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高中数学函数练习题1.下列函数中,值域是(,+∞)的函数是A.y=1/xB.y=(2x-3)/(5-x)C.y=(3x-2)/(2x+3)D.y=1-2/(x+1)改写:从四个选项中选择一个函数,其值域为(,+∞)。2.已知f(x)=2x^2-6x+a(a为常数),在[-2,2]上有最大值3,那么在[-2,2]上的最小值是多少?改写:已知f(x)=2x^2-6x+a(a为常数),在[-2,2]上最大值为3,求在[-2,2]上的最小值。3.已知函数y=x^2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是A、[1,+∞)B、[0,2]C、(-∞,2]D、[1,2]改写:已知函数y=x^2-2x+3在区间[0,m]上最大值为3,最小值为2,求m的取值范围。4.若函数f(x)=log_a(x)(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a=2/5。改写:如果函数f(x)=log_a(x)(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,求a的值。5.函数f(x)=a+log_a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为11/2。改写:函数f(x)=a+log_a(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,求a的值。6.若x+y=1,则(y-2xy)/(x-1/3)的最小值是-9/4,(y-2xy)/(x-1/3)的最大值是12。改写:已知x+y=1,求(y-2xy)/(x-1/3)的最小值和最大值分别是多少。7.已知函数y=lg(ax+2x+1)的值域为R,则实数a的取值范围是(0,1)。改写:已知函数y=lg(ax+2x+1)的值域为R,求实数a的取值范围。8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(0)=-1,f(-2)=5。改写:定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,求f(0)和f(-2)的值。9.若f(x+1)=|1/(3x^2-1)|,则f(x)=|1/(3(x-1)^2-1)|,函数f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,∞)。改写:若f(x+1)=|1/(3x^2-1)|,求f(x)的表达式和值域。10.对任意的x,y有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)>0,则f(0)=1,f(1)-f(-1)=0。改写:对任意的x,y有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)>0,求f(0)和f(1)-f(-1)的值。11.函数f(x)=2x^2的值域为[0,∞)。改写:函数f(x)=2x^2的值域为[0,∞)。12.二次函数y=-x^2+4x-7,x∈(0,3]的值域为[-8,-3)。改写:已知二次函数y=-x^2+4x-7,x∈(0,3],求其值域。13.已知函数g(x+1)=x+g(x)-6,则g(x)的最小值是-7。改写:已知函数g(x+1)=x+g(x)-6,求g(x)的最小值。14.函数y=-x^2-6x-5的值域是(-∞,-5]。改写:函数y=-x^2-6x-5的值域是(-∞,-5]。15.函数y=2x+41-x的值域是(-∞,∞)。改写:函数y=2x+41-x的值域是(-∞,∞)。16.求下列函数的值域(1)y=(e^x-1)/(e^x+x-1),值域为(0,∞);(2)y=0.25x^2-2x/(x^2+3x-1),定义域为(-∞,-1)∪(1,∞),值域为(-∞,-2)∪[2/7,∞);(3)y=3x-x^3,值域为(-∞,∞);(4)y=1/(x+1)^3,定义域为(-∞,-1)∪(-1,∞),值域为(0,∞);(5)y=1/(1-x),定义域为(-∞,1)∪(1,∞),值域为(-∞,-1)∪(1,∞);(6)y=(2x+5)/(2x+5),定义域为(-∞,-5/2)∪(-5/2,∞),值域为(1,∞);(7)y=2/(x^2+1),定义域为(-∞,∞),值域为(0,2];(8)y=(x+x^2-12)/(2+x^2)+sinx,定义域为(-∞,∞),值域为(-∞,-10/3]∪[5/3,∞);(9)x^2y-2+y^2=1,求值域,值域为(-∞,-2]∪[2,∞)。改写:求下列函数的值域。18、设函数$y=f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的减函数,并满足$\frac{1}{3}f(xy)=f(x)+f(y)$,$f(1)=1$。(1)由$f(1)=1$和$\frac{1}{3}f(xy)=f(x)+f(y)$,代入$x=y=1$可得$f(1)=\frac{2}{3}f(1)+\frac{2}{3}f(1)$,解得$f(1)=3$。(2)由$\frac{1}{3}f(xy)=f(x)+f(y)$,代入$y=1$可得$\frac{1}{3}f(x)=f(x)+f(1)$,解得$f(x)=-\frac{3}{2}\lnx$。令$f(m)=2$,解得$m=\sqrt{e^4}$。(3)由$f(x)+f(2-x)<2$,代入$f(x)=-\frac{3}{2}\lnx$可得$\lnx+\ln(2-x)<\lne$,即$x(2-x)<e$,解得$0<x<1$或$1<x<2$。19、若$f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的增函数,且$f(\frac{1}{2})=2$。(1)由$f(\frac{1}{2})=2$,代入$x=\frac{1}{2}$可得$f(1)>2$。(2)将$x-1$代入$f(x)$,得$f(x-1)$是定义在$(-1,+\infty)$上的增函数。因此,$f(x-1)<f(1)$,解得$x<2$。(3)由$f(2)=1$,代入$x+3$可得$f(x+3)-f(1)<2$,即$f(x)<f(1)+2$。因此,$f(x+3)-f(1)<2$可化为$f(x)<f(1)-f(3)+2$。由$f(3)=\frac{3}{2}f(2)=\frac{3}{2}$,代入可得$f(x)<\frac{1}{2}f(1)+\frac{1}{2}$,解得$x<\frac{2}{f^{-1}(\frac{1}{2}f(1)+\frac{1}{2})}-3$。20、二次函数$f(x)$满足$f(x+1)-f(x)=2x$,且$f(0)=1$。(1)由$f(x+1)-f(x)=2x$,可得$f(x)=x^2+f(0)=x^2+1$。(2)由$f(x)>g(x)$,代入$f(x)$和$g(x)$可得$x^2+1>2x+m$,即$x^2-2x+1-m<0$。对于二次函数$x^2-2x+1-m$,当其顶点的$x$坐标在定义域内时,函数值最小。因此,顶点的$x$坐标为$1$,代入可得$m<-2$。答案:无法确定,缺少具体内容。12.已知函数$f(x)=x+4x+3$,$f(ax+b)=x+10x+24$,求$5a-b$的值。解:将$f(ax+b)$展开得到$f(ax+b)=ax+4ax+3+4b+3=ax+10ax+24$,比较系数得到$a=2$,$b=-1$,因此$5a-b=11$。13.当$x\in[0,1]$时,求函数$f(x)=x+(2-6a)x+3a$的最小值。解:将$f(x)$化简得到$f(x)=(2-5a)x+3a$,由于$x\in[0,1]$,因此最小值出现在$x=0$或$x=1$处。当$x=0$时,$f(x)=3a$;当$x=1$时,$f(x)=2-2a$。因此最小值为$\min\{3a,2-2a\}$,当$a\leq\frac{1}{5}$时,最小值为$3a$,当$a>\frac{1}{5}$时,最小值为$2-2a$。1.已知函数$f(x)=(m-1)x+(m-2)x+(m-7m+12)$为偶函数,则$m$的值是()解:由于$f(x)$为偶函数,因此$f(x)=f(-x)$,代入得到$(m-1)x+(m-2)x+(m-7m+12)=-(m-1)x-(m-2)x+(m-7m+12)$,化简得到$m=2$。2.设$f(x)$是定义在$R$上的一个函数,则函数$F(x)=f(x)-f(-x)$在$R$上一定是()解:将$F(x)$展开得到$F(x)=f(x)-f(-x)=-(f(-x)-f(x))=F(-x)$,因此$F(x)$为偶函数。3.若函数$f(x)=4x-kx-8$在$[5,8]$上是单调函数,则$k$的取值范围是()解:由于$f(x)$在$[5,8]$上是单调函数,因此$f'(x)>0$,即$4-k>0$,解得$k<4$。又因为$f(x)$为一次函数,因此$f(x)$在$[5,8]$上单调递减当且仅当$k\leq0$,因此$k$的取值范围为$k\in(-\infty,0]$。4.下列四个命题:(1)函数$f(x)$在$x>0$时是增函数,$x<0$也是增函数,所以$f(x)$是增函数;(2)若函数$f(x)=ax+bx+2$与$x$轴没有交点,则$b-8a<0$且$a>0$;(3)$y=x-\frac{2}{x-3}$的递增区间为$(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$;(4)$y=1+x$和$y=1+x$表示相等函数。其中正确命题的个数是()解:命题(1)错误,因为$x<0$时$f(x)$是减函数;命题(2)正确,因为当$f(x)$与$x$轴没有交点时,其判别式$4a-b^2<0$,因此$b-8a<0$且$a>0$;命题(3)正确,因为$y=x-\frac{2}{x-3}$的定义域为$(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$,且在每个单调区间上都是递增的;命题(4)错误,因为$y=1+x$和$y=1+x$表示的是同一条直线,不是相等函数。因此正确命题的个数为2。5.已知定义在$R$上的奇函数$f(x)$,当$x>0$时,$f(x)=x+|x|-1$,那么$x<0$时,$f(x)=\cdots$解:由于$f(x)$为奇函数,因此$f(x)=-f(-x)$。当$x<0$时,设$-x=t>0$,则$f(x)=-f(-t)=t+|t|-1=-1$。6.若函数$f(x)=\frac{2x+a}{2x+b}$在$[-1,1]$上是奇函数,则$f(x)$的解析式为________。解:由于$f(x)$在$[-1,1]$上是奇函数,因此$f(-x)=-f(x)$,代入$f(x)$得到$\frac{-2x+a}{2x+b}=\frac{2x+a}{-2x+b}$,解得$a=0$,$b=-2$,因此$f(x)=\frac{x}{x-2}$。7.设$a$为实数,函数$f(x)=x+|x-a|+1$,$x\inR$,则$f(x)$的最小值为$\cdots$解:当$x<a$时,$f(x)=2a-x+1$;当$x\geqa$时,$f(x)=x+a+1$。因此$f(x)$的最小值为$\min\{2a-x+1,x+a+1\}$,当$a\leq-\frac{1}{2}$时,最小值为$2a-\frac{1}{2}$,当$a>-\frac{1}{2}$时,最小值为$a+\frac{1}{2}$。8.设$f(x)$是奇函数,且在$(0,+\infty)$内是增函数,又$f(-3)=-2$,则$x\cdotf(x)<0$的解集是()解:由于$f(x)$为奇函数,因此$x\cdotf(x)$为奇函数,只需考虑$x>0$的情况。由于$f(x)$在$(0,+\infty)$内是增函数,因此$f(x)>f(-3)=-2$,即$x\cdotf(x)>x\cdot(-2)$,因此$x\cdotf(x)<0$的解集为$x\in(-\infty,0)\cup(-3,0)$。9.若函数$f(x)=ax-b+2$在$x\in[0,+\infty)$上为增函数,则实数$a,b$的取值范围是$\cdots$解:由于$f(x)$在$x\in[0,+\infty)$上为增函数,因此$a>0$。又因为$f(x)$为一次函数,因此$f(x)$在$x=0$处的函数值为$f(0)=2-b$,因此$b<2$。因此$a>0$,$b<2$。10.函数$f(x)=\frac{4}{x-2}$,$x\in[3,6]$的值域为$\cdots$解:由于$f(x)$在定义域上单调递减,因此$f(6)=\frac{4}{4}=1$,$f(3)=\frac{4}{1}=4$,因此值域为$[1,4)$。A.f(x)f(-x)是奇函数,f(x)|f(-x)|是偶函数。B.改为:f(x)|f(-x)|是奇函数。C.f(x)-f(-x)是偶函数。D.f(x)+f(-x)是偶函数。3.已知f(x)为奇函数,当x>0,f(x)=x(1+x),那么当x<0,f(x)=-x(1-x)。2324.若f(x)=ax+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax+cx是奇函数。5.设f(x)为定义在R上的奇函数。当x≥0时,f(x)=2+2x+b(b为常数),则f(-1)=-3。6.定义在R上的函数f(x)为奇函数,且f(x+5)=f(x),若f(2)>1,f(3)=a,则a<-1。37.设偶函数f(x)满足f(x)=x-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}={x|x<0或x>4}。即f(x)是以2为周期的函数,故①正确;由f(x)为偶函数得f(x)关于y轴对称,故f(x)关于直线x=1对称,即②正确;由[-1,0]上是增函数得[0,1]上是减函数,故③错误,④正确;由f(x+2)=f(x)得f(2)=f(0),故⑤正确;综上,正确的序号为①②⑤。f(x)是一个周期为2的函数,关于直线x=1对称,且在区间[-1,0]上是增函数,在区间[0,1]上是减函数,在区间[1,2]上是增函数,且f(2)=f(0)。因此,①和②是正确的,而③和④是错误的,⑤是正确的。214.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x+x-2,求f(x)、g(x)的解析式。解:因为f(x)+g(x)=x+x-2,所以f(-x)+g(-x)=-x+(-x)-2。又因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(x)-g(x)=x-x-2。联立两个式子,可以解得f(x)=x-2,g(x)=x。15.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且函数f(x)在[0,1)上单调递减,并满足f(2-x)=f(x),若方程f(x)=-1在[0,1)上有实数根,求该方程在区间[-1,3]上的所有实根之和。解:由f(2-x)=f(x)可知函数f(x)的图像关于直线x=1对称,又因为函数f(x)是奇函数,则f(x)在(-1,1)上单调递减。根据函数f(x)的单调性,方程f(x)=-1在(-1,1)上有唯一的实根。根据函数f(x)的对称性,方程f(x)=-1在(1,3)上有唯一的实根。这两个实根关于直线x=1对称,故两根之和等于2。16.已知定义域为R的函数f(x)=(x+1)/(2+a)是奇函数。(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若对任意的t∈R,不等式f(t-2t)+f(2t-k)<0恒成立,求k的取值范围。解:(Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即b=1。又因为f(1)=-f(-1),所以(a+3)/(2+a)=-(a-1)/(2+a),解得a=2。因此,a=2,b=1。(Ⅱ)将f(x)代入不等式f(t-2t)+f(2t-k)<0中,得到(t-2t+1)/(2+a)+(2t-k+1)/(2+a)<0,化简可得3t^2-2t-k>0。因为f(x)是减函数,所以不等式左边的二次函数在t取正值时取得最小值,最小值为-(k-1)/3。因此,-(k-1)/3>0,解得k<1。1.已知函数f(x)=ax+2x是奇函数,则实数a=0。解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),代入函数表达式得到a=0。2.设函数f(x)=x(e+ae)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为-1。解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),代入函数表达式得到a=-1。3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且{x|f(x)>0}={x|1<x<3},则f(π)+f(-2)与0的大小关系是负号。解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),代入已知得f(π)<0,f(-2)=-f(2)<0,所以f(π)+f(-2)<0。4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为5,则f(x)在区间[-7,-3]上是增函数且最大值为-5。解析:根据奇函数的性质,可知f(-x)=-f(x),所以f(x)在[-7,-3]上的最大值为-5。同时,因为f(x)在[3,7]上是增函数,所以f(-x)=-f(x)在[-7,-3]上也是增函数。5.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=1,则不等式f(x)-f(-x)>0在区间(0,+∞)上恒成立。解析:根据奇函数的性质,可知f(-x)=-f(x),所以f(x)-f(-x)=2f(x)。因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)>f(1)=1,所以2f(x)>2,即f(x)-f(-x)>0。因此不等式在区间(0,+∞)上恒成立。1.解析由f(x)为奇函数,则不等式化为xf(x)<0。可以用图象法或特值法求解,得到答案为(-1,0)∪(0,1)。2.根据题目中给出的条件,可以推出f(x)的周期为2。因此f(3)=f(1)=-1。3.根据题目中给出的递推式,可以得到f(2011)(x)=f(3)(x)。而f(3)(x)可以通过f(1)(x)和f(2)(x)求得,f(1)(x)=-1/(x+1),f(2)(x)=x。因此f(3)(x)=-1/(x+1)。所以f(2011)(x)=-1/(x+1)。4.(1)根据题目中给出的条件,可以得到f(x)=f(4-x)=f(14-x)。因此f(x)的周期为10。(2)因为f(1)=f(3)=0,而f(x)是周期函数,所以在区间[0,10]和[-10,0]上都有两个解。因此在[0,2005]上有402个解,在[-2005,0]上也有400个解。所以在[-2005,2005]上有802个解。5.选D。题目中给出的函数可以化简为f(x)=(x-1)/(1+x),因此f(-1)=0。由于f(x)是一个连续函数,因此在区间[-1,1]上至少有一个根。而f(0)=-1,f(1)=1/2,因此在区间[0,1]上有且仅有一个根。因此在区间[-1,1]上有且仅有一个根。二、解答题1.解析见上面。2.(1)根据题目中给出的条件,可以得到f(x)=f(4-x)=f(7+x)。因此f(x)的周期为10。(2)因为f(1)=f(3)=0,而f(x)是周期函数,所以在区间[0,10]和[-10,0]上都有两个解。因此在[-2005,0]上有400个解,在[0,2005]上也有402个解。所以在[-2005,2005]上有802个解。1.请改正文章中的格式错误并删除明显有问题的段落,改写每段话:⑴已知$y_1=\frac{1}{x+1-x-1}$,$y_2=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}$。⑵已知$y_1=\frac{y}{x+1-x-1}$,$y_2=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}$。⑶已知$f(x)=x$,$g(x)=\frac{x^4-x^3}{x^3-x}$,$F(x)=\frac{x^3}{x-1}$。⑷已知$f_1(x)=(2x-5)^2$,$f_2(x)=2x-5$。2.函数$y=f(x)$的图象与直线$x=1$的公共点数目是1。3.已知集合$A=\{1,2,3,k\}$,$B=\{4,7,a,4,a^2+3a\}$,且$a\in\mathbb{N}$,$x\inA$,$y\inB^*$。使$B$中元素$y=3x+1$和$A$中的元素$x$对应,则$a=2$,$k=5$。4.函数$y=\frac{x-1}{x(x-1)}$的定义域是$(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。5.为了得到函数$y=f(-2x)$的图象,可以把函数$y=f(1-2x)$的图象沿$x$轴向右平移$\frac{1}{2}$个单位。6.函数$f(x)=\begin{cases}x-2,&(x\geqslant10)\\f[f(x+6)],&(x<10)\end{cases}$,则$f(5)=11$。二、填空题1.若$f(a)>a$,则实数$a$的取值范围是$(0,1)\cup(1,+\infty)$。2.函数$y=\frac{x-2}{x^2-4}$的定义域是$(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)$。3.函数$f(x)=\frac{3}{x-1}$的定义域是$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。4.函数$y=\frac{x-1}{x^2-x}$的定义域是$(-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$。5.函数$f(x)=x+\frac{1}{x}-1$的最小值是1。三、解答题1.函数$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$的定义域为$(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$。2.首先求出函数$y=x^2+x+1$的顶点坐标$(\frac{-1}{2},\frac{3}{4})$,然后可以得到函数的值域为$\left[\frac{11}{4},+\infty\right)$。3.由韦达定理可得$x_1+x_2=2(m-1)$,$x_1x_2=m+1$,因此$y=x_1+x_2=2(m-1)+\frac{m+1}{x_1}$。又因为$x_1$和$x_2$是实数,所以$m+1>0$,即$m>-1$。又因为$x_1+x_2$的值不小于$2\sqrt{x_1x_2}=2\sqrt{m+1}$,所以$m-1\geqslant\sqrt{m+1}$,解得$m\geqslant3$。因此$f(m)=2(m-1)+\frac{m+1}{\sqrt{m+1}}$,定义域为$[3,+\infty)$。4.函数$f(x)=\frac{ax-2a}{x^2-3x+2}$,因此$f'(x)=\frac{a(2x-3)(x-1)}{(x-1)^2(x-2)}$。由于$f(x)$在$[1,3]$上有最大值和最小值,因此$f'(x)$在$[1,3]$上有两个零点$x_1=1$和$x_2=\frac{3}{2}$。又因为$f(x)$在$[1,3]$上有最大值5和最小值2,因此$a=3$,$b=1$。函数值单调递减,则f(0)与f(2)的大小关系是()A.f(0)f(2)B.f(0)f(2)C.f(0)f(2)D.无法确定3.已知函数f(x)ax3bx2cxd的图象过点(1,2),(0,1),(1,0),且a0,则f(2)的值为()A.5B.3C.1D.34.函数f(x)的定义域为R,值域为[1,1],且f(x)f(2x),则f(x)的一个可能的解析式是()A.sinxcosxB.sinxcosxC.cosxsinxD.cosxsinx5.已知函数f(x)ax2bxc的图象过点(1,2),(0,1),(1,0),则函数f(x)的值域为[3,2],则abc=()A.1B.0C.1D.26.已知函数f(x)x2axb,若f(x)0(xR),且f(1)0,则f(2)()A.2B.6C.10D.14二、填空题1.若函数f(x)x1(x1)x21(x1)2x1(x1),则f(f(x))=.2.函数f(x)x1x1的值域是().3.已知函数f(x)x22axa2a1的值域是[0,2],则实数a的取值范围是().4.若函数f(x)的定义域为[5,5],值域为[0,4],则函数f(x2)的值域为().5.已知函数f(x)x3ax2bxc,若f(1)0,f(0)1,f(1)2,则abc=().三、解答题1.已知函数f(x)ax3bx2cxd,且f(1)0,f(0)1,f(1)2,f(2)5,求函数f(x)的解析式.2.函数y2x2的图象与x轴交于A,B两点,点C在y轴上,且AC,BC分别与x轴交于点P,Q,求证:PQ的长度不随C点的位置而变化.3.已知函数f(x)x3ax2bxc,且f(1)0,f(2)1,f(4)3,求函数f(x)的解析式.1.当$x\in(-\infty,-2)$时,$f(x)$的解析式为()$$f(x)=\frac{x-2x}{x+2x}=-\frac{1}{3}x$$2.函数$y=\frac{x}{x+1}$的图像是()3.若函数$y=x-3x^2-4$的定义域为$[0,m]$,值域为$[-4,25]$,则$m$的取值范围是$[\frac{1}{3},4]$。4.若函数$f(x)=x$,则对任意实数$x_1,x_2$,下列不等式总成立的是$f(1)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。5.函数$f(x)=\begin{cases}2x-x^2&0\leqx\leq3\\x+6&-2\leqx<0\end{cases}$的值域是$[-9,+\infty)$。二、填空题1.满足条件的实数$a$组成的集合是$\{2\}$。2.函数$f(x-2)$的定义域为$[2,3]$。3.当$x=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$时,函数$f(x)=(x-a_1)+(x-a_2)+\cdots+(x-a_n)$取得最小值。4.这个二次函数的解析式为$f(x)=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}x+2$。5.已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2+1&x\leq0\\-2x&x>0\end{cases}$,若$f(x)=10$,则$x=-\sqrt{3}$。三、解答题1.解:将函数$f(x)$化简得$f(x)=(m-1)(x+\frac{m-2}{2(m-1)})^2+\frac{m^2-7m+12}{4(m-1)}$。因为$f(x)$为偶函数,所以有$f(-x)=f(x)$,即$(m-1)(-x+\frac{m-2}{2(m-1)})^2+\frac{m^2-7m+12}{4(m-1)}=(m-1)(x+\frac{m-2}{2(m-1)})^2+\frac{m^2-7m+12}{4(m-1)}$。将两边化简得$mx^2+(2-m)x+m-2=0$。因为$f(x)$的值域为实数集,所以判别式$\Delta=(-2+m)^2-4m(m-2)\geq0$。解得$m\in\{1,4\}$。当$m=1$时,函数$f(x)=\frac{1}{3}x$,为奇函数,与题意不符。当$m=4$时,函数$f(x)=3x^2-6x+3$,为偶函数,符合题意。所以$m=4$。2.解:因为$x+1>0$,所以函数$y=\frac{x+1}{2x-x^2}$的定义域为$(0,2)$。令$y=\frac{x+1}{2x-x^2}$,解得$x=\frac{1}{y-2}$。因为$x\in(0,2)$,所以$y\in(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(2,+\infty)$。所以函数$y=\frac{x+1}{2x-x^2}$的值域为$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(2,+\infty)$。3.解:因为$f(ax+b)=x+10x+24=(a+10)x+(b+24)$,所以有$\begin{cases}a+10=1\\b+24=4\end{cases}$,解得$a=-9,b=-20$。所以$5a-b=35$。4.解:因为$f(x)=(5-a)x^2-6x+a+5>0$,所以判别式$\Delta=(-6)^2-4(5-a)(a+5)\leq0$。解得$a\in(-\infty,1]\cup[5,+\infty)$。因为$a>0$,所以$a\in(5,+\infty)$。2.若偶函数f(x)在$(-\infty,-1]$上是增函数,则下列关系式中成立的是()。A.$f(-\frac{3}{2})<f(-1)<f(2)$B.$f(-1)<f(-\frac{3}{2})<f(2)$C.$f(2)<f(-1)<f(-\frac{3}{2})$D.$f(2)<f(-\frac{3}{2})<f(-1)$答案:A。改写后:偶函数$f(x)$在$(-\infty,-1]$上单调递增,则有$f(-\frac{3}{2})<f(-1)<f(2)$。3.如果奇函数$f(x)$在区间$[3,7]$上是增函数且最大值为5,则$f(x)$在区间$[-7,-3]$上是()。A.增函数且最小值是$-5$B.增函数且最大值是$-5$C.减函数且最大值是$-5$D.减函数且最小值是$-5$答案:B。改写后:奇函数$f(x)$在区间$[3,7]$上单调递增且最大值为5,则在区间$[-7,-3]$上单调递增且最大值为$-5$。4.设$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的一个函数,则函数$F(x)=f(x)-f(-x)$在$\mathbb{R}$上一定是()。A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案:B。改写后:设$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的一个函数,则函数$F(x)=f(x)-f(-x)$是一个偶函数。5.下列函数中,在区间$(0,1)$上是增函数的是()。A.$y=x$B.$y=3-x$C.$y=\frac{1}{x}$D.$y=-x^2+4$答案:C。改写后:区间$(0,1)$上的增函数为$y=\frac{1}{x}$。1.设奇函数$f(x)$的定义域为$[-5,5]$,若当$x\in[0,5]$时,$f(x)$的图象如右图,则不等式$f(x)<0$的解是$(-5,-1)\cup(0,1)$。2.函数$y=2x+x^2-1-x$的值域是$[-\frac{3}{4},+\infty)$。$x+2-\frac{1}{1-x}$的值域是$(-\infty,-\frac{3}{4})\cup(1,+\infty)$。3.已知函数$y=x+1+2x$,求其值域。由于函数单调递增,所以其最小值为$f(-1)=0$,最大值为$f(+\infty)=+\infty$,因此值域为$(0,+\infty)$。4.已知函数$f(x)=x^2+2ax+2$,二次函数$y=ax^2+bx+c$的$k$值为$2a$。①当$a=-1$时,函数的最大值为$3$,最小值为$1$。1.求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数。解析:若y=f(x)在[-5,5]上是单调函数,则f(x)在[-5,5]上单调递增或单调递减。根据导数的定义,f(x)在[-5,5]上单调递增或单调递减等价于f'(x)在[-5,5]上恒不小于0或恒不大于0。由题得,f(x)可表示为f(x)=ax+b,其中a和b为常数。则f'(x)=a,恒不小于0或恒不大于0等价于a恒不小于0或恒不大于0。当a>0时,f(x)在[-5,5]上单调递增。此时,f(-5)≤f(5)即-5a+b≤5a+b,解得a≥0。当a<0时,f(x)在[-5,5]上单调递减。此时,f(-5)≥f(5)即-5a+b≥5a+b,解得a≤0。综上所述,实数a的取值范围为a≤0或a≥0,即a∈R。2.已知函数f(x)=4x-kx-8在[5,8]上是单调函数,则k的取值范围是多少?解析:由题意,f(x)=4x-kx-8在[5,8]上是单调函数,即f(x)在[5,8]上单调递增或单调递减。根据导数的定义,f(x)在[5,8]上单调递增或单调递减等价于f'(x)在[5,8]上恒不小于0或恒不大于0。由f(x)=4x-kx-8可得f'(x)=4-k。因此,f(x)在[5,8]上单调递增或单调递减等价于4-k恒不小于0或恒不大于0。当4-k≥0时,f(x)在[5,8]上单调递增。此时,f(5)≤f(8)即9k-28≤12k-44,解得k≤8。当4-k≤0时,f(x)在[5,8]上单调递减。此时,f(5)≥f(8)即9k-28≥12k-44,解得k≥40。综上所述,k的取值范围为k≥40或k≤8,即k∈(-∞,8]∪[40,+∞)。3.函数y=x+1-x-1的值域为多少?解析:将y=x+1-x-1化简,得y=(x+1)/(x-1)。由于x-1≠0,因此y的定义域为R-{1}。当y=0时,x+1=0,解得x=-1。因此,0∉y的值域。当y>0时,x+1和x-1同号,即x>1或x<-1。此时,y>0。当y<0时,x+1和x-1异号,即-1<x<1。此时,y<0。当y=1时,x+1=x-1,解得x=1。因此,1∈y的值域。综上所述,函数y=x+1-x-1的值域为R-{0}。4.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是多少?解析:由题意,f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,即f(x)在(-∞,4]上单调递减。根据导数的定义,f(x)在(-∞,4]上单调递减等价于f'(x)在(-∞,4]上恒不大于0。由f(x)=x2+2(a-1)x+2可得f'(x)=2x+2(a-1)。因此,f(x)在(-∞,4]上单调递减等价于2x+2(a-1)≤0,即x+a-1≤0。当x=4时,f(x)取得最小值,即f(4)=16+8(a-1)+2=8a+18。因此,当x≤4时,f(x)≤8a+18,即f(x)的上界为8a+18。由于f(x)在(-∞,4]上单调递减,因此f(4)为f(x)在(-∞,4]上的最大值。由此可得8a+18≤f(-∞)=+∞,解得a≤5。综上所述,实数a的取值范围为a≤5。5.下列四个命题中,正确命题的个数是多少?(1)函数f(x)在x>0时是增函数,x<0也是增函数,所以f(x)是增函数;(2)若函数f(x)=ax2+bx+2与x轴没有交点,则b-8a<0且a>0;(3)y=x-2/x-3的递增区间为[1,+∞);(4)y=1+x和y=1+x表示相等函数。解析:(1)错误,函数f(x)在x>0时是增函数,x<0时不一定是增函数,因此不能得出f(x)是增函数的结论。(2)正确,由f(x)=ax2+bx+2与x轴没有交点可得,当a>0时,f(x)的图像开口向上,因此b-8a<0。又因为a>0,因此a>0也成立。(3)正确,y=x-2/x-3可化简为y=1+5/(x-3),当x>3时,y单调递增。因此,递增区间为[1,+∞)。(4)错误,y=1+x和y=1+x表示同一函数,而不是相等函数。综上所述,正确命题的个数
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