2021年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测理科数学试题

2021年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测

理科数学试题

本试卷4页，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上.用2B铅笔将试卷类

型(B)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点

涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域

内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和

涂改液.不按以上要求作答无效“

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合”={“旷=—d,xwR},W={x|-l<x<2},则=

A.(-1,2]B.[0,2]C.(-1,0]D.(-1,0)

【答案】选C.

【命题意图】本题考查解不等式和集合基本运算，难度：简单题.

2.已知复数4与Z2在复平面内对应的点关于原点对称，且(2-i)zK4-3i|,则Z2=

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

[答案]选A.

【《题意图】本题考查复数基本概念与运算，难度：简单题.

3.设a,b为两条直线，则。〃b的充要条件是

A.a,。垂直于同一条直线B.a,。垂直于同一个平面

C.a,&平行于同一个平面D.a,》与同一个平面所成角相等

【答案】选B.

【命题意图】本题考查点、线、面的位置关系，难度：简单题.

【答案】D

【考查意图】本题考查函数的图象和判断，难度：简单题.

5.已知sing-a)=孝，则cosg+Za)的值为

[答案]C

【命题意图】考查三角函数的求值计算，简单题.

6.若(x+义)”的展开式中存在常数项，则〃可以是

A.8B.7C.6D.5

［答案］选A.

【A题意图】本题考查二项式定理，难度：简单题.

7.2020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性

与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量》与温度x的关

系可以用模型)，=。声M拟合，设z=Iny,其变换后得到一组数据下：

X2023252730

Z22.4334.6

由上表可得线性回归方程2=O.2x+a,则6=

A.-2B.e-2C.3D.e3

【答案】选B.

【命题意图】本题考查回归方程，难度：简单题.

8.小明去文具店购买中性笔，现有黑色、红色、蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元.小

明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有

A.10种B.15种C.21种D.28种

【答案】选D.

【命题意图】本题考查排列组合，难度：中等题.

9.我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效.蜜蜂的蜂巢是由数千个

蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开

口，另一端则由三个全等的菱形组成.经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为4mm,

菱形边长约为4.242mm,则该菱形较小角的余弦值约为(参考数据：&Q.732)

A.0.333B.0.4C.0.5D.0.667

【答案］选

【益题意图】A.本题考查立体几何的知识和数学文化，难度：中等题.

10.已知△ABC中,ZAC5=—,AD=2DB,ACLCD,则sinA的值为

4

RM3M

A.1C.-D.

1010310

【答案】选B.

【命题意图】本题考查解三角形，难度：中等题.

11.过抛物线C：y2=2px(">0)的焦点F的直线交抛物线于A3两点，线段的中点在y轴上

的射影分别为点若与△BFN的面积之比为4,则直线A5的斜率为

A.±1B.±^2C.±2D.±2也

【答案】选D.

【命题意图】本题考查抛物线的性质，难度：中等题.

12.已知”>0,b>0,下列说法第送的是

A.若0<&<人<1,则2>与B.若2ae"=3Z>e〃，则

aa

i.1

C.恒成立D.e(0,1),使得加一"=一6"

【答案】选D.

【命题意图】本题考查函数与导数的综合运用，难度：较难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知平面向量a=(l,应)，6=(3,㈤，若a〃(a-b),则实数4的值为.

【答案】3近.

【命题意图】本题考查平面向量基本运算，难度：简单题.

x-y+120,

14.设变量x，y满足y+y-320,则目标函数z=3x+2y的最小值为.

2x-y-3>0,

【答案】8.

【命题意图】本题考查线性规划知识，难度：简单题.

15.曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程

22

度越小.已知椭圆C：++4=l(a>匕>0)上点P(x0,y0)处的曲率半径公式为

ab

R=a2b2^+^.若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的

离心率为.

【答案】旦

2

【命题意图】本题考查椭圆性质的综合应用，难度：中等题.

16.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做

球缺的高，球缺的体积公式V=g(3R-〃)外，其中R为球的半径，力为球缺的高.若一球与一所

有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为.

【答案】(28#-54)兀.

【命题意图】本题考查棱切球的知识，难度：较难题.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试

题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生根据要求做答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)

己知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，%=5,且%4=4S“-l(〃eN").

(1)求数列｛4,｝的通项公式；

(2)记数列」一的前〃项和为7；.若V〃eN*,Tn<-nr+2m(加为奇数)，求机的值.

aa

[n,.+lJ

【命题意图】本题考查等差数列及裂项求和的应用.难度：中等题.

【解析】(析设数列｛4｝的公差为d,令〃=2,则42a3=4$2-1,由%=5,

得5(5-d)=4(10-3d)_l=(1=2(4分)

==2〃-1•(6分)

11111、

(2)-----=-------------=—(-z-----------)

anall+l(2〃-1)(2〃+1)22n-\2/1+1

nS,,=〈（l—Q）,可知:恒成立，(9分)

22/7+12

=―2m+；40=根£口—咚』+点］,

（11分）

又根是奇数，所以机=1.（12分）

18.(12分)

如图，六面体A8CDEFG中，防_1_面48(7且BE_L面。EFG,DG//EF,ED=DG=GF=\,

AB^BC=CA=EF=2.

(1)求证：£)尸_L平面筋£D：

【命题意图】本题考查空间中的线面位置关系的证明和二面角的计算.难度：中等题.

【解析】(1)因为面A8C且，所以。ELBE且9_L8£,

于是，在面ABOE中，DE//AB,同理，EF//BC,所以/DEF=/A3C=60。，

又EF=2DE,所以小由鹿工面。后尸6知£>F_L8E,

因此，DFL面ABED.(6分)

(2)取43中点。，由题可知，DE〃OB且DE=OB,所以四边形O8ED为平行四边形，所以

OD//BE,于是。。，面ABC,又AABC为正三角形，所以OC,Q4,OO两两垂直.(7分)

以。为坐标原点，0。,04,0。分别为工,弘2正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz,

设BE=a(a>0),则0(0,0,0),A(0,l,0),3(0,-1,0),C(相,0,0),D(0,0,社G(且,La),F(6,0J),

22

设面ADG的法向量为4=(x,y,z),则有:

*>.

4•A£>=(x,y,z)・(0,-l,a)=-y+az=0

■______J31J31>不妨设z=后得)=(—a,耳,6).

〃「DG=(x,y,z)•(=,不0)=三x+彳y=。

L2222

又BE与面DEFG垂直，故面DEFG的法向量不妨设为后=(0,0,1),

,.----.|n,-n.,I/\/51

由|cos<n,>|=T一~h=-7•,=-------,解得a=2.

-I«)I-I«21J4a2+319

设面双邛的法向量为3=(x,y,z),则有：

/丽=(x,y,z)-(0,l,2)=y+2z=0-

,____广r-,不妨设y=2得〃=(0,2,-1).(10分)

n-DF=(x,y,z)-(v3,0,0)=6x=0

于是，点C到面的距离1=丝回=义=2叵.

(12分)

755

19.(12分)

为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁

渔期渔民的生计问题，试点推出面点、汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一

个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天

200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性

换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第，・天选择选择

汽修培训的概率是mi=1,2,3,…,7).

(1)求P?;

(2)证明：也-0.5｝"=1,2,3,…,7)为等比数列;

(3)试估算一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望(0.2,近似看作0).

【命题意图】本题考查概率统计的综合应用.难度：中等题.

【解析】(1)R=l,02=0.6,=0.6x0.6+0.4x0.4=0.52(3分)

(2)当第i-1天选择汽修培训时;第，•天选择汽修培训的概率为Q6亿-

当第i-1天选择面点培训时，第i天选择汽修培训的概率为0.4(1-pi)

贝Pi=06P1+0.4(1-pQ=0.2p,_,+0.4，而p-0.5=0.2(p0.5)

所以｛p,-0.5｝是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列.(8分)

(3)设第,•天政府的补贴费为％,则4=300p,+200(1-乩)=100~+200

而2=0.5-0.2"-'+0.5,.-.a,.=100(0.5-0.2w+0.5)+200=50.0.2;-|+250

7

一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为4+%+-+%=250x7+50—I-0^2

1—0.2

B1812.5元.(12分)

20.(12分)

2

己知双曲线-=1(/,*1)的左焦点为F,右顶点为A,过点尸向双曲线的一条渐近线作垂线,

垂足为「，直线"与双曲线的左支交于点8.

(1)设0为坐标原点，求线段OP的长度；

(2)求证：/＞尸平分NBE4.

【命题意图】本题考查双曲线综合问题.难度：较难题.

【解析】(1)不妨设P在第二象限，则渐近线。尸的方程为y=-bx,于是直线P厂的方程为

y=[(X+C'),联立得巧,=一j,=」,于是P(-1,2)，I0Pl=+自2=+,_=[；

bb+1cccNccVc

(5分)

(2)设直线尸尸的倾斜角为e,则tan，=Ltan2^=-^tanf-=(6分)

h1-tan2^b2-\

b

又A(l,0),所以直线"的斜率为T—=-——,直线AP的方程为、=———(x-1),与双曲

c+lc+1

C

线联立得：(c2+2c)f+2x—0?+2。+2)=0,

-c2+2c+2h.2h(c+1).八八、

于B是乙二乙/=---「一,%=-----；(._1)=•,又尸(一。,0),(9分)

c+2cc+lc+2c

因此直线3尸的斜率为

26(c+l)

」=1+2c—=J2?出)_=，L.=1L=tan2。，(11分)

XH+cc~4~2c+2c~+-2c—2c—2b—1

c2+2c

故尸尸平分NBE4.(12分)

21.(12分)

已知函数/(x)=xlnx-ar2+(2a-l)x+a,其中a为常数,

(1)当"=0时，求f(x)的极值；

1ln(x+l)-lnx,x,+a

(2)当aN二时，求证：对e(O,+a>),且与<%,,不等式1二，>'—恒成立.

-

2ln(x2+l)-lnx2玉+a

【命题意图】本题考查函数与导数的综合应用.难度：较难题.

解:(1)当a=0时，f(x)=x\nx-x,f\x)=\nx,二当xe(O,l)时，//(%)<0,即，(x)在(0,1)上

单调减：当xw(L”)时，尸(乃>0,即/(X)在(Lw)上单调增.二/*)的极小值为/(1)=-1,无

极大值.(5分)

ln(x,+l)-lnxx,+a

(2)根据题意，要证明对也”々w(0,+8),且不<々，「八，―L>-^一等价于证明

ln(%2+1)-Inx2xi+a

(尤।+«)ln(l+—)>(x2+a)ln(l+—).设g(x)=(x+a)ln(l+,)，由单调性的定义得要证明原不等式等

司“2X

价于证明^(x)=(x+a)ln(l+-)在(0,”)上单调递减.(6分)

x

即证g'(x)=ln(l+3—学区40在(0,H)上恒成立，即证ln(l+-)<二土区,

XX+xXX+X

Va>-,..——

2x~-\-xx~+x

r4--L1r-I--L

・.・只需证明ln(l+x)<《乜等价于证明ln(l+与—<0.(8分)

X+xX+x

1x+—1t~—1

设h(x)=ln(l+—)————(x>0),令z=1+一,贝卜>1,h(x)-g(t)=lnt-----,

xx~+xx2t

只需证当f>l时，g(t)<0.(10分)

因为g，⑺=_&?<0,所以g⑺单调递减，所以g⑺<g⑴=0,故原不等式成立.(12分)

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］(10分)

在平面直角坐标系xQy中，曲线6的参数方程为［“T+8S'-百‘in’1为参数)，以坐标原点

y=l+sinf+近cost

为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线G的极坐标方程为。=a(peR,ae［0,7t)),且直线

G与曲线G交于48两点.

(1)求曲线G的极坐标方程；

(2)当|A8|最小时，求a的值.

【命题意图】本题主要考查曲线方程的变换，直线与圆的的知识•难度：中等题•

71

x=l+2cos(f+§)

22

【解析】(1)由题,故(X-1)2+()—)2=4,g|Jx+y-2x-2y-2=0,

71

y=l+2sin(f+§)

则p2-2pcos0-2psin0-2=0,即p2-2\/2/7sin(^+-)-2=0.(5分)

4

(2)法一：设A(月,。),3(夕2，。)，由(1)，月+02=2&sin(a+?),p2=-2

242

则|4B『二(月一夕2)2=(P,+P2)-P\'Pi=8sin(a+^)+8>8，

当且仅当sin(a+工)=0时，|AB|最小，此时，a+-^k7r(keZ)

44

因为a£[0,4),故a=，.(10分)

4

法二：设圆心G到直线的距离为d,则|一例=2"-/,

又d£OC4日当且仅当OG与直线。2垂直时等号成立，此时|A8|最小，

因为NCQx=工，ae