素养拓展2 不等式中的恒成立问题（精讲+精练）（新高考通用）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展02不等式中的恒成立问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！设函数的值域为或，或或中之一种，则①若恒成立（即无解），则；②若恒成立（即无解），则；③若有解（即存在使得成立），则；④若有解（即存在使得成立），则；⑤若有解（即无解），则；⑥若无解（即有解），则．【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）2.分离参数的方法①常规法分离参数：如；②倒数法分离参数：如；【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】③讨论法分离参数：如:④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如；⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．【注意】（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】3.其他恒成立类型一①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．②在上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)4.其他恒成立类型二①，使得方程成立．②，使得方程成．5.其他恒成立类型三①，；②，；③，；④，．【方法】处理时，把当常数；处理时，把当常数．思考：对的四种取值情形；或；或等又如何处理呢？【同理！】二、题型精讲精练二、题型精讲精练1.基本不等式恒成立问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范围.【详解】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.故选：D.2．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.【详解】因为，所以，因为曲线在M处的切线的倾斜角，所以对于任意的恒成立，即对任意恒成立，即，又，当且仅当，即时，等号成立，故，所以a的取值范围是．故选：D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．} C． D．【答案】D【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.【详解】∵，且，∴，当且仅当时取等号，∴，由恒成立可得，解得：，故选：D.4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．9 B．12 C．16 D．25【答案】D【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到.【详解】因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立．因不等式恒成立，只需，因此，故实数的最大值为25．故选：D5．（2023·全国·高三专题练习）当不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式求出，将恒成立问题转化为，然后解不等式即可.【详解】恒成立，即，又，上述两个不等式中，等号均在时取到，，，解得且，又，实数的取值范围是.故选：B.6．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，然后求出的最小值即可，而，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值.【详解】依题意，，因为正数满足，所以，当且仅当，即时两个等号同时成立，所以的取值范围为.故选：B7．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围.【详解】正实数满足，则，当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，要使不等式恒成立，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合条件，由可得，然后由可得答案.【详解】因为，所以，所以由可得，因为，所以，所以，所以，当且仅当，时取等号，故选：B．9．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.【详解】依题意，．又，而，当且仅当，即，时，前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为故选：10．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.【详解】设，则所以当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目.二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的值可以为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】ABC【分析】将题目转化为恒成立问题，即求的最小值，利用基本不等式求出的最小值，进而可得实数的取值范围，则答案可求．【详解】解：，即恒成立，，则，，当且仅当，即时等号成立，．故选：ABC．【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查恒成立问题的求解，考查学生计算能力和转化能力，是中档题．12．（2023·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【分析】利用基本不等式求出的最小值，再求出的最大值即可求解.【详解】因为，，所以，当且仅当时，等号成立．因为．若恒成立，则，解得．故选：AB.三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习），，且恒成立，则的最大值为__．【答案】4【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．【详解】解：由于恒成立，且即恒成立只要的最小值即可，，故，因此故答案为：4．14．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．【答案】【分析】根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解.【详解】由得．又，当且仅当，即当时等号成立，∴，∴的最大值为．故答案为：15．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对任给，恒成立，则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论．【详解】解：∵x＞0，y＞0，∴不等式等价为a恒成立，设m，则m＞0，平方得m2＝（）2111+1＝2，当且仅当x＝y时取等号，∴m2≤2，则0<m∴要使a恒成立，则a，故答案为[，+∞）【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强．16．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．【答案】【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.【详解】∵，则，原题意等价于对任意恒成立，由，，则，可得，当且仅当，即时取得等号，∴，解得．故正实数的取值集合为.故答案为：．2.一元二次不等式恒成立问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据新定义得，再参变分离，转化为求函数的最值.【详解】等价于，即，记，，．故选：D．2．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由利用二次函数的性质计算可得答案.【详解】，∵不等式恒成立，∴，解得，故选：B．3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】对进行分类讨论，当时不等式恒成立，时不等式恒成立，需要时且，可求得的范围．【详解】当时，不等式化为恒成立，当时，要使不等式恒成立，需，解得，综上可得，不等式对任意恒成立，则的取值范围是．故选：A．4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.【详解】因为对任意的，都有恒成立，∴对任意的恒成立．设，，，当，即时，，∴实数a的取值范围是.故选：D.5．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先将除了以外的量看成常量，运用基本不等式先求出左边表达式的最小值，然后利用分离参数，结合对勾函数性质求解.【详解】由基本不等式，，故只需要即可，即对于任意的，恒成立，等价于对任意的，，或.当时，由于，原式可变形为，记，根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递增，此时；当时，由于，原式可变形为，记，根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递减，在上递增，当，当，注意到，故当时，，故.综上，.故选：D6．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化，解之即可.【详解】因为点在直线上，所以，故，当且仅当且，即时等号成立，因为关于的不等式恒成立，所以，解得，所以.故选：A7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则a的最小值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】，可看作关于的二次函数大于等于0恒成立，则判别式小于等于0恒成立，即在时恒成立，记，利用导数求出最大值即可.【详解】，即，算式可看作关于的二次函数大于等于0恒成立，则判别式恒成立，即在时恒成立，记，则，，解得，，解得，在上单调递增，在上单调递减，，∴，则a的最小值是2，故选：D8．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若对，使得（且）恒成立，则实数的值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用一元二次不等式恒成立，得到，求出实数的值.【详解】对取对数可得：.即关于x的不等式对恒成立，只需所以，解得：.故选：A9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解.【详解】设（），（），因为，所以当时，；当时，；当时，；由不等式恒成立，得：或，即当时，恒成立，当时，恒成立，所以当时，，则，即，则当时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：B.10．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且为与中较大的数，恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意分析可得对恒成立，对整理分析可得：对恒成立，结合二次函数的性质分析运算.【详解】∵当时，则，可得；当时，则，可得；∴当时，，故原题意等价于对恒成立，整理得，∵，则，可得，故原题意等价于对恒成立，构建，可知开口向上，对称轴，可得，或，或，解得，所以a的取值范围为.故选：A.【点睛】关键点睛：1.对的符号分析可得：对恒成立；2.对因式分解，分析可得：对恒成立.二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】由一元二次不等式在R上恒成立可得，即可求的范围.【详解】由题设，，即，所以.故答案为：12．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．【答案】【分析】根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.【详解】在内有解，，其中；设，则当时，，，解得：，的取值范围为.故答案为：.13．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】先移项，根据不等式是否为二次不等式分类讨论，当是一次不等式，若对恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需开口向上且判别式小于零，建立不等式解出即可.【详解】解：原不等式可化为对恒成立．（1）当时，若不等式对恒成立，只需，解得；（2）当时，若该二次不等式恒成立，只需，解得，所以；综上：.故答案为：14．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.【答案】【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解.【详解】可转化为.设，则是关于m的一次型函数.要使恒成立，只需，解得.故答案为：15．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________.【答案】【分析】原不等式可转化为，利用换元法，令，将不等式转化为一元二次不等式在区间上恒成立问题，利用一元二次函数的图象和性质求解即可.【详解】因为，所以原不等式可转化为在上恒成立，令，，要使在上恒成立，当时，不符合题意，当时，若要在上恒成立，由一元二次函数的图象和性质可得该函数图象开口向下，即，当对称轴，即时，只需，解得；当对称轴，即时，只需，解得；综上所述，故答案为：16．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．【答案】【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围．【详解】由不等式对恒成立，可转化为对恒成立，即，而，当时，有最大值，所以，故答案为：．17．（2023·高三课时练习）若对任意恒成立，则实数的取值范围是________【答案】.【详解】由已知得不等式对任意恒成立，所以不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，当时，则不等式对任意不恒成立，所以．所以，即，所以．解得．【点睛】解对数不等式应将两边都化成同底数的对数，利用对数函数的单调性比较真数的大小．不等式对任意恒成立，可转化为不等式对任意恒成立，分与两种情况讨论．时结合二次函数的图像得结论．18．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是，故答案为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．3.一元二次不等式有解问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解.【详解】因为不等式在上有解，所以不等式在上有解，令，则，所以，所以实数的取值范围是故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于，成立，令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.【详解】存在，不等式成立，则，能成立，即对于，成立，令，，则，令，所以当，单调递增，当，单调递减，又，所以f(x)>−3，所以.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；②当时，为开口方向向上的二次函数，只需，即；③当时，为开口方向向下的二次函数，则必存在实数，使得成立；综上所述：实数的取值范围为.故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）设向量满足，，若，，则向量与的夹角不等于（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】利用向量数量积的运算律将模长的平方写为向量的平方，结合一元二次不等式在实数集上有解求解即可.【详解】设向量与的夹角为，，由向量数量积的运算律可将原问题转化为，，即，根据题意整理得有解，所以，解得，故选：C5．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（

）．A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为正实数、满足，则，即，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因为不等式有解，则，即，即，解得或.故选：A.6．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.【详解】由题意得，，，即，故问题转化为在上有解，设，则，，对于，当且仅当时取等号，则，故，故选：A7．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①当时，即，若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；若时，原不等式为，无解，不符合题意；②当时，即，若的解集是空集，则有，解得，则当不等式的解集不为空集时，有或且，综合可得：实数的取值范围为；故选：C．二、填空题