北京理工大学概率论与数理统计试题及答案

北京理工大学概率论与数理统计试题及答案一、单选题JAe-x,x>X1、已知随机变量X的密度函数f（x）=〔0,x<X（九〉o,a为常数），则概率P｛九VXV九+a｝（&〉0）的值A）与a无关，随九的增大而增大B）与a无关，随九的增大而减小C）与九无关，随a的增大而增大D）与九无关，随a的增大而减小【答案】C2、在一次假设检验中，下列说法正确的是（A）既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误（B）如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误（C）增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变（D）如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误【答案】AXX…X3、设X1，XX…X3、设X1，X2，，Xn为来自正态总体N（卩2）的一个样本，若进行假设检验，当时，一般采用统计量卩未知，检验o2=02（A）0（B）旧知'o2未知，检验卩=卩（C）0(D)°2已知'检验卩=卩0【答案】D4、设总体X〜N（卩,4、设总体X〜N（卩,°2），X，…,X1为抽取样本，则一"(X—X)2是()nii=1（A）卩的无偏估计（B）°2的无偏估计（C）卩的矩估计（D）°2的矩估计【答案】D5、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是（A）1/5（B）2/5（C）3/5（D）4/5【答案】Bii=n+16、若X〜t(n)那么X2F(1,n)F(n,1)C)XF(1,n)F(n,1)C)X2(n)D)t(n)【答案】A7、在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为m-的样本，则下列说法正确的是-(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验rmS=【答案】A7、在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为m-的样本，则下列说法正确的是-(A)方差分析的目的是检验方差是否相等(B)方差分析中的假设检验是双边检验rmS=丫工(y-y)2(c)方差分析中ei=1j=1iji包含了随机误差外,还包含效应间的差异iji(D)方差分析中s=£m(y—y)2Aii.Ai=1ii.包含了随机误差外,还包含效应间的差异【答案】D8、设X〜0(1,p),X,X，…,X,是来自X的样本，那么下列选项中不正确的是12n-(A)当n充分大时，近似有X〜Np,⑻P{X=k}=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,nn(C)P{X=-}=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,nnn(D)P{X=k}=Ckpk(1-p)n-k,1<i<nin【答案】B9、设X,X，…,X是取自总体X的一个简单样本，则E(X2)的矩估计是12n'S2二1工(X-X)2(B)2J1(c)S(c)S2+x2(D)逬+X2【答案】D10、设X,X,710、设X,X,7，X,12nn+1…，Xn+mmHx2i是来自正态总体N(O,b2)的容量为n+m的样本，则统计量V=—服从的分n辺X2i布是(A)F(m,n)(B)F(n-1,m-1)(C)F(n,m)(D)F(m-1,n-1)【答案】C布是(A)F(m,n)(B)F(n-1,m-1)(C)F(n,m)(D)F(m-1,n-1)【答案】C11、下列二无函数中，可以作为连续型随机变量的联合概率密度。A)r--<X<|COSX,2f(x,y)仁兀小〜,0<y<12其他B)兀c1一<x<,0<y<—Icosx,222g(x,y)=i其他C)cosx,0<X<n,0<y<1申(X,y)」0，其他D)1Pcosx,0<xS,0<y<2h(x,yJ0,其他【答案】BZ12、X,X,…,X是来自总体X〜N(0,,的一部分样本，设：Z二X2+•••+X2Y二X2+•••+X2，则—~()121618916Y(A)N(0,1)(B)t(16)(C)x2(16)(D)F(8,8)【答案】D13、假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是A)F(x)=F(-x);B)F(x)=-F(-x);C)f(x)=f(-x);D)f(x)=-f(-x).【答案】C14、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是F(x)=A)B)11+arctanx2兀F(x)二Jxf(t)dtJf(t)dt二1D)，其中1—(1-e-x),x>0<2F(x)=|0,x<0【答案】B

15、若X〜（fQ12）,Y〜（巴Q2）那么（X，Y）的联合分布为A）二维正态，且P=0B）二维正态，且P不定C）未必是二维正态D）以上都不对【答案】C二、填空题，则统计量1、设X,X,,X是来自总体X〜N（4,a2）的简单随机样本，Q2已知，令X=丄艺X，则统计量121616ii=14X—16服从分布为（必须写出分布的参数）。a【答案】N（0,1）2、用（X，Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X<a,YVb}=【答案】F（a,b）3、设X,X,・・・X为来自正态总体X〜N（卩,a2）的一个简单随机样本，则样本均值X服从12nnii=1（a2）【答案】N卩,——In丿4、若随机变量'在（1，6）上服从均匀分布，则方程X2+'x+1=0有实根的概率是【答案】4/55、设X〜N（2,a2），且P{2<x<4}=0.3，则P{x<0}=【答案】0.2三、解答题（难度：中等）k,0<x<1,0<y<x1、设二维连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度为：f（x,y）=甘皿0,其他求：①常数k，②E（XY）及D（XY）【答案】k=2,E（XY）=1/4,D（XY）=7/1442、（7分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产量机器IIIIII138163155日144148144产135152159量149146141143157153现把上述数据汇总成方差分析表如下方差来源平方和自由度均方和F比A352.933e12T893.73314答案】解：（1）方差来源平方和自由度均方和F比A352.9332176.4673.916e540.81245.067T893.73314每空1分，共5分）（2）又因为F=3.916>F0.952，12）二3.89，所以样本落入拒绝域，即认为三台机器的生产能力有显著差异。（2分）3、某包装机包装物品重量服从正态分布N（卩,42）。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为X二900，样本均方差为S2=2，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化？（0.05）(咒2(15)二6.262，%2(15)=27.488)(8分)0.9750.025（n一1）S2【答案】解：统计量为：（—）—~X2（n-1）b2H0:b20=42，H1:b2HG016n=16，S2=2，b2=42代入统计量得

161.875<x2（15）二6.2620.975所以H不成立，即其方差有变化。04、某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为o2=0.04，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对a=0.05求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）（Z二1.645,Z二1.96）0.050.025【答案】解：这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：[x-2Z,x+2z]na2、na2由题意得：x=15g2=0.04a=0.05n=9代入计算可得化解得：[14.869,15.131][15-02x1.96,15+02x1.96]J9J9化解得：[14.869,15.131]2e-2xx>05、证明题设随即变量X的参数为2的指数分布，证明Y=1-e2e-2xx>0f（x）=【答案】提示：参数为2的指数函数的密度函数为I0x-0,利用Y利用Y=1-e-2x的反函数x=<-2in（1-y）即可证得。06、设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。【答案】n>47、（7分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从X~N（PQ2）正态分布，规定每袋标准重量为卩二1kg，方差g2-°.°22。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为x=0.998，无偏标准差为s=0.032，在显著性水平°=0.05下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？答案】解：H:g2<0.022答案】解：H:g2<0.0220H:g2>0.02202分)X2选统计量~X2(n-1)i=12分)确定否定域确定否定域W二｛Z2