五下 第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)

第二单元因数与倍数提高题和奥数题板块一因数和倍数例题1.一个数在150至250之间，且是18的倍数，这个数可能是多少？最大是多少？练习1.一个数是25的倍数，它位于110至160之间，这个数是多少？例题2.有一个数，它是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？练习2.既是7的倍数，又是42的因数，这样的数有哪些？例题3.妈妈买来30个苹果，让小明把苹果放入篮子里。不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。小明共有几种拿法？每种拿法每次各拿多少个？练习3.五（1）班有学生42人，把他们平均分成几个学习小组，每组多于2人且少于8人。可以分成几个小组呢？板块二2、5、3的倍数的特征例题1.一个五位数29ABC（A、B、C是0～9中不同的数字）同时是2、5、3的倍数，这个数可能是多少？练习1.在17的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时含有因数3和5。这个五位数最大是多少？最小是多少？例题2.5□□0是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？练习2.4□□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？板块三奇数和偶数例题1.一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，不断往返。已知小船最初在南岸。摆渡15次后，小船是在南岸还是在北岸？为什么？小明说摆渡2016次后，小船在北岸。他说得对吗？为什么？练习1.傍晚小亮开灯做作业，本来拉一次开关，灯就该亮了，但是他连续拉了5次开关，灯都没有亮，原来是停电了。你知道来电的时候，灯应该亮着还是不亮呢？例题2.有36个苹果，把它们放在9个盘子里，每个盘子里只放奇数个苹果，能做到吗？练习2.（1）1×2+3×4+5×6+…+199×200的和是奇数还是偶数？（2）有2016个烟花，每次燃放奇数个，想在9次后恰好全部放完，能做到吗？为什么？例题3.桌子上放着5个杯子，全部是杯底朝上，如果每次翻动2个杯子，称为一次翻动，经过多次翻动能使5个杯子的杯口全部朝上吗？如果每次翻动3个杯子呢？练习3.如家宾馆现在有10间客房的灯开着，每次同时拨动4个房间的开关，能不能把这10个房间的灯全部关闭？如果能，至少需要几次？板块四质数和合数例题1.三个不同质数的和是82，这三个质数的积最大是多少？练习1.（1）两个质数的和是小于100的奇数，并且是11的倍数，这两个质数可能是什么数？（2）两个质数的和是2001，这两个质数的积是多少？（3）一个长方形的长和宽都是质数，并且周长是36厘米，这个长方形的面积最大是多少？例题2.用0、1、4、5这四个数字组成两个质数，每个数字只能用一次，求这两个质数。练习2.用0、1、6、5这四个数字组成两个质数，每个数字只能用一次，求这两个质数。例题3.把20以内的质数分别填在下图的练习3.（1）从50以内的15个质数中选出10个不同的质数，填在如图的10个（）中，使每一组两个质数的和都等于合数48。()+()()+()()+()48()+()()+()（2）&=（□+□+□+□+□+□+□）÷□，在□里填20以内各不相同的质数，使&是整数，并且尽可能最大。板块五分解质因数例题1.有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三个人年龄数的乘积是1620，这三个学生的年龄和是多少？练习1.明明、亮亮、丽丽三人是好朋友，他们的年龄依次相差1岁，且乘积是504，已知明明最小，丽丽最大，他们各是多少岁？板块六公因数与最大公因数例题1.张老师给全班同学带来一些糖果。如果把110块糖果平均分给同学们，则多5块；如果把210块糖果平均分给同学们，则正好分完；如果把240块糖果平均分给同学们，则还少5块。张老师的班级最多有多少名同学？练习1.（1）把38个苹果和31个梨分给若干个小朋友，使每个小朋友分得苹果的个数相同，梨的个数也相同。结果苹果多2个，梨多3个，分到苹果和梨的小朋友最多是几个人？每人分得几个苹果和几个梨？（2）赵老师将一条50分米长的红彩带和一条43分米长的绿彩带裁成同样长的小段，结果红彩带余2分米，绿彩带余3分米，所裁的小段最长是多少分米？各能裁成多少段长度相等的小段？例题2.求9021和9991的最大公因数。练习2.求8251和6105的最大公因数。例题3.有一块木料长3.2米，宽1.44米，高0.96米，现在将这块木料锯成体积相同而且最大的正方体，总共可锯成多少块？（木料不浪费）练习3.将一块长120米、宽80米的长方形土地划分成面积相等的小正方形。小正方形的面积最大是多少？例题4.一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米。要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。问：这样的正方形的边长是多少厘米？练习4.从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上述过程不断重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？例题5.如图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距装路灯，要求A、B、C处各装一盏路灯，这条街道至少要装多少盏路灯？A315mB385mC练习5.浦东实验学校食堂和宿舍楼四周组成一个长50米、宽40米的长方形，现计划在这个长方形边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相同，你认为可以有几种不同的植法？每种植法各需要多少棵杉树？板块七公倍数与最小公倍数例题1.一些小朋友分组做游戏，每组4人余2人，每组5人余2人。你知道最少有多少个小朋友做游戏吗？练习1.有一盒铅笔，平均分给4个小朋友余1支，平均分给6个小朋友也余1支。这盒铅笔最少有多少支？例题2.一排电线杆，原来每相邻两根之间的距离是30米，现在距离要改为45米。如果起点的一根电线杆不移动，至少再隔多远又有一根电线杆不需要移动？如果这排电线杆共30根，那么有几根不需要移动？练习2.园林工人在一段公路的两边每隔4米栽一棵树（两端都栽），一共栽了74棵。现在要改成每隔6米栽一棵树。那么，不用移栽的树有多少棵？例题3.两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？练习3.两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，求这两个数分别是多少？例题4.两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？练习4.两个数的最大公因数是21，最小公倍数是126，其中一个数是42，另一个数是多少？例题5.两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？练习5.两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，这两个数的和是多少？例题6.一盒围棋子，4颗4颗地数多3颗，6颗6颗地数多5颗，15颗15颗地数多14颗，这盒棋子的数量在150～200颗之间，问这盒棋子共有多少颗？练习6.（1）有一车饮料，3箱3箱地数剩1箱，5箱5箱地数剩1箱，7箱7箱地数剩1箱.这车饮料至少有多少箱？（2）五（1）班体育小组的学生站队，站成5列少2人，站成3列多1人。这些学生最少有多少人？例题7.加工某种机器零件要经过三道工序。第一道工序每人每小时可完成6个，第二道工序每人每小时可完成5个，第三道工序每人每小时可完成15个。要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几人？练习7.包装一件商品需要三道工序。第一道工序每人每小时可完成20件，第二道工序每人每小时可完成15件，第三道工序每人每小时可完成30件。要使包装过程均衡，三道工序至少各分配几人？例题8.一次会餐共用了75个碗，每人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗，四人一碗水果，参加会餐的有多少人？练习8.一次会餐准备了三种饮料，餐后统计三种饮料共用65瓶，平均每2人饮用1瓶甲饮料，每3人饮用1瓶乙饮料，每4人饮用1瓶丙饮料。参加会餐的人数是多少？例题9.某市公共汽车站有三条公交路线，第一条每8分钟发一辆车，第二条每12分钟发一辆车，第三条每15分钟发一辆车，5:30三条线路同时发出第一辆车，该站发出最后一辆车是19:30。请问该站最后一次三辆车同时发出是什么时刻？练习9.某车站是三条线路公共汽车的起始站，1路车每6分钟发一辆，2路车每5分钟发一辆，3路车每8分钟发一辆，早晨6时三条线路公共汽车同时发第一辆车，问最早在什么时间三条线路公共汽车再次同时发车。（5分）例题10.恰好能同时被6、7、8、9整除的四位数有多少个？练习10.恰好能同时被4、5、6整除的三位数有多少个？板块八约数个数1.约数的个数公式：分解质因数，指数加1再相乘。2.平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数。例题1.正整数378000共有多少个正约数？练习1.求500的约数的个数。例题2.一个数有15个约数，这个数最小是多少？次小是多少？练习2.有10个约数的自然数最小是多少？例题3.在35的倍数中，恰有35个约数的最小数是多少？练习3.42的倍数中，恰好有42个约数的最小数是多少？例题4.三个自然数乘积为86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10.那么这三个自然数分别是多少？练习4.三个自然数乘积为5184，且这三个数的约数个数分别为A个、A+1个，A+2个。那么这三个自然数分别是多少？板块九约数和约数和公式：如果一个数的质因数分解式为a2×b3，则约数和为(1+a+a2)×(1+b+b2+b3)；如果一个数的质因数分解式为a×b×c2，则约数和为(1+a)×(1+b)×(1+c+c2).例题1.求720所有因数的和。练习1.求240所有因数的和。板块十7、9、11、13的倍数的特征9的倍数的特征：一个数各位上的数的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。11的倍数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。7或13的倍数的特征：若一个数的末三位数字与末三位前的数字所组成的数之差（大减小）是7或13的倍数，则这个数就是7或13的倍数。例题1.用1、2、3、4、5、7这6个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？练习1.用1、2、3、4各一次组成四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？竞赛、小升初真题1.将1～2011的奇数排成一列，然后按每组1个、2个、3个、2个、1个、2个、3个、2个、1个、2个、3个、2个……的规律分组如下（每个括号为一组）：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15），（17），（19，21），（23，25，27），（29，31），（33），（35，37），（39，41，43），（45，47），…那么最后一个括号里的各数的和是多少？（2011年全国“希望杯”数学邀请赛）2.在10个盒子里放乒乓球，每个盒子里球的个数不能少于11个，不能是13个，也不能是5的倍数个，且彼此不同，那么至少需要个乒乓球。（2010华罗庚金杯）3.45×28×250×（），要使这个连乘算式的积的最后五个数字都是0，括号里最小应填什么？（2015年江苏省《小学生数学报》“读报知识通讯赛”）4.若A、B、C三种文具分别有38个、78个和128个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下2个A，6个B和20个C，则学生最多有多少人？（2015年全国“希望杯”数学邀请赛）5.已知A、B两数的最小公倍数是180，最大公因数是30。若A=90，则B=。（2009年“希望杯”）6.已知自然数a和b的最小公倍数是140，最大公因数是5，求a+b的最大值是多少。（2015年全国“希望杯”数学邀请赛）7.6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有枚。（上海市第五届小学数学竞赛试题）8.用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛）9.说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题。）挑战极限1.已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为114，求这两个自然数。2.大小两寺敲晨钟，报时警世时光匆，约定晨时同起声，大寺三分敲一下，小寺四分应一声，大小各敲十二通，一人居在两寺中，可闻多少晨钟声。[注释]有大小两座寺院敲晨钟用来报时，大寺院每3分钟敲一下，小寺院每4分钟敲一下，两寺各敲12下，居住在两寺中间的人能听到多少声钟声？3.我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”这里的“几何”是指多少的意思。其译成现代议语言就是有一个数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。4.两个整数的差为7，他们的最小公倍数和最大公约数的差是689，则这两个数分别是多少？本讲作业1.体育课上，40各学生面向老师站成一排，按老师口令，从左到右报数：1，2，3……老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？2.欢欢电影院的座位号码是单号与单号相邻，双号与双号相邻。一个人拿了三张相邻单号的电影票，这三个号码相加的和等于9，问这三个座位分别是几号？若三个号码相加的和等于21，则这三个座位分别是几号？3.小天使幼儿园把49块水果糖和29块奶糖分别平均分给小班的小朋友，结果水果糖多出4块，奶糖少了1块，小班最多有多少名小朋友？4.用辗转相除法求4811和1981的最大公因数。5.小明有一些课外读物，3本3本地数剩2本，5本5本地数剩3本，7本7本地数剩2本，小明至少有多少本课外读物？6.建安小学校舞蹈队的人数在90～110人之间，集体舞表演排队时，如果排成3列，人数不多也不少；如果排成5列，其中一列少2人；如果排列7列，其中一列少4人。你能推算出正确的人数吗？7.父子两人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米，在120米内一共留下多少个脚印？8.有8个约数的最小的奇数是多少？求2520所有因数的和。板块一因数和倍数例题1.150÷18=8……6，250÷18=13……16.18×9=162，18×10=180，18×11=198，18×12=216，18×13=234.答：这个数可能是162，180，198，216或234，最大是234.练习1.110÷25=4……10，160÷25=6……10.25×5=125，25×6=150.答：这个数是125或150.例题2.40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40.40以内（包括40）5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40.所以既是40的因数，又是5的倍数的数有5，10，20，40.答：这个数可能是5，10，20，40.练习2.42的因数有1，2，3，6，7，14，21，42，其中7的倍数有7，14，21，42.答：这样的数有7，14，21，42.例题3.30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30共8个。8-2=6种答：小明共有6种拿法，每种拿法每次分别拿2个、3个、5个、6个、10个或15个。练习3.42的因数有1，2，3，6，7，14，21，42。42÷3=14（个）42÷6=7（个）42÷7=6（个）答：可以分成14个、7个或6个小组。板块二2、5、3的倍数的特征例题1.根据这个数同时是2和5的倍数，可知C=0.再根据2+9+A+B+0的和是3的倍数，可知：2+9+A+B+0=15；2+9+A+B+0=18；……2+9+A+B+0=27；可确定A、B的值。这个数可能是29130，29310，29160，29610，……29790，29970.练习1.这个五位数最大是17970，最小是17010。解析：这个数是偶数，也就是2的倍数，同时这个数是5的倍数，所以这个数的个位数字为0；又因为这个五位数是3的倍数，所以这个五位数各位上的数字和是3的倍数，即1+7+（）+（）+0的和应是3的倍数，1+7=8，8+9+7=24，8+0+1=9；所以这个五位数最大是17970，最小是17010。例题2.这个四位数最小5010，最大是5880.练习2.这个四位数最小4020，最大是4800.板块三奇数和偶数例题1.（1）因为摆渡奇数次后，小船在北岸。15是奇数，所以摆渡15次后，小船在北岸。（2）小明说得不对，因为2016是偶数，而摆渡偶数次后，小船在南岸。练习1.灯就该亮着。例题2.9个奇数相加结果一定是奇数。所以不能做到。练习2.（1）偶数。每个乘法算式都是一个奇数和一个偶数相乘，积都是偶数。而题中一共有（200÷2）个乘法算式，偶数个偶数相加的和仍是偶数.（2）不能做到。因为奇数个奇数的和是奇数，分9次燃放，每次燃放奇数个，一共燃放的烟花一定是奇数个，而2016是偶数，所以做不到。例题3.：如果每次翻动2个杯子，无法做到使5个杯子的杯口全部朝上。如果每次翻动3个杯子，可以使5个杯子的杯口全部朝上。具体翻动方法：将5个杯子按1、2、3、4、5编号。第一次翻动：1、2、3第二次翻动：1、2、4第三次翻动：1、2、5所以翻动三次能使5个杯子的杯口全部朝上。解析：先拿一个杯子做实验：看看有什么发现：次数第1次第2次第3次第4次第5次第6次…杯口朝上朝下朝上朝下朝上朝下…可以看出：要使一个杯子的杯口朝上，必须将杯子翻动奇数次。那么要使5个杯子的杯口全部朝上，翻动的总次数应该是5个奇数次的和，5个奇数的和仍是奇数，也就是说，只有经过奇数次翻动才能使5个杯子的杯口全部朝上。而第一种翻法是每次翻动2个杯子，无论是奇数个2，还是偶数个2，结果都是偶数，这与前面的分析有矛盾。所以如果每次翻动2个杯子，那么无论怎样翻动，都不能使5个杯子的杯口全部朝上。而第二种翻法是每次翻动3个杯子，当翻动的次数是奇数次时，其结果是奇数，符合使杯口全部朝上的要求，所以能够翻动成功。练习3.把每间客房的灯分别编号为1、2、3、……10。第一次：关闭1、2、3、4；第二次：关闭5、6、7，开4；第三次：关闭4、8、9、10。答：能全部关闭，至少需要3次。板块四质数和合数例题1.2×37×43=3182答：这三个质数的积最大是3182。解析：除2外所有的质数都是奇数，三个质数相加的和是偶数，所以必定有一个质数是2。82-2=80，剩下的两个质数的和是80，可能的情况是7和73，13和67，19和61，37和43这四种情况。因为两个数的差越小，积就越大，所以当这两个质数是43和37时，才能使这三个质数的积最大。练习1.（1）这两个质数可能是2和31或2和53或2和97。解析：两个质数的和是奇数，这两个质数中一定有一个质数是偶数，而偶数中的质数只有2一个。所以这两个质数中一个是2。根据两个质数的和又是11的倍数，可知它的和可能为11，33，55，77，99。11-2=9，33-2=31，55-2=53，77-2=75，99-2=97。而9和75合数，所以这两个质数可能是2和31或2和53或2和97。（2）根据整数的奇偶性可知，这两个质数分别是2和1999.2×1999=3998.答：这两个质数的积是3998.（3）36÷2=18，18=13+5=11+7.面积最大为》11×7=77（平方厘米）.例题2.这两个质数分别是5和401.解析：以0和4结尾的数一定不是质数，所以这两个质数的个位上分别是0和5，又因为以5结尾的数只有5是质数，所以另外一个质数是401.练习2.这两个质数分别是5和601.271731113解析：20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19。根据图示得知：要求3组数的和相等，在这3组的四个加数中，第1个和第4个加数是公共的，所以要从20以内的8个质数中找出3组两个数相加和相等的6个数；通过观察发现：5+19=7+17=11+13，所以第一个加数和第四个加数为2和3。练习3.（1）43+5，41+7，37+11，31+17，19+29.（2）（2+3+5+11+13+17+19）÷7板块五分解质因数例题1.1620=2×2×3×3×3×3×5=9×12×159+12+15=36（岁）答：这三个学生年龄的和是36岁。解析：把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。所以可先把1620分解质因数，即1620=2×2×3×3×3×3×5。因为三个学生的年龄相差3岁，所以可把这7个质因数重新组合为：3×3=9，2×2×3=12，3×5=15。所以三个学生的年龄依次为9岁、12岁、15岁。最后再求三个年龄数的乘积。练习1.504=2×2×2×3×3×7，7×8×9答：明明7岁，亮亮8岁，丽丽9岁。板块六公因数与最大公因数例题1.110-5=105（块）240+5=245（块）（105，210，245）=35答：105、210和245的最大公因数是35，所以张老师的班级最多有35名同学。练习1.（1）38-2=36（个）31-3=28（个）（36，28）=4苹果：（38-2）÷4=9（个）梨：（31-3）÷4=7（个）（2）50-2=48（分米）43-3=40（分米）（48，40）=848÷6=6（段）40÷8=5（段）答：所裁的小段最长是8分米。红彩带能裁成6段，绿彩带能裁成5段。例题2.用辗转相除法求它们的最大公因数。第一步：用较大数除以较小数：9991÷9021=1……970；第二步：用上一步的除数除以余数：9021÷970=9……291；第三步：同上一步：970÷291=3……97；第四步：同上一步：291÷97=3.直到整除为止，最后一个除数97就是9021和9991的最大公因数。练习2.8251÷6105=1……2146；6105÷2146=2……1813；2146÷1813=1……333；1813÷333=5……148；333÷148=2……37；148÷37=4.（8251，6105）=37.例题3.3.2米=320厘米1.44米=144厘米0.96米=96厘米（320，144，96）=16.（320×144×96）÷（16×16×16）=1080（块）答：总共可锯成1080块。练习3.（120，80）=4040×40=1600（平方米）答：小正方形的面积最大是1600平方米。例题4.2703÷1113=2……4771113÷477=2……159477÷159=32703和1113的最大公因数为159。答：这样的正方形的边长是159厘米。解析：2703和1113这两个数比较大，它们的公因数很难找，可以用辗转相除法求它们的最大公因数。第一步：用较大数除以较小数，即2703÷1113=2……477；第二步：用上一步中的除数除以余数，即1113÷477=2……159；第三步：同上一步，即477÷159=3。直到整除为止，最后一个除数159就是2703和1113的最大公因数。练习4.2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77，231÷77=3答：最后剪得的正方形的边长是77毫米.例题5.(315,385)=35(315÷35)+(385÷35)+1=21(盏）答：这条街道至少要装21盏路灯.练习5.①间隔1米：（50+40）×2÷1=180（棵）②间隔2米：（50+40）×2÷2=90（棵）③间隔5米：（50+40）×2÷5=36（棵）④间隔10米：（50+40）×2÷10=18（棵）板块七公倍数与最小公倍数例题1.[4，5]=2020+2=22(人）答：最少有22个小朋友做游戏。练习1.[4，6]=1212+1=13(支）答：这盒铅笔最少有13支.例题2.30和45的最小公倍数是90，至少再隔90米又有一根电线杆不需要移动。30×（30-1）=870（米）870÷90=9（根）……60（米）9+1=10（根）答：有10根不需要移动。练习2.（74÷2-1）×4=144（米）[4，6]=12144÷12=1212+1=13（棵）13×2=26（棵）答：不用移栽的树有26棵.例题3.90÷15=6（1）因为6=1×6，所以1×15=15，6×15=90；（2）因为6=2×3，所以2×15=30，3×15=45。答：这两个数分别是15和90或30和45。解析：可以先假设这两个数是已知的，然后根据这两个数的最大公因数是15用短除法分解这两个数，最后根据这两个数的最小公倍数是90分别求出这两个数。设这两个数分别为a和b。15aba1b115a1b1=90所以a1b1=90÷15=6，6=1×6=2×3。当a1，b1分别是1和6时，a，b分别为1×15=15，6×15=90；当a1，b1分别是2和3时，a，b分别为2×15=30，3×15=45。练习3.720÷60=12，因为12=1×12，所以1×60=60，12×60=720；因为12=2×6，所以2×60=120，6×60=360；因为12=3×4，所以3×60=180，4×60=240.答：这两个数分别是60和720、120和360、180和240.例题4.252÷4=6328÷4=763÷7=99×4=36答：另一个数是36.练习4.126÷21=642÷21=26÷2×21=63答：另一个数是63.例题5.108÷6=1818=1×18=2×9=3×666÷6=1111=2+96×2=126×9=54答，这两个数分别是12和54.练习5.180÷18=1010=1×10=2×554÷18=33=5-218×5=9018×2=3690+36=126答：这两个数的和是126.例题6.[4,6,15]=6060×3-1=179（颗）答：这盒棋子共有179颗.练习6.（1）[3,5,7]=105105+1=106（箱）答：这车饮料至少有106箱.（2）[5,3]=3515-2=13(人）答：这些学生最少有13人.例题7.[6,5,15]=3030÷6=5(人）30÷5=6（人）30÷15=2（人）答：要使加工生产均衡，第一道工序至少分配5人，第三道工序至少分配6人，第三道工序至少分配2人。练习7.[20,15,30]=6060÷20=3(人）60÷15=4（人）60÷30=2（人）答：要使包装过程均衡，第一道工序至少分配3人，第三道工序至少分配4人，第三道工序至少分配2人。例题8.[1,2,3，4]=1212÷1+12÷2+12÷3+12÷4=25（碗）75÷25=3（组）12×3=36（人）答：参加会餐的有36人。练习8.[2,3,4]=1212÷2=6（瓶）12÷3=4（瓶）12÷4=3（瓶）6+4+3=13（瓶）65÷13=5（组）12×5=60（人）答：参加会餐的人数是60人。例题9.2812152461532315215[8，12，15]=2×2×3×2×5=12019:30-5:30=14（小时）120分=2小时14÷2=7（次）5时30分+2时×7=19时30分答：该站最后一次三辆车同时发出是19:30。解析：三辆车从5:30同时发出后，到下一次再同时发出的间隔时间是8，12，15的最小公倍数，那么以后每次同时发车时所间隔的时间都是8，12，15的公倍数，也是这个最小公倍数的倍数，[8，12，15]=2×2×3×2×5=120（分钟），也就是2小时；而从5:30到19:30之间相隔14小时，14个小时里包含7个2小时，所以最后一次正好是19:30。练习9.5、6、8的最小公倍数是120。最少要经过120分钟，也就是经过2小时三条线路公共汽车才能再次同时发车。早晨6时经过2时就是上午8时。例题10.[6,7,8,9]=5049999÷504=19……423999÷504=1……49519-1=18练习10.[4,5,6]=60999÷60=16……3999÷60=1……3616-1=15板块八约数个数例题1.378000=24×33×53×7，由约数个数定理可知378000共有约数：（4+1）×（3+1）×（3+1）×（1+1）=160（个）。练习1.500=53×22，（2+1)×(3+1)=12(个）答：500的约数共有12个。例题2.144324解析：15=1×15=3×5，所以有15个约数的数，质因数分解式为□14或□2×□4。前者最小是214，次小是314，都很大；后者最小的是24×32，次小是34×22，即最小是144，次小是324.练习2.10=1×10=2×5，所以有10个约数的数，质因数分解式为□9或□×□4。前者最小是29，很大；后者最小的是2×34，次小是3×24，即最小是48.例题3.35=5×7，所以有10个约数的数，质因数分解式为□4×□6。因为35含有质因数5、7，35的倍数中恰有35个约数的数只能含有这两个质因数，所以这个数最小是74×56.练习3.42=2×3×7，所以有42个约数的数质因数分解式为□×□2×□6。因为42含有质因数2、3、7，42的倍数中恰有42个约数的数只能含有这三个质因数，所这这个数最小是：7×32×26=4032。例题4.86400=27×33×52，8=2×2×2，9=3×3，10=2×5.2×3×5=30，22×32=36，24×5=80.答：这三个自然数分别是30，36，80.练习4.12、16、27.解析：5184=26×34，可凑出三个数是12、16、27，约数个数分别是6个、5个、4个。板块九约数和例题1.720=24×32×5，（1+2+22+23+24）×（1+3+32）×（1+5）=2418练习1.240=24×3×5，（1+2+22+23+24）×（1+3）×（1+5）=744.板块十7、9、11、13的倍数的特征例题1.1+2+3+4+5+7=22，22÷2=11，1+3+7=11，2+4+5=11，××2=72(种）练习1.1+2+3+4=10，10÷2=5，1+4=5，2+3=5，××2=8（种）竞赛、小升初真题1.1+2+3+2=82010÷2+1=1006（个）1006÷8=125……6最后的6个数：2001，2003，2005，2007，2009，2011。最后三个括号里的数：（2001），（2003，2005），（2007，2009，2011）2007+2009+2011=6027答：最后一个括号里的各数的和是6027。2.173提示：11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=17320.解析：45=3×3×5，28=2×2×7，250=2×5×5×5.出现了3个2和4个5，要使乘积最后的五个数字都是0，那么这四个乘数分解质因数后，质因数2和5的个数到少都要有5个，所以还需要2个2和1个5，所以括号里填的数最小是2×2×5=20.4.38-2=36（个）78-6=72（个）128-20=108（个）（36，72，108）=36答：学生最多有36人。5.90÷30=3180÷3=60所以B=60。140÷5=2828=1×28=2×14=4×7,a+b的最大值：5×（1+28）=145182.解析：设1分硬币厚度为x,2分硬币厚度为y,5分硬币厚度为z.则有6x=5y,6y=5z.所以x:y=5:6=25:30,y:z=5:6=30:36.x:y:z=25:30:36.所以枚数的比为：::=36:30:25.1×36+2×30+5×25=221（分）442÷221=2（36+30+25）×2=182（枚）。8.8.解析：1155=5×3×7×11，1155的约数的个数为：（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=16.16÷2=8（对），所以有8种不同的拼法。9.24；1170.解析:360=23×32×5，约数个数：（1+3）×（1+2）×（1+1）=24（个）；约数和：（1+2+22+23）×（1+3+32）×（1+5）=1170.挑战极限1.设这两个自然数为ac和bc。ac+bc=54(a+b)c=54=2×3×9abc-c=114(ab-1)c