2022-2023学年安徽省定远高一下册4月月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省定远高一下册4月月考数学试卷（含解析）一、单选题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.计算（）A.2022 B. C. D.0【正确答案】C【分析】求出的周期，且，所以，即可求出答案.【详解】因为，所以周期为4，且，所以.故选:C.2.已知a、b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则【正确答案】C【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可.【详解】对于A：若，，则或，故A错误；对于B：若，，则或与相交，故B错误；对于C：若，，则，故C正确；对于D：若，，，则或与异面，故D错误.故选：C.3.永定土楼是我国东南沿海地区特有的山区民居建筑，如图所示，土楼的顶部可视为上下开口的圆台，底部可视为上底面与顶部圆台的下底面重合的圆柱.若上午时某条太阳光线通过圆台上底面的边缘照射到圆台下底面中心，此时太阳光线与水平地面所成角为，下午时某条太阳光线通过圆台上底面的边缘照射到圆台内部下底面另一侧边缘，此时太阳光线与水平地面所成角为，且这两条光线与圆台下底面中心看成在同一坚直平面内，土楼顶部对应的圆台的体积为，则该土楼的占地面积为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】作图分析，设圆台下底面半径为，结合图形的几何性质求得圆台的上底面半径以及高，根据圆台的体积求得x，即可求得答案.【详解】设下午阳光从上底面边缘的射人点为为圆台下底面圆心，上底面圆心为，被下午太阳光线照射到内部的下底面边缘点为，延长交于，过A作于.作出上午那条光线关于对称的光线，则对称光线经过点，如图,,设圆台下底面半径，即，为等腰三角形，.由于,则,由题意知,可知四边形为矩形，则,则,，故选：C4.如图，为正方体，下列错误的是（）A.平面 B.平面平面．C.与共面 D.异面直线与所成的角为90度【正确答案】C【分析】由线面平行的判定定理可判断A；由面面垂直的判定定理可判断B，由异面直线的定义可判断C；以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，可得，可判断D.【详解】对于A，由正方体的性质知：，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，由正方体的性质知：平面，平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，平面，则平面平面，故B正确；对于C，平面，因为平面，平面，平面，由异面直线的判定定理知与是异面直线，故C不正确；对于D，以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，，，，，，，所以异面直线与所成的角为90度，故D正确.故选：C.5.若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是（）A.2 B.4 C. D.【正确答案】D【分析】过点作轴交于点，求得，结合斜二测画法的规则，得到点到的距离即为，即可求解.【详解】如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，又因为且，可得，作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为.故选：D.6.如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，点M为线段上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据题意结合余弦定理求得，从而可求得，设，则，利用二次函数的性质即可求解.【详解】因为是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，又，，则，即，设，则又，则时，取最小值.故选：C7.地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚､耐压､耐磨､防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若，则（）A.B.C.D.【正确答案】B【分析】以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算公式，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则，，，，所以，．设，则，解得，所以，即，故选：B方法点睛：用一组基底表示平面向量往往利用平面向量的坐标表示公式以及平面向量运算的坐标表示公式进行求解.8.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在正方形内，若，平面，则的最小值是（）A.2 B. C. D.3【正确答案】B【分析】先根据题中的关系确定点在平面中的位置，在求的最小值.【详解】如图，分别取棱，的中点，，连接，，．因为正方体中，，所以平面内两相交直线，与平面平行所以平面，则点在线段上．过点作，垂足为，连接DH，则，当且仅当与重合时，．故选：B.二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）9.在平行六面体中，已知，则下列说法错误的是（）A.为中点，为中点，则与为异面直线B.线段的长度为C.为中点，则平面D.直线与平面所成角的正弦值为【正确答案】ABD【分析】利用棱台的定义判断A，利用空间向量的数量积运算律求解B,利用线面平行的判定定理判断C，利用线面角的定义判断D.【详解】对于A，如图，连接，为中点，为中点，由图可知，且设则重合，即与相交，故A错误；对于B，因为，所以，所以所以,故B错误；因为为中点，连接交于点，再连接，则在中，，平面，平面,所以平面，C正确；对于D:在平行六面体中，四边形是菱形，则,又,所以，平面，所以平面，又因平面，所以平面平面，过点作于点，平面平面，平面所以平面，所以直线与平面所成角为，，所以,所以，所以，故D错误；故选:ABD.10.如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（）A.三棱锥的体积为 B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为C.直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D.三棱锥外接球的半径为【正确答案】BD【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.【详解】由题意可得，又平面，所以平面，在中，，边上的高为，所以，故A错误；对于B，在中，，，所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；对于C，，设点到平面的距离为，由，得，解得，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；由B选项知，，则，所以的外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，又因为平面，则，所以，即三棱锥外接球的半径为，故D正确.故选：BD.11.已知角，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（）A.若，则是等腰三角形B.若，则C.若是锐角三角形，则D.若，，，则的面积为或【正确答案】BCD【分析】利用诱导公式判断A，利用正弦定理及大角对大边判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用余弦定理求出，再由面积公式计算即可判断D；【详解】解：对于A：若，则，整理得：或，即或，故为直角三角形或等腰三角形，故A错误；对于B：若，即，利用正弦定理得：，故，故B正确；对于C：是锐角三角形，所以，整理得，故，整理得：，故C正确；对于D：由余弦定理，即，解得或，所以或，故D正确；故选：BCD12.下列命题中真命题的是（）A.，反向 B.若，则C.已知向量，，向量在向量上的投影为 D.向量，不可以作平面基底【正确答案】AD【分析】根据数量积的定义判断A，根据零向量和向量垂直的定义判断B，根据投影计算C，根据共线向量判断D.【详解】对于A：，反向，即，所以，故充分性成立，若，则，则，所以，反向，故A正确；对于B：若，则、至少有一个为零向量（或）或、均不为零向量，所以不一定成立，故B错误；对于C：因为，，所以，，所以向量在向量上的投影为，故C错误；对于D：因为，，所以，即，所以向量，不可以作平面基底，故D正确；故选：AD三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在中，内部一点满足，则________________________．【正确答案】【分析】延长交于点，延长交于点，根据，得到为的重心，然后作垂直于交的延长线于点求解.【详解】如图：延长交于点，延长交于点，由知，为的重心，于是为的中点，为的中点.作垂直于交的延长线于点，因为，所以在中，因为，所以故，所以所以.故14.已知复数在复平面内对应的点在射线上，且，则复数的虚部为______．【正确答案】【分析】首先根据条件设复数的坐标，根据模，求解复数，再根据共轭复数的特征，即可求解.【详解】设复数在复平面内对应的点为，，所以，得，所以那么，所以的虚部是.故15.如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________.【正确答案】##【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案.【详解】设圆锥的母线长为，所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，所以，所以圆锥的高.故圆锥的体积为.故答案为.16.在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，，点D在线段BC上，，过点D作，，垂足分别是E，F，则面积的最大值是______.【正确答案】##【分析】先由结合正弦定理求得，，再由余弦定理可得，结合不等式证得，又由得，从而求得，，由此得面积的关于的表达式，进而求得其最大值．【详解】因为，所以由正弦定理得，则，因为，所以，所以，则，由余弦定理可得，即，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，连结，因为，所以，所以，则，，则．故答案为..四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知复数，且为纯虚数.（1）求实数的值；（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）求得的共轭复数，代入中，化简求得对应的实部与虚部，再由纯虚数的定义即可求得实数的值；（2）将代入中化简，求得复数的标准形式，及对应的点，再由第二象限点的特点，即可求得实数的取值范围.【小问1详解】因为，，又为纯虚数，，解得.【小问2详解】，因为复数所对应的点在第二象限，所以，解得，所以的取值范围是.18.在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别为，，，___________.（1）求的值；（2）若的面积为2，，求的周长.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求的值；（2）由面积公式求得，再利用余弦定理求得，可得的周长.【小问1详解】若选①，由已知得，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，由，，解得.若选②，由已知及正弦定理得，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，由，，解得.【小问2详解】由的面积为2，得，所以，由（1）可得，由余弦定理得，所以，所以，所以的周长为.19.如图，在三棱柱中，D是的中点，E是CD的中点，点F在上，且．（1）证明：平面；（2）若平面ABC，，，求平面DEF与平面夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取AD的中点G，连接GE，GF，利用线面平行的判定，面面平行的判定、性质推理作答.（2）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【小问1详解】如图，取AD的中点G，连接GE，GF，由D是的中点，得，因为，则，从而，又平面ABC，平面ABC，即有平面ABC，因为G，E分别为AD，CD的中点，则，又平面ABC，平面ABC，即有平面ABC，又，GE，平面GEF，因此平面平面ABC，因为平面GEF，所以平面ABC．小问2详解】如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，从而，，，设平面DEF的法向量为，则，取，则，，得平面DEF的一个法向量为；设平面的法向量为，则，取，则，，得平面的一个法向量为，则，故平面DEF与平面夹角的余弦值为．20.已知平行四边形中，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M，，设，且．（1）用表示；（2）求．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量的线性运算即可求得答案；（2）求得，,根据向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】由题意得，，故；【小问2详解】为向量和的夹角，且,而，所以,同理,，,而，所以.21.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.（1）求；（2）若，，求的面积.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用诱导公式或者直接展开计算，再根据倍角公式化简即可；（2）利用正弦定理进行角化边，再根据余弦定理求出c边，最后利用正弦定理的三角形面积公式计算即可.【小问1详解】，（或，∴，∵，∴，∴或，解得或，∵，∴，∴.【小问2详解】由（1）知，，由正弦定理得，由余弦定理得，即，整理得，由得，∴.22.已知，，其中，函数的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于x的不等式在内恒成立，求实数m的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用向量的数量积的坐标表示，结合三角恒等变换化简，可得到表达式，利用函数周期求得参数