专题01 空间向量及其运算5种常见考法归类（原卷版）

专题01空间向量及其运算5种常见考法归类1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b3.空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.4.共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.5.直线的方向向量若非零向量a在直线l上，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．直线的方向向量特点：非零，与直线平行．6．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．注：对共面向量的两点说明(1)共面的理解：共面向量是指与同一个平面平行的向量，可将共面向量平移到同一个平面内．共面向量所在的直线可能相交、平行或异面．(2)向量的“自由性”：空间任意的两向量都是共面的．只要方向相同，大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量．7．解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.④向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.因此，关于两个向量的比较，我们仅研究二者是否相等.8．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．9．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．10.空间向量数乘运算的两个关注点(1)正确理解向量加法、减法和数乘运算的几何意义，结合图形分析有关向量之间的关系．(2)记住一个重要的模型．若C为线段AB的中点，则对于空间中任意一点O，都有eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))．11．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．(4)活用结论：化简中常用的化简形式为eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(CB,\s\up16(→))等．12.与空间向量的线性运算相关的结论(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)).(2)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，有eq\o(AC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)).(3)若O为空间中任意一点，则①点P是线段AB中点的充要条件是eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→)))；②若G为△ABC的重心，则eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))．13.共线向量充要条件的三个关注点(1)区别：共线向量与直线平行的区别，直线平行不包括两直线重合的情况，而我们说的两个共线向量a∥b，表示向量a，b的有向线段所在直线既可以是同一直线，也可以是两条平行直线．(2)零向量：共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．(3)方向向量的个数：直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．14．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up8(→))＝λeq\o(PB,\s\up8(→))成立．(2)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))(t∈R)．(3)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))(x＋y＝1)．注：证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))(或eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→)))即可，也可用“对空间任意一点O，有eq\o(OC,\s\up8(→))＝teq\o(OA,\s\up8(→))＋(1－t)eq\o(OB,\s\up8(→))”来证明A，B，C三点共线．15.共面向量充要条件的三个作用(1)建立共面向量之间的向量关系式：用两个不共线的向量可以表示与这两个向量共面的任意向量．例如：如果两个向量a，b不共线，由向量c与向量a，b共面可得，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.(2)证明三个向量共面：如果向量a，b，c满足关系式c＝xa＋yb，那么可以判定向量a，b，c是共面向量．(3)证明四个点共面：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(MP,\s\up16(→))＝xeq\o(MA,\s\up16(→))＋yeq\o(MB,\s\up16(→)).满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．16．解决向量共面的策略（1）若已知点P在平面ABC内，则有EQ\o(AP,\s\up8(→))＝xEQ\o(AB,\s\up8(→))＋yEQ\o(AC,\s\up8(→))或EQ\o(OP,\s\up8(→))＝xEQ\o(OA,\s\up8(→))＋yEQ\o(OB,\s\up8(→))＋zEQ\o(OC,\s\up8(→))（x＋y＋z＝1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.（2）证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.①向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．②四点共面：若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．③证明向量共面或四点共面，也可以利用共面向量的定义，借助线面平行的判定定理，寻找一个平面，证明这些向量都与该平面平行．注：1空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq\o(MP,\s\up8(→))＝xeq\o(MA,\s\up8(→))＋yeq\o(MB,\s\up8(→))，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．2向量p与向量a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．17.证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论(1)eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OM,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→)))．考点一空间向量的有关概念考点二空间向量的加减运算考点三空间向量的数乘运算考点四空间向量的共线问题（一）空间向量共线的判定（二）由空间向量共线求参数（三）空间共线向量定理的推论及应用考点五空间向量的共面问题（一）判断空间向量共面（二）由空间向量共面求参数（三）空间共面向量定理的推论及应用考点一空间向量的有关概念1．（2023秋·山西·高二校联考期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（

）A．零向量与任意向量平行B．任意两个空间向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量2．（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量满足，则；④若空间向量满足，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）A．4 B．3C．2 D．13．【多选】（2023·全国·高一专题练习）下列命题为真命题的是（）A．若空间向量，满足，则B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝C．若空间向量，，满足，，则D．空间中，，，则4．（2023秋·高二课时练习）给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2023秋·高二课时练习）在平行六面体中，与向量相等的向量共有（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个6．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体中，，，，，分别是，的中点，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：（1）的相等向量是；（2）的相反向量是；（3）的共线向量（平行向量）为；（4）模为的向量是；（5）向量，，（填“共面”或“不共面”）.考点二空间向量的加减运算7．（2023秋·高二课时练习）下列等式中，正确的个数为（）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．48．（2023秋·高二课时练习）已知平行六面体，则下列四式中：①；②；③；④．正确的是．9．（2023春·高一校考课时练习）在正方体中，已知下列各式：①；②；③；④，其中运算的结果为的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个10．（2023秋·高二课时练习）如图，已知长方体，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．(1)，；

(2)，．

11．（2023秋·高二课时练习）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（）①与是一对相反向量；②与是一对相反向量；③与是一对相反向量；④与是一对相反向量．A．个 B．个 C．个 D．个12．（2023秋·高二课时练习）在正六棱柱中，化简，并在图中标出化简结果．

考点三空间向量的数乘运算13．（2023·全国·高三对口高考）（

）A． B． C． D．14．（2023春·高二单元测试）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（

）A．B．C．D．15．（2023秋·高二课时练习）如图，如空间四边形中，，分别是，的中点，（

）

A． B． C． D．16．（2023春·广东·高二统考阶段练习）在三棱柱中，，若点为的中点，则（

）A． B．C． D．17．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）在正四面体中，F是的中点，E是的中点，若，则（

）A． B．C． D．18．（2023秋·高二单元测试）如图，已知空间四边形，分别是的中点，且，，，用表示向量为（）

A． B．C． D．19．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（

）

A． B． C． D．20．（2023·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，，，若，则．

21．（2023秋·广西防城港·高二统考期末）如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（

）A． B．0 C． D．考点四空间向量的共线问题（一）空间向量共线的判定22．（2023秋·高二课时练习）下列命题中，正确命题的个数为（

）①若，则与方向相同或相反；②若，则A，B，C，D四点共线；③若，不共线，则空间任一向量().A．0 B．1 C．2 D．323．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（

）A．与共线 B．与共线C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面24．【多选】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（）A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上25．（2023·全国·高一专题练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．26．（2023·江苏·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．（二）由空间向量共线求参数27．（2023·全国·高一专题练习）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为．28．（2023·高二课时练习）已知空间向量，，若，共线，则，．29．（2023·江苏·高二专题练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A，B，D三点共线，求实数k的值．30．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（

）A．1 B．2 C．3 D．431．（2023·全国·高三专题练习）在平行六面体中，点P在上，若，则（

）A． B． C． D．（三）空间共线向量定理的推论及应用32．（2023·全国·高一专题练习）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则．33．（2023秋·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为.34．（2023秋·高二课前预习）已知三点共线，为直线外空间任意一点，若，求证：．考点五空间向量的共面问题（一）判断空间向量共面35．（2023秋·高二课时练习）在如图所示的平行六面体中，找出中的共面向量.36．（2023秋·高二课时练习）当，且不共线时，与的关系是（

）A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定37．（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，向量，，是向量(填“共面”或“不共面”)．38．【多选】（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（

）A．若与共面，则存在实数，使B．若存在实数，使向量，则与共面C．若点四点共面，则存在实数，使D．若存在实数，使，则点四点共面39．（2023秋·高一单元测试）下列条件能使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．40．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）在下列条件中，能使与，，一定共面的是（

）A． B．C． D．41．（2023秋·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.42．（2023春·高二课时练习）已知E，F