2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学

绝密★本科目考试启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学

本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将【答案】答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结

束后，将本试卷和答题卡。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)己知集合4=*|-1<X<1},B={x|0<x<2},则AUB=()

(A){x|0<x<l}(B){x|-l<x<2}(C){x|l<立2}(D){x|0<x<l}

(2)在复平面内，复数z满足。一i)-z=2,则z=()

(A)1(B)i(C)l-i(D)l+i

⑶设函数/(x)的定义域为【0,1］,则“函数在［0,1］上单调递增”是“函数/(x)在［0,1］的最大值为"1)

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(4)某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为()

x/3

22

⑸双曲线卞•一亲*=过点离心率为

12,则双曲线的解析式为()

X222222

XV」

(A)--/=1(呜一3=1(D)-------=1

32

(6)己知{4}和也}是两个等差数列，且广(1W心5)是常值，若①=288,%=96,々=192,则打的值为()

(A)64(B)100(C)128(D)132

⑺己知函数/(x)=cosx-cos2x,则该函数()

(A)奇函数，最大值为2(B)偶函数，最大值为2

(C)奇函数，最大值为9'(D)偶函数，最大值为二Q

88

(8)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义

0-1010-2525-5050-100

小雨中雨大雨暴雨

小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级()

(A)小雨(B)中雨(C)大雨(D)暴雨

(9)己知圆C：X2+/=4,直线L：y=kx+m,则当A的值发生变化时，直线被圆C所截的弦长的最小值为2,

则m的取值为()

(A)+2(B)土血(C)±G(D)±3

(10)数列｛4｝是递增的整数数列，且qN3,a,+«2+«3=100,则〃的最大值为()

(A)9(B)10(C)ll(D)12

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题5小题，每小题5分，共25分.

的展开式中常数项是____________.

IX)

(12)已知抛物线C：V=4无，C焦点为F,点加在C上，且|FM|=6,则M的横坐标是.作

轴于N,则S.MN=-

(13)已知2=(2,1)石=(2,-l),c=(0,1),(试卷使用网格表示的向量)则(£+B)•G=；7B.

(14)若P(cos0,sin0)与Q[cos[e+£,sin[e+/JJ关于y轴对称，写出一个8的值____________.

(15)己知/(x)=|lg目一次一2,给出下列四个结论：

①若。=0,则有两个零点；

②女＜(),使得/(%)有一个零点；

③弘＜(),使得“X)有三个零点；

④弘＞0,使得“X)有三个零点；

以上正确结论的序号是

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

977

16.已知在AABC中，c-2bcosB,c=——.

3

⑴求B的大小；

(II)在三个条件中选择一个作为已知，使A48c存在且唯一确定，并求3c边上的中线的长度.

①cfb；②周长为4+2百；③面积为5凶改=孚.

17.已知正方体ABC。一AQCQI，点E为4。中点，直线用G交平面OE于点F.

⑴求证：点F为B|G中点;

(H)若点M为棱4与上一点，且二面角M-CFE的余弦值为好，求4旦

3A4

18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取7合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可

以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人，己知其中2人感染病

毒。

⑴①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；

②已知10人分成一组，两名感染患者在同一组的概率为求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；

(II)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)。

19.已知函数〃x)=黄言.

⑴若a=0,求y=/(x)在(1,7(1))处切线方程；

(H)若函数"X)在x=-l处取得极值，求/(X)的单调区间，以及最大值和最小值.

20.已知椭圆后号+枭向>匕>0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4底

⑴求椭圆E的标准方程：

(H)过点。(0,-3)的直线/斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线A8交尸-3于点M,直线AC交y=-3

于点N,若1PM+|PN|W15,求无的取值范围.

21.定义(数列｛%｝：对实数p,满足：

①4+〃20,。2+〃=°；

②eN*,*<4“；

③V”,,〃GN*,%+“G｛am+an+p,am+an+p+\].

⑴对前4项2,-2,0,1的数列，可以是凡数列吗?说明理由；

(II)若｛4｝是用数列，求生的值；

(III)是否存在p,使得存在(数列｛叫，对V,,eN”，满足S,2几？若存在，求出所有这样的p；若不存在,

说明理由.

2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学

参考答案

1.【答案】：B.

【解析】：由集合的基本定义可得AUB={x|TaW2},故选B.

2.【答案】：D.

22-(l+i)

【解析】：由题意可得Z=口==l+i,故选D

(1-0(1+0

3.【答案】：A.

【解析】：前推后，一定成立.

后推前，若犬x）在［0,1］上的最大值为f（l）,找反例，开口向上对称轴为x=’的二次函数.

4

4.【答案】:A.

【解析】：根据图示三视图画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图所示，故

__1

【解析】:双曲线离心率e=£=2,故c=2a/=&,将点（J5,百）代入双曲线方程，得）一一\

a36ra

故4=1/=百，故双曲线方程为/-2-=1.

3

6.【答案】：C.

【解析】：由题意可得幺=&，a=64,故"二叱2="1^空=128.

4422

7.【答案】：D.

【解析】：函数7U）定义域为R,且八-x）=/G）,则7U）为偶函数,

--2|cos%--|+2,故最大值为2,故

/(x)=cos%—cos2%=cosx-(2cos2x-l)=-2cos2x+cosx+1

I4j88

选D.

8.【答案】：B.

【解析】：由相似关系可得，小圆锥的底面半径r=蜉=50,故匕卜锥=1x乃x5()2x150=503•4,从而得到积

，3

2

水厚度力=匕他=包==12.5,属于中雨.

S大圆^-loo-

9.【答案】：C.

【解析】：数形结合"为直线在)，轴上的截距,m=土疹了=±6.

10.【答案】：C.

【解析】：要想"最大，前面的项应该越小越好,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14前12项和为102超过了100,

故”的最大值为11.如3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,25.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题：本题共5小题,每小题5分，共25分.

11.【答案】：一4.

【解析】：由二项式展开公式可得C;(d)L(_/)3=-4.

X

12.【答案】：5;4百.

【解析】：由题意得点F(1,0),设点M(x,±2&)厕=J(x-+4/=6，解得45.易得点N(5,0),从而

S#MN=-XF).MN=；乂4乂2亚=4亚•

13.【答案】：0;3.

【解析】：计算可得3+b),c=(4,0)・(0,l)=00b=4T=3.

57r

14.【答案】：—.

12

£

【解析】：点P、。都在单位圆上，6可取工776

-—«9=—+A:?r,A;eZ).

22

15.【答案】：⑴(2)(4).

【解析】：零点问题，转化成两个函数的交点来分析.

令於)=|1四-履-2,可转化成两个函数yi=|lgx|,_y2=Ax+2的交点问题.

对于⑴，当k=0时,|1明=2,两个交点,(1)正确；

对于(2),存在k〈0,使yi=|lgx|与)>=去+2相切,(2)正确；

对于⑶，若&<O,)，i=|lgx|与yi=kx+2最多有2个交点,(3)错误；

对于(4),当k>0时，过点(0,2)存在函数g(x)=lgxa>l)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率

时,就会有3个交点，故(4)正确.

三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.(本小题13分)

解：(I)由正弦定理一--=---,得sinC=2sinBcosB=sin2B,故C=2B(舍)或C+2B=TT.故8=A=2.

sinBsinC6

(2)由(1)知,c=y/3b，故不能选①.

选②，设BC=AC=2x,则AB=2下)x，故周长为(4+2\^)x=4+，解得_r=l.

从而=AC=2,AB=26，设BC中点为则在△A8O中,由余弦定理，

nAB2+BD2-AD21+12-AD2£

cosB=-----------------=-------j=---=——,

2ABBD4G2

解得AD=J7.

选③，设BC=AC=2x,则AB=2瓜,

iQn

故S^BC=--(2x)•(2x)•sin120=后=巳-,

解得x=且，即BC=AC=G，设BC中点为D则在△A8O中,由余弦定理,

2

口AB-+BD--AD19+（g）2-A026

cosB=-----------------=---------产----=——,

2ABBD3G2

解得

2

17解：⑴因为ABC。-4gG口为正方体，所以Aq//4G,cr>/

又因为CDa平面A与CQ,GAu平面A4GA，所以co//平面4与GR.

因为平面CQEFC平面A#GA=EF，且CQu平面CDEF,所以CDUEF,故C.DJ/EF.所以四边形EFCR为

矩形，又点E为$"中点，故G尸=AE=g49=gG4,,故点尸为gG的中点.

(2)因为A6CO-45G2为正方体，故。A,0C,O2两两垂直.

以D为坐标原点,分别以DA,DC,DDt所在直线为X轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.

令正方体ABCD-A4G。的棱长为2,设A^M=2^X(0<A<1),则C(0,2,0),£(l,0,2),F(l,2,2),

M(2,2入,2),CE=(1-2,2),CF=(1,0,2),CM=(2,2入-2,2).

/、CE-n.=0fx,-2y.+2z.=0

设平面CE尸的法向量为“=(%，X，zJ,则《一1即।1，故x=。.

CF•〃1=()+2Z]=0

令Z]=-1,芭=2,可取&=(2,0,-1).

/、\CM-n,=0f2x,—(22—2)%+2z,=0

设平面CMF的法向量为%=(&,%，Z2)，则——，即■"__

[CF•%=0、%2+2z2—0

令Z2=T,则々=2,必=-―可取々=(2,—,-1).

1—A1—A

设二面角M-CF-E为。，且。为锐角，故

4+1V5

cos6=|cos<%,%>1=〃「九2

3，

同MlG+Qlf-22+(J)?+(-1)2

V\—A

解得/l=Lw[0,l],故&^=L

2A|B|2

解析图

18.解：(1)①共测两轮,第一轮100人分10组,故测了10次，第二轮,对两名患者所在组每个人都进行检测一次，共10

次，故总检测次数为10+10=20次；

②由①知，两名感染患者在同一组时，共需测20次;若两名患者不在一组，需要测10+10+10=30次.故X可取值

为:20,30,则P(X=20)=',P(X=30)=1—工=3，故X的分布列为:

X2030

P110

TT7T

”1“1020+300320

所以E(X)=20x—+30x—=--------=——.

11111111

(2)E(X)<E(Y).

19.(本小题15分)

解：⑴当a=0吐/'(%)=上至，则/'(X)=―(-2)--2x)•2元二生*.

x~XX

当x=1时/)=1/(1)=-4,故y=fix)在(1次1))处的切线方程为y-1=-4。-1),整理得y=-4x+5.

(2)已知函数/(x)=,则/(x)='2*2"=2(；；二不).

2(4-a)

若函数“r)在x=T处取得极值，令/(T)=0,则-----z-=0,4=4.

经检验，当。=4时1T为函数式幻的极大值，符合题意.

此时/(月=莘^,函数定义域为R,1(无)=3二誓J12,令/(幻=0,解得玉=一1,々=4.

yw/(x)随x的变化趋势如下表：

X(-00,-1)-1(-1,4)4(4,+8)

/(X)+0—0+

於)极大值极小值

故函数单调递增区间为(-8,T),(4,+8),单调递减区间为(7,4).极大值为f(T)=l,极小值为7(4)=-

331

又因为x<Q时/)>0;x>］时/)<0,所以函数於)的最大值为1-1)=1,最小值为“4)=一了

20.(本小题15分)

解：⑴因为椭圆E过点4(0,-2),所以6=2.

以四个顶点围成的四边形面积为46，故Lx2ax2b=2a/?=4j^.

2

h=2af22

联立42ab=4非，解得■b=2，故椭圆E的标准方程为二+匕=1.

54

/=尸+C2C=1

（2）由题意可得，直线I的斜率存在,且直线/的方程为产"-3,设3（玉，x）,。（々,%）

y——3

联立《；,5220,消去y整理得伊2+4)f—30依+25=0,

A=(-30炉一4(5左2+4)x25=400(公—1)〉0,故⑸或&<-L由韦达定理，得

-30230k25

1-5k2+45/+4'-5k2+4-

24

进而可得x+%=后(玉+x)-6=——j—

2DfC।4

36-20公

yy=(Ax,-3)(AX-3)=^2XX-3Z:(X+X)+9=

t2212125k2+4

直线AB的方程为y+2=&±2乂令尸-3测％=一_匚，故点〃（—_匚,—3）.

内X+2y+2

直线AC的方程为y+2=区土2苍令尸-3,贝ijx=-一”一，故点N（一一土一,一3）.

々%+2%+2

x,-(y+2)4-x(y,+2)X­(AX-1)+工2•(烟-1)

|PM|+PN|=+%=22=}2

y+2%+2(M+2>(%+2)*%+2(弘+%)+4

即IMW3,解得一3W狂3.

综上,k的取值范围为[-3,T)U(1,3]

21.(本小题15分)

解：(1)因为也+4+2,4+/+2+1}={6,7}-2=%，所以前4项2,-2,0,1的数列{4}不可能是R2数列•

(2)对于凡数列{4}，有①420,々=0;②％<。4:③*«(+4MM+4+1}(心小田*).

(.tz.>0

由0=生£{2。],2〃]+1}24=0=4=0,所以

%£供+%,q+g+1}={0,1},〃4w{%4+1}门{。,1}ngw{0」}.

再由/<a4，得。3=。，a4