半圆=CABDOrCABDOr（2）①∵AD=2r，AD＋CD=8∴CD=8－AD=8－2r∴S==②由①知又∵2米≤≤3米∴2≤≤3∴≤≤3由①知S=≈=－＋16r=∵－＜0，∴函数图象为开口向下的抛物线.∵函数对称轴≈又≤≤3＜由函数图象知，在对称轴左侧S随的增大而增大，故当=3时，有S最大值.≈=≈（米2）答：隧道截面的面积S的最大值约为26.1米2.…6、（2022南阳油田）（第23题）A（第23题）ABCPQ（1）指出当t＝4秒时，点P,Q的位置，此时直线PQ有何特点？（2）当点Q在AC边上运动时，求△PCQ的面积S1与t的函数关系式.（3）当点Q在AB边上运动时（点Q与点B不重合），求四边形PCAQ的面积S2与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围.图（1）ABCDQP解：（1）当t＝4秒时，点P为BC的中点,点Q与点A重合，此时直线PQ是△ABC的对称轴（或者说：线段PQ是图（1）ABCDQP∴ABCEQPM(3)如图(2)，作QE⊥BC,AMABCEQPM∴==自变量t的取值范围4＜t＜87、（2022山东枣庄市）半径为的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA＝4:3，点P在AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O.(l）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；(2）当点P运动AB到的中点时，求CQ的长；(3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．解：(l）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900.∴AB=5,AC:CA=4:3,∴BC=4,AC=3.又∵AC·BC=AB·CD∴在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB＝∠PCQ=900,∠CAB＝∠CPQ，Rt△ACB∽Rt△PCQ∴(2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）.∵P是弧AB的中点，∴…6分又∠CPB=∠CAB∴∠CPB=tan∠CAB=∴而从由（l）得，(3）点P在弧AB上运动时，恒有故PC最大时，CQ取到最大值．当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为。8、（2022年潍坊市）已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？解：（1）把代入得，一次函数的解析式为；二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，设二次函数解析式为，把代入得，二次函数解析式为．3分（2）由解得或，，过点分别作直线的垂线，垂足为，则，直角梯形的中位线长为，过作垂直于直线于点，则，，，的长等于中点到直线的距离的2倍，以为直径的圆与直线相切．（3）平移后二次函数解析式为，令，得，，，过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，此时，半径为2，面积为，设圆心为中点为，连，则，在三角形中，，，而，，当时，过三点的圆面积最小，最小面积为．9、（2022伊春市）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD(1)求点C的坐标；(2)求直线AD的解析式；(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)OA=6，OB=12点C是线段AB的中点，OC=AC作CE⊥x轴于点E．∴OE=eq\f(1,2)OA=3，CE=eq\f(1,2)OB=6．∴点C的坐标为(3，6)(2)作DF⊥x轴于点F△OFD∽△OEC，eq\f(OD,OC)=eq\f(2,3)，于是可求得OF=2，DF=4．∴点D的坐标为(2，4)设直线AD的解析式为y=kx+b．把A(6，0)，D(2，4)代人得解得∴直线AD的解析式为y=-x+6(3)存在．Q1(-3eq\r(,2)，3eq\r(,2))，Q2(3eq\r(,2)，-3eq\r(,2))，Q3(3，-3)，Q4(6，6)10、（2022四川省内江）如图所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成和两个三角形（如图28-2所示）.将纸片沿直线（AB）方向平移（点始终在同一直线上），当点于点B重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与分别交于点F、P.当平移到如图28-3所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想；设平移距离为，与重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变量的取值范围；对于（2）中的结论是否存在这样的的值，重叠部分的面积等于原面积的.若不存在，请说明理由.28-1图28-1图28-3图28-2图解：（1）.因为，所以.又因为，CD是斜边上的中线，所以，，即所以，，所以所以，.同理：.又因为，所以.所以（2）因为在中，，所以由勾股定理，得即又因为，所以.所以在中，到的距离就是的边上的高，为.设的边上的高为，由探究，得，所以.所以.又因为，所以.又因为，.所以，而所以存在.当时，即整理，得解得，.即当或时，重叠部分的面积等于原面积的.。11、（2022贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。（1）点P在运动时，线段AB的长度页在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）线段AB长度的最小值为4理由如下：连接OP因为AB切⊙O于P，所以OP⊥AB取AB的中点C，则当时，OC最短，即AB最短，此时（2）设存在符合条件的点Q，如图①，设四边形APOQ为平行四边形，因为四边形APOQ为矩形又因为所以四边形APOQ为正方形所以，在Rt△OQA中，根据，得Q点坐标为（）。如图②，设四边形APQO为平行四边形因为OQ∥PA，，所以，又因为所以，因为PQ∥OA，所以轴。设轴于点H，在Rt△OHQ中，根据，得Q点坐标为（）所以符合条件的点Q的坐标为（）或（）。12、（2022贵阳市）某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个；（1）假设销售单价提高元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是个；（用含的代数式表示）（4分）（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分）解：（1），（2）设月销售利润为元，由题意得：整理得：，当时，有最大值9000，答：8000元不是最大利润，最大利润是9000元，此时篮球售价为70元；13、（2022北京海淀区）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。（1）若，求CD的长；（2）若∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。解：（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5 所以∠ADB＝90°，AB＝10 在Rt△ABD中， 又，所以，所以 因为∠ADB＝90°，AB⊥CD 所以 所以 所以 所以………………3分 （2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD 所以 所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD 因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO 所以∠CDB＝∠ADO………………4分 设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x 由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x 因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90° 所以 所以x＝10° 所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100° 所以∠AOC＝∠AOD＝100° 14、（2022锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).(1)求A、B两点的坐标；(2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？解：(1)∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∴OA=AB=BC=CO=4.过点A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=2.∴A(2,2)，B（6,2).……3分(2)直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交(如图①).∵MN⊥OC，∴ON=t.∴MN=ONtan60°=t..②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交(如图②).S=ON·MN=×t×2=t.……6分③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交(如图③).方法一：设直线l与x轴交于点H.∵MN=2-(t-4)=6-t，.(3)由(2)知，当0≤t≤2时，，当2＜t≤4时，，当4＜t≤6时，配方得，∴当t=3时，函数的最大值是.但t=3不在4＜t≤6内，∴在4＜t≤6内，函数的最大值不是.而当t＞3时，函数随t的增大而减小，∴当4＜t≤6时，S＜4.……11分综上所述，当t=4秒时，15、（2022西江南昌）已知抛物线，经过点A(0，5)和点B（3，2）(1)求抛物线的解析式：(2)现有一半径为l，圆心P在抛物线上运动的动圆，问⊙P在运动过程中，是否存在⊙P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)若⊙Q的半径为r，点Q在抛物线上、⊙Q与两坐轴都相切时求半径r的值解：(1)由题意，得；………3分抛物线的解析式为…………4分(2)当⊙P在运动过程中，存在⊙P与坐标轴相切的情况．设点P坐标为()，则则当⊙P与y轴相切时，有=1，=±1由=-1，得，由=1，得当⊙P与x轴相切时有∵抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方．∴=1由=1，得，解得=2，B(2，1)综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：(3)设点Q坐标为(x，y)，则当⊙Q与两条坐标轴都相切时，有y=x由y=x得，即，解得由y=-x，得．即，此方程无解…∴⊙O的半径为16、（2022山东青岛市）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC?（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142＝12996，1152＝13225，1162＝13456或＝，＝，＝）解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC，∴，．∴FG＝＝3cm．∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC，∴OP∥AC．∴x＝＝×3＝（s）．∴当x为时，OP∥AC．（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF＝5cm．∵EG∥AH，∴△EFG∽△AFH．∴．∴．∴AH＝（x＋5），FH＝（x＋5）．过点O作OD⊥FP，垂足为D．∵点O为EF中点，∴OD＝EG＝2cm．∵FP＝3－x，∴S四边形OAHP＝S△AFH－S△OFP＝·AH·FH－·OD·FP＝·（x＋5）·（x＋5）－×2×（3－x）＝x2＋x＋3（0＜x＜3．（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．则S四边形OAHP＝×S△ABC∴x2＋x＋3＝××6×8∴6x2＋85x－250＝0解得x1＝，x2＝－（舍去）．∵0＜x＜3，∴当x＝（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．17、（2022烟台市）如图，已知抛物线L1:y=x2-4的图像与x有交于A、C两点（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。解：设l2的解析式为y=a(x-h)2+k∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）∴y=ax2+4∴0=4a+4得a=-1∴l2的解析式为y=-x2+4(2)设B(x1,y1)∵点B在l1上∴B(x1,x12-4)∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称∴B、D关于O对称∴D(-x1,-x12+4).将D(-x1,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4∴左边=右边∴点D在l2上.(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则S=2*S△ABC=AC*|y1|=4|y1|a.当点B在x轴上方时，y1＞0∴S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，∴S既无最大值也无最小值b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0∴S=-4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，∴当y1=-4时，S由最大值16，但他没有最小值此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.∴AC⊥BD∴