2020中考数学二轮专题练习：圆的综合题（含答案）

中考数学专题练习：圆的综合题类型一与全等结合1.如图，⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2.过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧eq\o(CBA,\s\up8(︵))上一动点(不与A、C重合)．(1)求∠APC与∠ACD的度数；(2)当点P移动到劣弧eq\o(CB,\s\up8(︵))的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；(3)当PC为⊙O的直径时，求证：△APC与△ABC全等．第1题图(1)解：∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝eq\f(1,2)AB＝2，∴AC＝OA＝OC，∴△ACO为等边三角形，∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，∴∠APC＝eq\f(1,2)∠AOC＝30°，又∵DC与⊙O相切于点C，∴OC⊥DC，∴∠DCO＝90°，∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30°；第1题解图(2)证明：如解图，连接PB，OP，∵AB为直径，∠AOC＝60°，∴∠COB＝120°，当点P移动到eq\o(CB,\s\up8(︵))的中点时，∠COP＝∠POB＝60°，∴△COP和△BOP都为等边三角形，∴OC＝CP＝OB＝PB，∴四边形OBPC为菱形；(3)证明：∵CP与AB都为⊙O的直径，∴∠CAP＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC与Rt△CPA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CP,AC＝AC))，∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)．2.如图，AB为⊙O的直径，CA、CD分别切⊙O于点A、D，CO的延长线交⊙O于点M，连接BD、DM.(1)求证：AC＝DC；(2)求证：BD∥CM；(3)若sinB＝eq\f(4,5)，求cos∠BDM的值．第2题图(1)证明：如解图，连接OD，∵CA、CD分别与⊙O相切于点A、D，∴OA⊥AC，OD⊥CD，在Rt△OAC和Rt△ODC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OD,OC＝OC))，∴Rt△OAC≌Rt△ODC(HL)，∴AC＝DC；(2)证明：由(1)知，△OAC≌△ODC，∴∠AOC＝∠DOC，∴∠AOD＝2∠AOC，∵∠AOD＝2∠OBD，∴∠AOC＝∠OBD，∴BD∥CM；(3)解：∵BD∥CM，∴∠BDM＝∠M，∠DOC＝∠ODB，∠AOC＝∠B，∵OD＝OB＝OM，∴∠ODM＝∠OMD，∠ODB＝∠B＝∠DOC，∵∠DOC＝2∠DMO，∴∠DOC＝2∠BDM，∴∠B＝2∠BDM，如解图，作OE平分∠AOC，交AC于点E，作EF⊥OC于点F，第2题解图∴EF＝AE，在Rt△EAO和Rt△EFO中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OE＝OE,AE＝EF))，∴Rt△EAO≌Rt△EFO(HL)，∴OA＝OF，∠AOE＝eq\f(1,2)∠AOC，∴点F在⊙O上，又∵∠AOC＝∠B＝2∠BDM，∴∠AOE＝∠BDM，设AE＝EF＝y，∵sinB＝eq\f(4,5)，∴在Rt△AOC中，sin∠AOC＝eq\f(AC,OC)＝eq\f(4,5)，∴设AC＝4x，OC＝5x，则OA＝3x，在Rt△EFC中，EC2＝EF2＋CF2，∵EC＝4x－y，CF＝5x－3x＝2x，∴(4x－y)2＝y2＋(2x)2，解得y＝eq\f(3,2)x，∴在Rt△OAE中，OE＝eq\r(OA2＋AE2)＝eq\r(（3x）2＋（\f(3,2)x）2)＝eq\f(3\r(5),2)x，∴cos∠BDM＝cos∠AOE＝eq\f(OA,OE)＝eq\f(3x,\f(3\r(5),2)x)＝eq\f(2\r(5),5).3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，BE⊥DC交DC的延长线于点E.(1)求证：∠1＝∠BCE；(2)求证：BE是⊙O的切线；(3)若EC＝1，CD＝3，求cos∠DBA.第3题图(1)证明：如解图，过点B作BF⊥AC于点F，∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴AB＝BD在△ABF与△DBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAF＝∠BDE,∠AFB＝∠DEB,AB＝DB))，∴△ABF≌△DBE(AAS)，∴BF＝BE，∵BE⊥DC，BF⊥AC，∴∠1＝∠BCE；(2)证明：如解图，连接OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠BAC＝90°，∵∠BCE＋∠EBC＝90°，且∠1＝∠BCE，∴∠BAC＝∠EBC，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∴∠EBC＝∠OBA，∴∠EBC＋∠CBO＝∠OBA＋∠CBO＝90°，∴∠EBO＝90°，又∵OB为⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；第3题解图(3)解：在△EBC与△FBC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BEC＝∠CFB，,∠ECB＝∠FCB，,BC＝BC，))∴△EBC≌△FBC(AAS)，∴CE＝CF＝1.由(1)可知：AF＝DE＝1＋3＝4，∴AC＝CF＋AF＝1＋4＝5，∴cos∠DBA＝cos∠DCA＝eq\f(CD,CA)＝eq\f(3,5).类型二与相似结合4.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F.(1)求∠DAF的度数；(2)求证：AE2＝EF·ED；(3)求证：AD是⊙O的切线．第4题图(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－36°)＝72°，∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC＝36°，∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，∴△EAF∽△EDA，∴eq\f(AE,DE)＝eq\f(EF,EA)，∴AE2＝EF·ED；(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG过圆心O，∵AD∥BC，∴AD⊥AG，∴AD是⊙O的切线．第4题解图5.如图，AB为半圆的直径，O为圆心，OC⊥AB，D为eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，连接DA、DB、DC，过点C作DC的垂线交DA于点E，DA交OC于点F.(1)求证：∠CED＝45°；(2)求证：AE＝BD；(3)求eq\f(AO,OF)的值．第5题图(1)证明：∵∠CDA＝eq\f(1,2)∠COA＝eq\f(1,2)×90°＝45°，又∵CE⊥DC，∴∠DCE＝90°，∴∠CED＝180°－90°－45°＝45°；(2)解：如解图，连接AC，∵D为eq\o(BC,\s\up8(︵))的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)×45°＝22.5°，而∠CED＝∠CAE＋∠ACE＝45°，∴∠CAE＝∠ACE＝22.5°，∴AE＝CE，∵∠ECD＝90°，∠CED＝45°，∴CE＝CD，又∵eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴CD＝BD，∴AE＝CE＝CD＝BD，∴AE＝BD；第5题解图(3)解：设BD＝CD＝x，∴AE＝CE＝x，由勾股定理得，DE＝eq\r(2)x，则AD＝x＋eq\r(2)x，又∵AB是直径，则∠ADB＝90°，∴△AOF∽△ADB，∴eq\f(AO,OF)＝eq\f(AD,DB)＝eq\f(x＋\r(2)x,x)＝1＋eq\r(2).6.如图，AB为⊙O的直径，P点为半径OA上异于点O和点A的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE//AD交BE于E点，连接AE、DE，AE交CD于点F.(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝eq\f(1,3)，求AD；(3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．第6题图(1)证明：如解图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵OE∥AD，∴∠OAD＝∠BOE，∠DOE＝∠ODA，∴∠BOE＝∠DOE，在△BOE和△DOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OB＝OD,∠BOE＝∠DOE,OE＝OE))，∴△BOE≌△DOE(SAS)，∴∠ODE＝∠OBE，∵BE⊥AB，∴∠OBE＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；(2)解：如解图，连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∵AB⊥CD，∴∠ADP＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADP，∴sin∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝sin∠ADP＝eq\f(1,3)，∵⊙O的半径为3，∴AB=6，∴AD＝eq\f(1,3)AB＝2；第6题解图(3)解：猜想PF＝FD，证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴CD∥BE，∴△APF∽△ABE，∴eq\f(PF,BE)＝eq\f(AP,AB)，∴PF＝eq\f(AP·BE,AB)，在△APD和△OBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠APD＝∠OBE,∠PAD＝∠BOE))，∴△APD∽△OBE，∴eq\f(PD,BE)＝eq\f(AP,OB)，∴PD＝eq\f(AP·BE,OB)，∵AB＝2OB，∴PF＝eq\f(1,2)PD，∴PF＝FD.7.如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD＝∠COD.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是菱形．(3)如图②，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求eq\f(FG,FC)的值．第7题图(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，又∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴eq\f(FC,BD)＝eq\f(AF,OB)，即FC＝eq\f(BD·AF,OB)，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴eq\f(FG,BD)＝eq\f(AF,AB)，即FG＝eq\f(BD·AF,AB)，∴eq\f(FC,FG)＝eq\f(AB,OB)＝2，∴eq\f(FG,FC)＝eq\f(1,2).8.如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝4eq\r(3)且eq\f(CF,CP)＝eq\f(3,4)时，求劣弧eq\o(BD,\s\up8(︵))的长度．第8题图(1)证明：∵PF切⊙O于点C，CD是⊙O的直径，∴CD⊥PF，又∵AF⊥PC，∴AF∥CD，∴∠OCA＝∠CAF，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAF＝∠OAC，∴AC平分∠FAB；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCP＝90°，∴∠ACB＝∠DCP＝90°，又∵∠BAC＝∠D，∴△ACB∽△DCP，∴∠EBC＝∠P，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴∠BEC＝∠CBP，∴△CBE∽△CPB，∴eq\f(BC,PC)＝eq\f(CE,CB)，∴BC2＝CE·CP；(3)解：∵AC平分∠FAB，CF⊥AF，CE⊥AB，∴CF＝CE，∵eq\f(CF,CP)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(CE,CP)＝eq\f(3,4)，设CE＝3k，则CP＝4k，∴BC2＝3k·4k＝12k2，∴BC＝2eq\r(3)k，在Rt△BEC中，∵sin∠EBC＝eq\f(CE,BC)＝eq\f(3k,2\r(3)k)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠EBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠DOB＝120°，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\f(120π·2\r(3),180)＝eq\f(4\r(3)π,3).类型三与全等相似结合9.如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G，连接CG.(1)求证：AB＝CD；(2)求证：CD2＝BE·BC；(3)当CG＝eq\r(3)，BE＝eq\f(9,2)，求CD的长．第9题图(1)证明：∵AC为直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD，又∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(AAS)，∴AB＝CD；(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心，∴OA⊥AE，即CA⊥AE，∴∠EAB＋∠BAC＝90°，而∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠EAB＝∠BCA，而∠EBA＝∠ABC，∴△EBA∽△ABC，∴eq\f(EB,AB)＝eq\f(BA,BC)，∴AB2＝BE·BC，由(1)知AB＝CD，∴CD2＝BE·BC；(3)解：由(2)知CD2＝BE·BC，即CD2＝eq\f(9,2)BC①，∵FG∥BC且点F为AC的三等分点，∴G为AB的三等分点，即CD＝AB＝3BG，在Rt△CBG中，CG2＝BG2＋BC2，即3＝(eq\f(1,3)CD)2＋BC2②，将①代入②，消去CD得，BC2＋eq\f(1,2)BC－3＝0，即2BC2＋BC－6＝0，解得BC＝eq\f(3,2)或BC＝－2(舍)③，将③代入①得，CD＝eq\f(3\r(3),2).10．如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2＝CD·CA，eq\o(ED,\s\up8(︵))＝eq\o(BD