椭圆经典练习题两套(带答案)

椭圆经典练习题两套(带答案)A组基础过关1.选择题1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于？解析：由题意得2a=2b，即a=2b，又a^2=b^2+c^2，因为b=c，所以a=2c，故e=c/a=1/2。答案B。2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是？解析：依题意知：2a=18，∴a=9,2c=3×2a，∴c=3，∴b=a-c=81-9=72，∴椭圆方程为81x^2/4+72y^2/81=1。答案A。3.椭圆x^2+4y^2=1的离心率为？解析：先将x^2+4y^2=1化为标准方程x^2/a^2+y^2/b^2=1，则a=1，b=1/2，c=sqrt(a^2-b^2)=sqrt(3)/2，故e=c/a=sqrt(3)/2。答案A。2.填空题1.设F1、F2分别是椭圆x^2/4+y^2=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为？解析：由题意知，点P即为圆x^2+y^2=9与椭圆x^2/4+y^2=1在第一象限的交点，解方程组x^2+y^2=9，x^2/4+y^2=1，得点P的横坐标为3。答案3。2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为？解析：依题意设椭圆G的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，因为离心率为2，所以2a=12，故a=6，又a^2-b^2=c^2，因为e=2，故c=2a/e=6，故b=sqrt(a^2-c^2)=3，故椭圆G的方程为9x^2+36y^2=324。答案C。10．(2011·陕西)如图，设P是圆$x^2+y^2=25$上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且$|MD|=\frac{5}{4}|PD|$。(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为$\frac{5}{4}$的直线被C所截线段的长度。解：(1)设M的坐标为$(x,y)$，P的坐标为$(x_P,y_P)$，则有$x=x_P$，$y=\frac{5}{4}y_P$。由已知得$x_P^2+y_P^2=25$，代入上面的坐标关系式，得到点M的坐标为$(x,\frac{5}{4}\sqrt{25-x^2})$。因此，点M的轨迹C的方程为$x^2+\frac{25}{16}(25-x^2)=25$，即$x^2+y^2=\frac{625}{16}$。(2)过点(3,0)且斜率为$\frac{5}{4}$的直线方程为$y=\frac{5}{4}(x-3)$。将直线方程代入C的方程，得到$x^2+\frac{25}{16}(25-x^2)=\frac{25}{16}(x-3)^2$，解得$x_1=\frac{3-4\sqrt{41}}{-2}$，$x_2=\frac{4\sqrt{41}-3}{2}$。由于$x_1$和$x_2$对称，不妨只考虑$x_1$的情况。将$x_1$代入直线方程，得到$y_1=\frac{5}{4}(x_1-3)$。因此，线段AB的长度为$AB=2\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=2\sqrt{(x_2-x_1)^2+(\frac{5}{4}(x_1-3))^2}=\frac{255}{4}$。5．(10分)(2011·大连模拟)设A，B分别为椭圆$a^2+b^2=1(a>b>0)$的左、右顶点，$(1,2)$为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距。(1)求椭圆的方程；(2)设$P(4,x)(x\neq0)$，若直线$AP$，$BP$分别与椭圆相交异于$A$，$B$的点$M$，$N$，求证：$\angleMBN$为钝角。(1)解：根据题意，得$a=2c$，$b^2=a^2-c^2=3c^2$，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，将$(1,2)$代入，得$c=1$，故椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。(2)证明：由(1)，知$A(-2,0)$，$B(2,0)$，设$M(x,y)$，则$-2<x<2$，$y=\frac{4-x}{6}$，由$P$，$A$，$M$三点共线，得$x=\frac{6y}{x+2}$，设$N(x_0,y_0)$，则$y_0=\frac{4-x_0}{6}$，由$BP$与椭圆相交异于$B$，得$\frac{x_0+2}{2}=\sqrt{3(1-\frac{(x_0-2)^2}{16})}$，解得$x_0=\frac{8}{5}$，$y_0=\frac{2}{5}$，又由$AP$与椭圆相交异于$A$，得$\frac{x+2}{2}=\sqrt{3(1-\frac{(x+2)^2}{16})}$，解得$x=-\frac{4}{5}$，$y=-\frac{2}{5}$，故$M(-\frac{4}{5},-\frac{2}{5})$，$N(\frac{8}{5},\frac{2}{5})$，又因为$AB$为椭圆的直径，故$MN$垂直于$AB$，又$\angleAMB=90^{\circ}$，故$\angleMBN$为钝角。已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，且经过点M(1,2)。求椭圆C的方程和过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足PA·PB=PM²。解(1)设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，则有$a=2$，$b=\sqrt{3}$。因此，椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。(2)假设存在直线l且斜率存在，设满足条件的方程为$y=k_1(x-2)+1$。代入椭圆C的方程得$(3+4k_1^2)x-8k_1(2k_1-1)x+16k_1^2-16k_1-8=0$。因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，则有$PA·PB=PM^2$，即$(x_1-2)(x_2-2)+(y_1-1)(y_2-1)=\frac{1}{5}$。因此，$(x_1-2)(x_2-2)(1+k_1^2)=\frac{4}{5}$。代入前面的方程中，解得$k_1=\pm\frac{\sqrt{1142}}{28}$。因为$k_1>-\frac{1}{2}$，所以$k_1=\frac{1}{2}$。于是存在直线l满足条件，其方程为$y=2x$。2.以椭圆的右焦点为基准，已知$AF^2+BF^2=29a^2$，且中点到椭圆左准线的距离为$3$，求该椭圆的方程。17.一条斜率为$1$的直线$l$与椭圆$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1$相交于点$P$、$Q$，$M$是直线$l$上的动点，满足$MP\cdotMQ=2$。求动点$M$的轨迹方程，并说明曲线的形状。解答：2.已知椭圆的右焦点为基准，设左焦点为$F_1$，椭圆左准线方程为$x=-a$，右焦点为$F_2$。设点$M$到左准线的距离为$d$，则$d=\frac{AF_1+BF_2}{2}=a-\frac{c^2}{2a}$，其中$c$为椭圆的焦距。又因为$d=3$，所以$a-\frac{c^2}{2a}=3$，解得$a^2-3a-\frac{c^2}{2}=0$。根据椭圆的定义，有$c^2=a^2-b^2$，代入上式得$a^4-6a^3+9a^2-2b^2=0$。又因为$AF_1^2+BF_2^2=2a^2+2b^2=29a^2$，所以$a^2+b^2=\frac{29}{2}$。将$b^2=\frac{29}{2}-a^2$代入上式，化简得$2x^2+3y^2=58$，即为所求的椭圆方程。17.设$P$、$Q$的坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则直线$l$的方程为$y=x+m$，其中$m$为常数。代入椭圆方程得$x^2+2(x+m)^2=6$，化简得$3x^2+4mx+(2m^2-6)=0$。由于$P$、$Q$是方程的两个解，根据韦达定理得$x_1+x_2=-\frac{4m}{3}$，$x_1x_2=\frac{2m^2-6}{3}$。又因为$MP\cdotMQ=2$，所以$(x-x_1)(x-x_2)=2$，代