第3章 基本立体的投影

第3章基本立体的投影

3.1平面立体

3.2曲面立体

常见的基本几何体平面基本体曲面基本体

3.1平面立体

3.1.1棱柱

1.棱柱的投影如图3-1(a)所示的正六棱柱，其顶面、底面均为水平面，它们的水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚为一直线。棱柱有六个侧面，前后为正平面，其正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。棱柱的其他四个侧面均为铅垂面，水平投影积聚为直线，正面投影和侧面投影为类似形。

图3-1正六棱柱

图3-1正六棱柱

直棱柱的投影特点：一个投影为多边形，反映棱柱的形状特征，另外两个投影是由矩形（实线和虚线）组成的矩形线框。作图时，先画反映棱柱形状特征的投影——多边形，再根据棱柱的高作出其他两个投影。

2.棱柱表面上的点

在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的点可利用平面投影的积聚性来作图。如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。

3.1.2棱锥

1.棱锥的投影

如图3-2(a)所示的正三棱锥，锥顶为S，其底面△ABC为水平面，水平投影△abc反映实形。棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它们的各个投影均为类似形，棱面△SAC为侧垂面，其侧面投影s″a″（c″）积聚为一直线。

图3-2正三棱锥图3-2正三棱锥

棱锥的投影特点：一个投影为由三角形组成的多边形线框，外形轮廓反映底面实形，另外两个投影为由三角形（实线和虚线）组成的三角形线框。作图时，先画出棱锥底面的各个投影，再作出锥顶的各个投影，然后连接各棱线，并判别可见性。

2.棱锥表面上的点

如果点在棱线上，则可利用点在直线上，其投影必定在该直线的同面投影上求得。如果点所在的平面具有积聚性，则可利用积聚性直接求得。如果点所在的平面为一般位置平面，可通过在该平面上作辅助线的方法求得。

例如，已知棱锥表面上M点的正面投影m′，求水平、侧面投影m、m″。由于m′是可见的，因此该点在一般位置平面——棱面SAB上，可过锥顶S和M点作一辅助线SⅡ，然后，在s2上求出M点的水平投影m，再根据m、m′求出m″。又例如，已知N点的水平投影n，由于n是可见的，因此，N点在侧垂面△SAC上，n″必定在s″a″（c″）上，由n、n″可求出（n′），如图3-2(b)所示。

3.2曲面立体

由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面，由回转面或回转面与平面所围成的立体称为曲面立体。母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的曲面立体有圆柱、圆锥和圆球等。

3.2.1圆柱

1.圆柱面的形成圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线旋转而成的。圆柱体由圆柱面和顶面、底面组成。

2.圆柱的投影圆柱的顶面、底面是水平面，正面和侧面投影积聚为一直线，由于圆柱的轴线垂直于水平面，圆柱面的所有素线都垂直于水平面，故其水平投影积聚为圆，如图3-3所示。图3-3圆柱

图3-3圆柱

在圆柱的正面投影中，矩形的两条竖线分别是圆柱的最左、最右素线的投影，即圆柱面前后分界线（转向轮廓线）的投影。它们把圆柱面分为前后两半，圆柱面投影前半部可见，后半部不可见，这两条素线是可见与不可见的分界线。在圆柱的侧面投影中，矩形的两条竖线分别是圆柱的最前、最后素线的投影，即圆柱面左右分界线（转向轮廓线）的投影。矩形的两条水平线，分别是圆柱顶面和底面的积聚性投影。

3.圆柱表面上的点

在图3-3(b)中，圆柱面上有两点M和N，已知其正投影m′和n′，求另外两投影。由于点N在圆柱的转向轮廓线上，其另外两投影可直接求出；而点M可利用圆柱面有积聚性的投影，先求出点M的水平投影m，再由m和m′求出m″。点M在圆柱面的右半部分，故其侧面投影m″不可见。

3.2.2圆锥

1.圆锥面的形成圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。

2.圆锥的投影图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的投影，它们把圆锥面分为左、右两半。

图3-4圆锥

图3-4圆锥

3.圆锥表面上的点

转向轮廓线上的点由于位置特殊，作图较为简单。如图3-4(b)所示，在最左素线SA上的一点M，只要已知其一个投影（如已知m′），其他两个投影（m、m″）即可直接求出。但是在圆锥面上的点K，只能用间接的方法——作辅助线，才能由一已知投影求出另外两个投影。

图3-4(b)中，已知K点的正面投影k′，求点K的其他两个投影。可用辅助圆法作图，即过点K在锥面上作一水平辅助纬圆，该圆与圆锥的轴线垂直，点K的投影必在纬圆的同面投影上。作图时，先过k′作平行于X轴的直线，它是纬圆的正面投影，再作出纬圆的水平投影。由k′向下作垂线与纬圆交于点k，再由k′及k求出k″。因点K在锥面的右半部，所以k″不可见。

3.2.3圆球

1.圆球面的形成圆球面是由一圆母线以它的直径为回转轴旋转形成的。

2.圆球的投影圆球面的三个投影是圆球上平行于相应投影面的三个不同位置的最大轮廓圆。正面投影的轮廓圆是前、后两半球面的可见与不可见的分界线；水平投影的轮廓圆是上、下两半球面的可见与不可见的分界线；侧面投影的轮廓圆是左、右两半球面的可见与不可见的分界线。如图3-5所示。图3-5圆球

图3-5圆球

3.圆球表面上的点已知圆球面上点A、B、C的正面投影a′、b′、c′，求各点的其他投影，如图3-5(b)所示。因a′