2022年全国中考数学模拟汇编二50新概念型问题

50.新概念型问题A组一、选择题1.（2022萧山区中考模拟）【原创】刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数：a2＋b－1，例如把(3，－2)放入其中，就会得到：32＋（－2）－1＝6．现将实数对(－1，3)放入其中，得到实数m，再将实数对(m，1)放入其中后，得到的实数是_______。【答案】92.(2022珠海市香洲区模拟)古希腊著名的毕达哥拉斯派1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）=3+10 =9+16=15+21 =18+31【答案】C二、填空题第1题1．（南京市江宁区2022年中考一模）中国已经进入一个老龄化社会，“老人”是一个模糊概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度，其中一个人的“老人系数”与年龄的关系如图所示，按照这样的规定，一个年龄为70岁的人，他的“老人系数”为▲．第1题答案：三、解答题1．（2022（本小题满分10分）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.BCABCA（1）sad的值为（）A.B.1 C. D.2（2）对于，∠A的正对值sadA的取值范围是.（3）已知，其中为锐角，试求sad的值.【答案】BCDHA（1）BCDHA（2）；………3分(3)如图，在△ABC中，∠ACB=，sin∠A.在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，则AD=AC==4k，………2分又在△ADH中，∠AHD=，sin∠A.∴，.则在△CDH中，，.……………2分于是在△ACD中，AD=AC=4k，.由正对定义可得：sadA=，即sad………1分2.（2022浙江新昌县模拟）定义：已知反比例函数与，如果存在函数()则称函数为这两个函数的中和函数.（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为，并且其中一个函数满足：当时，随的增大而增大．（2）函数和的中和函数的图象和函数的图象相交于两点，试求当的函数值大于的函数值时的取值范围．【答案】解：(1)答案不唯一,如与等4分(2)和的中和函数，联立方程组，得两个函数图象的交点坐标为（）（）2分结合图象得到当的函数值大于的函数值时的取值范围是或2分2．（南京市溧水县2022年中考一模）（8分）在平面上有且只有4个点，这4个点中有一个独特的性质：连结每两点可得到6条线段，这6条线段有且只有两种长度．我们把这四个点称作准等距点．例如正方形ABCD的四个顶点(如图1)，有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其实满足这样性质的图形有很多，如图2中A、B、C、O四个点，满足AB=BC=CA，OA=OB=OC；如图3中A、B、C、O四个点，满足OA=OB=OC=BC，AB=AC．BCAD（1）如图，若等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，且ADBCAD①写出相等的线段（不再添加字母）；②求∠BCD的度数．（2）请再画出一个四边形，使它的四个顶点为准等距点，并写出相等的线段．答案：解：（1）①AB=DC=AD，AC=BD=BC．……………2分②∵AC=BD，AB=DC，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，……3分∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵DC=AD，∠DAC=∠ACD，∴∠ACD=∠ACB，………………4分∵BC=BD，∠BDC=∠BCD=2∠ACB，……………5分设∠ACB=x°，则∠BDC=∠BCD=2x°，∠DBC=x°，∴2x+2x+x=180，解得x=36，∴∠BCD=72°．…………………6分（2）AB=BD=AD=AC，BC=CD．或AB=BC=CD=BD=AD，AC，．……8分3．（南京市建邺区2022年中考一模）（9分）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：说明：说明：方案一图形中的圆过点A、B、C；方案二直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点．ABC方案一方案二方案二纸片利用率=eq\f(纸片被利用的面积,纸片的总面积)×100%发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．方案三方案三说明说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．答案：（本题9分）发现：（1）小明的这个发现正确． 1分理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，∵AC＝BC＝eq\r(5)，AB＝eq\r(10)∴AC2+BC2＝AB2∴∠BAC＝90°， 2分∴AB为该圆的直径． 3分解法二：如图二：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，∴∠ACM＝∠CBN．又∵∠BCN＋∠CBN＝90°，∴∠BCN＋∠ACM＝90°，即∠BAC＝90°， 2分∴AB为该圆的直径． 3分图一M图一M图二NCCBADEFH图三（2）如图三：易证△ADE≌△EHF，∴AD＝EH＝1． 4分∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(DE,CB)∴eq\f(1,4)＝eq\f(2,CB)，∴BC＝8． 5分∴S△ACB＝16． 6分∴该方案纸片利用率＝eq\f(展开图的面积,纸板的总面积)×100%＝eq\f(6,16)×100%＝% 7分探究：（3）eq\f(180,361) 9分B组50.新概念型问题1、（广州四中2022年初三第一次模拟测试）我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数110换算成十进制数应为：1×22+1×21+0×20=6按此方式，则将十进制数11换算成二进制数应为___________答案：10112、（广州四中2022年初三第一次模拟测试）如图（1），凸四边形，如果点满足，且，则称点为四边形的一个半等角点．（1）在图（3）正方形内画一个半等角点，且满足．（2）在图（4）四边形中画出一个半等角点，保留画图痕迹（不需写出画法）．（3）若四边形有两个半等角点（如图（2）），证明线段上任一点也是它的半等角点．图（1）图（1）图（2）2题图解：（1）所画的点在上且不是的中点和的端点，即给2分．（2）画点关于的对称点，延长交于点，点为所求（不写文字说明不扣分）给6分．（说明：画出的点大约是四边形的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）（3）连和，根据题意，，，．在上，同理，也在上． 8分在和中，，，公共，． 10分所以，，于是关于对称．设是上任一点，连结，由对称性，得，，所以点是四边形的半等角点． 12分第2题答案图第2题答案图3.（2022河南三门峡模拟一）（本题12分）阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）.我们可行出生种计算三角形面积的新方示：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题:如图2，抛物线顶点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△ABC的铅垂高CD及S△ABC;（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设抛物线的解析式为：把A（3，0）代入解析式得a(3-1)2+4=0.解得所以………2分设直线AB的解析式为：由求得B点的坐标为把，代入得解得：所以……………4分（2）因为C点坐标为（1，4）