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精品文档-下载后可编辑圆锥曲线中的一类最值问题一、问题
(1)已知椭圆■+■=1,(a>b>0),焦点F1,F2,点P(x,y)为椭圆上任意一点,P为何位置时,|PF2|最小。
(2)已知双曲线■-■=1,(a>0,b>0),焦点F1,F2,点P(x,y)为双曲线上任意一点,P为何位置时,|PF2|最小。
(3)已知抛物线y2=2px(p>0),焦点F,点P(x,y)为抛物线上任意一点,P为何位置时,|PF2|最小。
解:(1),(2),(3),当P为相应顶点时,|PF1|最小。
证明:(1)由椭圆的第二定义,■=e,当P为A2时,|PF2|最小(A2为椭圆右顶点)。
(2)由双曲线的第二定义,■=e,当P为A2时,|PF2|最小(A2为双曲线右顶点)。
(3)由抛物线的定义,|PF|=d,当P为原点时,|PF|最小|。
二、知识延伸
在上述三个问题中,若点M(m,0)为X轴上任意一点,求P位于何位置时,|PM|最小。
证明:(1)|PM|=■,由■+■=1,
得|PM|=■
=■
对称轴方程x=■,
①当-a
②当■≥a,即m≥■,在x=a时,|PM|最小。
③当■≤-a,即m≤-■,在x=-a时,|PM|最小。
(2)|PM|=■,由■-■=1,
得|PM|=■
=■
对称轴方程x=■,
①当■>a时,即m>■,在x=■时,|PM|最小。
②当0≤■≤a时,即0≤m≤■,在x=a时,|PM|最小。
③当-a≤■
④当■
(3)|PM|=■,由y2=2px,
得|PM|=■
=■
对称轴方程x=m-p,
①当m-p≤0时,即m≤p,在x=0时,|PM|最小。
②当m-p>0时,即m>p,在x=m-p时,|PM|最小。
三、应用
例1(2022德州模拟):对抛物线y2=2x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围()
A.[0,1]B.(0,1)C.(-∞,1]D.(-∞,0]
解析:当a≤1=P时,(P为抛物线焦准距),在原点时|PQ|最小,显然满足|PQ|≥|a|,故选C。
例2(2022重庆卷):设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C的半径能取到的最大值为。
解析:设圆心M(m,0),半径为r,P(x,y)为抛物线上动点,
则m>1=P(P为抛物线焦准距),
在x=m-1时,即P(m-1,■,|PM|最小,
即圆M与抛物线相切于点P。
r=|PM|=■=3-m(m
m=4-■,r=■-1。
例3:已知椭圆C:■+y2=1(m>1),P是曲线C上的动点,M是曲线C的右顶点,定点A(2,0)。若|PA|的最小值为|MA|,求实数m的取值范围?
解析:当■≥a,即m≥■,在x=a时,|PM|最小(见上文),所以2≥■,即m2
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