2021年江苏省泰州市中考数学模拟试卷

2021年江苏省泰州市中考数学模拟试卷（四）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1.与一2的乘积为1的数是（）

A.2B.-2C.之

2.与夜最接近的整数是（）

A.1B.2C.3D.4

3.某青少年篮球队有12名队员，队员的年龄情况统计如下:

年龄（岁）1213141516

人数31251

则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（）

A.15岁和14岁B.15岁和15岁C.15岁和14.5岁D.14岁和15岁

4.点P（a,b）在函数y=3x+2的图象上，则代数式6a—2b+1的值等于（）

A.5B.3C.—3D.-1

5.如图，半径为10的扇形AO8中，^AOB=90。，C为触上

一点，CD1OA,CE1OB,垂足分别为D、E.若"DE为

36°,则图中阴影部分的面积为（）

A.107r

B.9兀

C.8兀

D.67r

6.如图，△力BC和ADEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC,EF在同一条直

线/上，点C,E重合.现将AABC在直线/向右移动，直至点B与尸重合时停止

移动.在此过程中，设点C移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则

y随x变化的函数图象大致为（）

D

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7.已知〃、。是相邻的两个正整数，且则a+b的值是

8.分解因式：2/—8x+8=.

9.如图，将矩形A8CZ）的四个角向内折起，恰好拼成一个无

缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12厘米,EF=16厘米,

则边的长是.

10.如图，在AABC中，AB=AC,点。在BC上（不与点8,C重合）.

只需添加一个条件即可证明△ABD*ACD,这个条件可以是

（写出一个即可）.

11.从数一2,1,2,5,8中任取一个数记作晨则正比例函数y=kx的图象经过第二、

四象限的概率是.

12.若一次函数y=x的图象与反比例函数y=?的图象相交于点4（%1，yj、B（x2,y2）＞

贝！lOi+为）+（上+丫2）的值为-

13.如图，圆锥的底面半径为5CTO,侧面积为55兀＜7根2,设圆锥的母

线与高的夹角为a,贝ijsina的值为.

第2页，共27页

14.如图，nABC。中，乙DAB=60°,AB=6,BC=2,P为边C£）上的一动点，则PB+

当PD的最小值等于一

15.某商场对顾客实行这样的优惠规定：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一

次购物超过200元，不超过500元，则按标价给予九折优惠；若一次购物超过500

元，其中500元按上述九折优惠外，超过500元的部分给予八折优惠.某人两次购物

分别付款198元和423元,如果他合起来一次购买同样的商品,那么他可节约

元.

16.如图所示，在平面直角坐标系X。），中，一组同心圆的圆心为坐标原点O,它们的半

径分别为1,2,3,…，按照“力口1”依次递增；一组平行线，/0,512,%，…都

与x轴垂直，相邻两直线的间距为/,其中，0与），轴重合若半径为2的圆与，1在第一

象限内交于点匕，半径为3的圆与。在第一象限内交于点P2,…，半径为n+1的圆

与。在第一象限内交于点心,则点%的坐标为.（n为正整数）

三、计算题(本大题共1小题，共12.0分)

17.(1)计算：(3.14-7T)0+(-1)-2+11-V8|-4cos45°；

4(%+1)+3>x

x-4vX-5的正整数解.

{——~

四、解答题(本大题共9小题，共90.0分)

18.先化简,再求值：(点%+上)+号,其中满足E+|b-V3|=0.

19.“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经

典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读

活动中，对全校学生用A、B、C、。四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进

行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

(1)共抽取了多少个学生进行调查？

(2)将图甲中的折线统计图补充完整.

(3)求出图乙中8等级所占圆心角的度数.

第4页，共27页

20.一个不透明的口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的球.已知红球

的个数比黑球的2倍多40个，.

(1)求袋中红球的个数；

在“①从袋中任取一个球是白球的概率是强”，“②从袋中任取一个球是黑球的

概率是段”这两个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并解答问题.(注：如果

选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

(2)求从袋中任取一个球是黑球的概率.

21.“今有善行者行一百步，不善行者行六十步(出自仇章算术少)意思是：同样时

间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步.假定两者步长相等，据

此回答以下问题：

(1)今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两

者几步之隔？即；走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再

走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？

(2)今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200

步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？

22.如图，AB=AC=6,4BAC为锐角，CD//AB.

⑴在直线C，上求作点P,使448P=写出作法，并说明作图理由;

(2)若NB4C=45。，求线段PC的长.

23.如图，△力BC内接于。0,点。在。。上，且0D1BC,垂足为H,连接。C.

(1)求证：乙BCD

(2)延长AB到点E,使EB=4C,连接DE.若OE与。。相切，试判断四边形BCDE

的形状，并说明理由.

第6页，共27页

24.如图，在oABCQ中，AB=5,BC=10,sinB=p/-------------7D

点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿着8tRZ____________/

oC

C-D-4的方向运动到点A时停止，设点P运动的

时间为ts.

(1)连接AC,判断△ABC是否是直角三角形，试说明理由；

(2)在点P运动的过程中，若以点C为圆心、PC长为半径的OC与40边相切，求

，的值；

(3)在点尸出发的同时，点。以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着C-D-A

的方向运动，当尸、。中的一点到达终点A时、另一点也停止运动.求当BP1.。(2时

f的值.

25.已知：关于x的二次函数y=-炉+ax(a>0),点4(科为)、B(n+l,y2)'C(n+

2,、3)都在这个二次函数的图象上，其中"为正整数.

(l)yi=y2>请说明a必为奇数；

(2)设a=11,求使为W及W为成立的所有〃的值；

(3)对于给定的正实数a,是否存在〃，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如

果存在，求"的值(用含“的代数式表示)；如果不存在，请说明理由.

26.如图1,边长为1的正方形A8CD被两条与边平行的线段EF、GH分割成两个小矩

形，EF与GH交于点、P,ZkGBF的周长为根.

(2)当机满足什么条件时，矩形的面积是一个与满足条件的点G、F位置无

关的常数？

(3)在图2中作出符合(2)中要求的其中一个△BGF.

第8页，共27页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：1+(―2)=—：.

故选：D.

根据因数等于积除以另一个因数计算即可得解.

本题考查了有理数的除法，是基础题，熟练掌握因数、因数和积的关系是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：•••6.25<7<9,

二2.5<小<3>

则与夜最接近的整数是3.

故选：C.

利用算术平方根的性质估算确定出所求即可.

此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：在这12名队员的年龄数据里，15岁出现了5次，次数最多，因而众数是

15

12名队员的年龄数据里，第6和第7个数据的平均数为吟竺=14.5,因而中位数是14.5.

故选：C.

根据众数和中位数定义即可求解.

本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中

位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇

数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

4.【答案】C

【解析】解：•.・点P(a,b)在函数y=3x+2的图象上，

b=3a+2,

贝ij3a-b=-2.

:6Q—2b+1=2(3a—h)+1=—4+1=-3

故选：c.

把点尸的坐标代入一次函数解析式，得出3a-b=2.代入2(3a-b)+1即可.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上.

5.【答案】A

【解析】解：连接0C,

•••AAOB=90°,CD10A,CE10B,

.••四边形CDOE是矩形,

CD//OE,

乙DEO=4CDE=36°,

由矩形80E易得到△DOENACEO,

乙COB=乙DEO=36°

•••图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积,

36-TTX102

S扇形OBC=而=]07T

・•・图中阴影部分的面积=107T,

故选：A.

连接0C,易证得四边形CDOE是矩形，则AOOE三ACE。,得至此COB=/.DEO=

乙CDE=36。，图中阴影部分的面积=扇形08c的面积，利用扇形的面积公式即可求得.

本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形08c的面积等于阴影的面

积是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：如图1所示：当0<x<2时，过点G作GHLBF于”.

•••△48。和4OEF均为等边三角形,

GEJ为等边三角形.

G「Hrr=—V3EJ=­y/3x，

2J2

.-.y=^EJ-GH=^x2.

第10页，共27页

当％=2时，y=y/3,且抛物线的开口向上.

如图2所示：2<工44时，过点G作GH1BF于从

同理，AFGJ为等边三角形.

而F/=4-x,

.•.y=：F/-G//=¥(4—x)2,函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上.

故选：A.

分为0<x<2、2<x44两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式

可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案.

本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键.

7.【答案】11

【解析】解：1.19<11<16,

•••3<VT1<3.5，即5<2al-1<6,

•••a.b是相邻的两个正整数，且

•••a=5,6=6,

则a+b=5+6=ll.

故答案为：11.

估算确定出JIT的范围，进而确定出。与6的值，即可求出a+b的值.

此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键.

8.【答案】2(x-2)2

【解析】解：原式=2(/-4尢+4)

=2(x-2)2.

故答案为2(x-2)2.

先提公因式2,再用完全平方公式进行因式分解即可.

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，是基础知识要熟练掌握.

9.【答案】20厘米

【解析】解：V/.HEM=Z.AEH,乙BEF=4FEM,

•••4HEF=4HEM+Z.FEM=1x180°=90°,

2

同理可得：4EHG=4HGF=乙EFG=90°,

二.四边形EFG”为矩形，

AD=AH+HD=HM+MF-HF,HF=y/EH2+EF2=V122+162=20,

AD=20厘米.

故答案为：20厘米.

利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得H尸的长

即为边AD的长.

此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识,得出四边形EFGH为矩形是解题

关键.

10.【答案】BD=CD(答案不唯一)

【解析】解：AB=AC,

•••乙ABD=Z.ACD,

添加BD=CD,

.•.在△4BD与△力CD中

(AB=AC

\/.ABD=Z.ACD,

(BO=CD

*,•△ABDmAACD(^SAS')»

故答案为：BD=CD(答案不唯一).

由题意可得乙4BC=N4CD,AB=AC,即添加一组边对应相等，可证△4BD与△4CD全

等.

本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键.

11.【答案】1

【解析】解：・.・从数一2,1,2,5,8中任取一个数记作鼠有5种情况，

其中使正比例函数y=依的图象经过第二、四象限的々值只有1种，即k=-2,

二满足条件的概率为:

第12页，共27页

故答案为M

从数—2,1,2,5,8中任取一个数记作火，有5种情况，其中使正比例函数y=依的图

象经过第二、四象限的人值只有1种，根据概率公式求解即可.

本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.也考查了

正比例函数的性质.

12.【答案】0

【解析】解：•.•一次函数y=x的图象与反比例函数y=:的图象相交于点a（xi，yi）、

BQ2J2），

.•.点4Qi，yi）、B（%2，V2）关于原点对称，

%1+%2=0，71,+）2=0,

•••01+ya+（&+y2）=（/+%2）+（yi+丫2）=0，

故答案为o.

根据正比例函数和反比例函数的对称性，即可得出点4。1，%）、8。2，乃）关于原点对称，

即可得出工1+%2，=0，丫1+丫2=0.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的对称

性是解题的关键.

13.【答案】《

11

【解析】解：设圆锥的母线长为/,

根据题意得之x2nx5x/=55万，解得I=11,

所以sina=*

故答案为高.

设圆锥的母线长为/,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面

的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到；x2TTx5x/=55?r,解得

/=11,然后根据正弦的定义求解.

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的

周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

14.【答案】3V3

【解析】解：如图，过点尸作PE140,交AO的延长线于点区

・・•AB//CD

・•・乙EDP=^DAB=60°,

：•sinZ-EDP=--=—

DP2

：・EP=­PD

・•・PB+—PD=PB+PE

二当点B,点P,点E三点共线且BE14。时，PB+PE有最小值，即最小值为BE,

BEV3

cin/21==

•••BE=3V3

故答案为3H

过点P作PE14。，交A。的延长线于点E,有锐角三角函数可得EP=3PD,即PB+

2

-PD=PB+PE，则当点8,点尸，点E三点共线且BE14。时，PB+PE有最小值,

2

即最小值为BE.

本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，锐角三角函数的性质，

15.【答案】36.6或19

【解析】解：付款198的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣负款，

则商品的标价为198元；付款198的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过

500元，按标价给予九折优惠负款，则标价为198+0.9=220（元）；

付款423的商品没有超过500x0.9=450,只能按规定：若一次购物超过200元，不超

过500元，按标价给予九折优惠负款，则商品的标价为423+0.9=470（元），

所以某人两次购物分别付款198元和423元的商品的总标价为198+470=668（元）或

220+470=690（元），

当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按

第14页，共27页

上述九折优惠之外，超过500元部分给予八折优惠进行付款.

总标价为668元应实际付款数=500X0.9+（668-500）X0.8=584.4（元）,则他可节

约（198+423）-584.4=36.6（元）；

总标价为690元应实际付款数=500X0.9+（690-500）X0.8=602（元），则他可节约

（198+423）-602=19（元）.

故答案为36.6或19.

分类讨论：根据题意有付款198的商品可按规定：每一次购物不超过200元，则不予折

扣负款，则商品的标价为198元；也可按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，

按标价给予九折优惠负款，可计算出标价为198+0.9=220元；而付款423的商品没有

超过500x0.9=450,只能按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给

予九折优惠负款，则商品的标价为423+0.9=470元，于是得到两次购物分别付款198

元和423元的商品的总标价为198+470=668（元）或220+470=690（元），

若合起来一次购买同样的商品，则按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述

九折优惠之外，超过500元部分给予八折优惠进行付款.可计算出总标价为668元应实

际付款数=500x0.9+（668-500）x0.8=584.4（元）；总标价为690元应实际付款数

=500X0.9+（690-500）x0.8=602（元），然后把两次购物分别付款198元和423元

的和分别减去合起来一次购买同样的商品的付款数，即可得到他节约的钱数.

本题考查了分类讨论的思想的运用：分析实际付款可按不同方式打折.也考查了实际生

活中的折扣问题.

16.【答案】（n,@m）

【解析】解：连接。Pi，OP2,OP3,h、4片与

x轴分别交于&、々、43,如图所示：

在RtAOAiPi中，。&=1,0Pl=2,

41Pl=y/OPy—OA1—V22—l2—塞,

同理：A2P2=A/32-22=V5，A3P3=

V42—32=V7>.......

・•.Pi的坐标为（1,遮），的坐标为（2,右），P3的

坐标为（3,夕），.，

...按照此规律可得点匕的坐标是（n,J（n+1产_浓）,即（n,V2n+1）

故答案为：（珥,2n+1）.

连OP],0P2,OP3,匕、%、0与x轴分另I交于41、42、鼻3,在RtAOAiPi中，。人1=1,

0P1=2,由勾股定理得出&P1="用一。房=遮，同理：A2P2=V5.43P3=V7,

...得出Pl的坐标为(1,国)，P2的坐标为(2,遮)，的坐标为(3,夕)，……，得出规律，

即可得出结果.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了勾股定理；由题意得

出规律是解题的关键.

17.【答案】解：(1)原式=1+4+2V2—1—4x

=1+4+272-1-2^2

=4；

(4(x+l)+3>x①

(2)三②，

由不等式①得：X>-|,

由不等式②得：x<2,

二不等式组的解集为一：<x<2,

其中正整数为1、2.

【解析】(1)根据实数的混合运算顺序和法则计算可得；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、

大大小小无解了确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组和实数的混合运算，正确求出每一个不等式解集是基

础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此

题的关键.

18.【答案】解：

Ka2-2ab+b2b-aya2-ab

_,a2-b2a(a-b\a(a-b')

1-(a-b)2(a-b)2」b2'

_b(a-b')a(a-b')

(a-b)2b29

_a

b

■■a,Z?满足Va+1+|Z?-V3|=0.

•••a+1=0,b—V3=0，解得a——1,b=V3，

第16页，共27页

把a=—1,b=V3,代入原式='=—/.

【解析】先化简，再求出m方的值代入求解即可.

本题主要考查了了分式的化简求值及非负数的性质.解题的关键是求出。，匕的值.

19.【答案】解：（1）10+1人数

25r

20%=50,

行调查；10…••…!……\IBy\

（2）B等级的人数=50—5H一一:…一二）\I/

15-10-5=20（A）,AB。D寺级

甲乙

画折线统计图；

（3）图乙中B等级所占圆心角的度数=360。x|^=144。.

【解析】（1）用C等级的人数除以C等级所占的百分比即可得到抽取的总人数；

（2）先用总数50分别减去A、C、。等级的人数得到8等级的人数，然后画出折线统计

图；

（3）用360。乘以B等级所占的百分比即可得到B等级所占圆心角的度数.

本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各

点，然后把各点用线段依次连接起来.以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化;

折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况.也考

查了扇形统计图.

20.【答案】①从袋中任取一个球是白球的概率是以

【解析】解：（1）选择条件①：

290x/=10（个），

290-10=280（个），

（280-40）+（2+1）=80（个），

280-80=200（个）.

答：袋中红球的个数是200个.

（如果选择条件②：

•••一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的球，从袋中任取一个球

是黑球的概率是畀

•••黑球的个数为：290x£=80(个)，

80x2+40=200(个).

答：袋中红球的个数为200个.

故答案为：①从袋中任取一个球是白球的概率是高(或②从袋中任取一个球是黑球的概

率是分

(2)80+290=黑

答：从袋中任取一个球是黑球的概率是白.

(1)选择条件①：先根据概率公式求出白球的个数为10,进一步求得红、黑两种球的个

数和为280,再根据红球个数比黑球的2倍多40个，可得黑球个数为(280-40)+(2+

1)=80个，进一步得到红球的个数；

选择条件②：直接根据从袋中任取一个球是黑球的概率是最，得出黑球的个数，进而利

用红球的个数比黑球的2倍多40个，求出答案；

(2)利用黑球个数除以总数得出答案.

本题考查了概率公式.如果一个事件有"种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事

件A出现机种结果，那么事件A的概率PQ4)=：.

21.【答案】解：(1)设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，

由题意得：x：600=100：60,

x=1000,

A1000-600-100=300,

答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步；

(2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，

由题意得y=200+孤y,

解得y=500,

答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人.

第18页，共27页

【解析】(1)设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，

走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步.列方程求解即可；

(2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100

步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解.

本题考查了应用一元一次方程求解古代行程数学问题.

22.【答案】解：(1)作法：NBAC的平分线，作A8的垂直平分线，两线交于Q点，延

长BQ交CQ于P,

•••E点在AB的垂直平分线上，

・•・EA—EB,

・•・乙EAB=Z.EBA；

(2)过B点作BQ1AC于Q,过E点作EH1AB于如图,

AE=&EH，

•••AB=AC,Z.BAC=45°,

乙ACB=/.ABC=67.5°,

而NBEC=〃+乙ABE=45°+jx45°=67.5°,

:.BC=BE,

vBQLCE,

AQE=QC,即平分NCBE,

・・•乙EBQ=22.5°,乙HBE=22.5°,

・•.EH=EQ,

:.AE：EC=V2：2,

vPC//AB,

.AB_AE_y[2

»•----=---------9

PCEC2

...PC=专x6=6V2.

【解析】(1)作AB的垂直平分线交AC于E,延长BE交CQ于P；

(2)过B点作BQ14c于。，过E点作EH14B于4,如图，利用〃=45。得到4E=五EH,

再计算N2CB=4ABC=4BEC=67.5。，则BC=BE,所以BQ1CE,QE=QC,BQ

平分4CBE,接着计算出NEBQ=4HBE=22.5。，所以EH=EQ,然后利用相似比计算

出PC的长.

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结

合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

23.【答案】解：(1)证明：如图，连接。3,0C,

v0D1BC,

・•・BD=DC=-BC

29

・•・Z-BCD=-/LBAC；

2

(2)四边形BCQE是平行四边形，理由如下:

如图，连接BDAO,

・・・。七与0。相切，

：•0D1DE,

v0D1BC,

・•・BC//DE,

第20页，共27页

根据圆内接四边形性质可知：乙DBE=ZDC/1,

在△D8E和△ACD中，

EB=AC

Z-DBE=Z-ACD，

BD=CD

•••△QBE三△4C7)(S4S),

・•・zJBED=Z.DAC,

•・・BC//DE,

:.乙BED=Z-ABC=乙DAC,

:.AC=DC,

■：BD=DC>

・•・乙BCD=Z-CBD=乙ABC,

・•・EB//CD,

・・•BC//DE,

四边形BCDE是平行四边形.

【解析】（1）如图，连接08,0C,根据垂径定理即可证明结论；

（2）连接8。，AD,根据切线的性质可得。。IDE,根据圆内接四边形性质可得NDBE=

/.DCA,然后证明ADBE三△4CD,再根据圆周角定理即可证明结论.

本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的

关键是掌握切线的性质.

24.【答案】解：（1）A4BC不是直角三角形.理由：

如图，过点4作力E1BC于E,

4

sinB=g,AB=5,

・•・AE=AB-sinB=4.

・•・BE=y/AB2-AE2=3.

：・EC=BC-BE=7.

・•・AC2=AE2+EC2=42+72=65.

:.AC=A/65-

4

vsinB=-<1,

乙B<90°.

vAB=5,AC=V65>

AB<AC.

乙ACB<乙B.

：.4ACB<90°.

•••AB2+AC2=25+65=90,

BC2=102=100,

•••AB2+AC2<BC2

^BAC>90°.

综上，A/WC不是直角三角形.

(2)点P运动的过程中，以点C为圆心、PC长为半径的0C与A。边相切，有三种情形:

①如图，当点尸在5c边上时，过A作力Ed.BC于E,过C作CF1AD于尸，

由(1)知，AE=4,CF=AE=4.

二以点C为圆心、PC长为半径的OC与AZ)边相切时，半径为4.

PC=4.

BP=BC-PC=6.

二t=6+2=3(s).

②如图，当点尸在CD边上时，过A作4E1BC于E,过C作CF14D于F,

由①知：CF=AE=4.

PC=4.

二点尸移动的距离为BC+PC=10+4=14.

二t=14+2=7(s).

③如图，当点尸在4。边上时，过A作力ELBC于E,过C作CFJ.AD于F,

由①知：CF=AE=4.此时，以点C为圆心、PC长为半径的OC与AO边相切，P与F

重合，

第22页，共27页

•••4BCD是平行四边形

・•・AB=CD,乙B=乙D.

vAE1BC,CF1AD,

・•・Z.AEB=Z.CFD=90°.

•••△/BEwaCDF(44S).

・•・DF=BE=3.

,,点P移动的距离为8C+CZ)+FD=104-5+3=18.

・•・t=18+2=9(s).

综上，f的值为：t=3或t=7或t=9；

(3)若BP_LCQ,显然，点P,。在BC边和C£＞边上不可能发生，

P,Q在A。边上.

如图，过A作AE1BC于E,过。作DF1BC,交BC的延长线于F,则AE=DF=4,

过点P作PMJLBC于M,过。作QNJ_BC于N,则Q/V=PM=AE=4.

PD=2t-15,QD=t—5.

是平行四边形，

MAD^BC.

vPMIBC,QN1.BC,DF1.BC,

・•・四边形QNFN和四边形PDFM均为矩形.

・・・MF=PD=2-15,

NF=QD=t-5.

・•・NC=NF-CF=t—5—3=t—8.

8M=BC+CF—MF=10+3—(2£—15)=28-2t.

在山△BPM中，tan4PBM=要=

BM28-2t

在Rt△CQN中，tan“CN=察=三.

♦:BP1.CQ,

・•.乙BGC=90°.

・•・tanZ.PBM•tan/QCN=1.

/.--4-----4-=].«

28-2tt-8

解得：t=10或t=12.

经检验，t=10,t=12都符合题意.

.•.当BPLCQ时，的值为：10或12.

[解析】(1)依据已知条件结合三角函数和勾股定理的逆定理判断△力BC的三个内角不

等于90。即可;

(2)利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，分别确定点尸的位置，进而求

出户点移动的距离，f的值可求；

(3)利用BP1CQ,得到直角三角形，根据互余角的正切值的乘积为1,列出方程即可求

解.

本题是压轴题，综合性较强.主要考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，全等三

角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点.构建方程模型是解题的关键.

25.【答案】解：(1),•,点4(n,yi)、B(n+l,y2)'。01+2,了3)都在二次函数丫=一%2+

ax(a>0)的图象上，

22

•••yr=-n+an,y2=—(n+I)+a(n+1)

-.•y1=y2,

■■—n2+an=—(n+l)2+a(n+1)

整理得：a=2n+1

a必为奇数；

(2)当a=11时，,:<y2<y3

:.—n2+lln<—(九+l)2+ll(n4-1)<—(n+2)2+ll(n+2)

化简得：0S10-2nsi8-4九,

解得：n<4,

,：n为正整数,

••.n=1、2、3、4.

第24页，共27页

(3)假设存在，则B4=BC,如右图所示.

过点B作BN1%轴于点N,过点A作401BN于点D,CE1BN于点E.

vxA=n,xB=n4-1,xc=n+2,

•••AD=CE=