专题2-6比大小15种类型归类（讲练）

专题2.6比大小15种类型归类一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】基础1：指数函数比大小【题型二】基础2：幂指对性质比大小【题型三】基础3：三角函数与幂指对比大小【题型四】临界值型：正负1与0分界【题型五】临界值型：选取中间值【题型六】做差比较法【题型七】做商比较法【题型八】零点比较法【题型九】幂指放大法【题型十】放缩比大小【题型十一】三角函数图像与性质比较法【题型十二】导数构造法比大小【题型十三】构造指数函数型【题型十四】综合利用函数性质比较大小【题型十五】几个比较复杂的构造函数型三、高考真题对点练四、最新模考题组练知识梳理与二级结论一、比大小所需常见函数图像和性质1、指数函数图象定义域__R_______R___值域____________性质过定点___________，即______0_____时，____0_______减函数增函数对数函数图象性质（1）定义域：_.（2）值域：（3）过定点，即x=_1_时，y=0（4）在_上增函数（4）在上是减函数（5）；（5）；3.三角函数性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R单调性[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增；[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上递增最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)对称轴方程x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ二、比大小常见思维1、指数幂比较大小①同底幂比较，构造指数函数，用单调性比较； ②同指数幂比较，构造幂函数，用单调性比较；③不同底也不同指幂比较，借助媒介“1”.2、对数比较大小①同底数对数比较，用单调性比较； ②同真数对数比较，画图像比较；③不同底也真对数比较，借助媒介“0和1”.(3)对数与指数之间比较，一般借助媒介“0和1”.注意：①无理数e≈； ②ln2≈，ln3≈；3、指、对、幂大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.热点考题归纳【题型一】基础1：指数函数比大小【典例分析】1.下列各式比较大小正确的是()A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数的单调性判断数的大小即可．【详解】(A中，∵函数在R上是增函数，2．5<3，∴，错误；B中，∵在R上是减函数，－1<2，∴，正确；C中，∵，∴问题转化为比较与的大小．∵在R上是增函数，，∴，即<，错误；D中，∵>1,0<<1，∴，错误．故选B.2.（2022秋·青海海东·高三校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的性质判断．【详解】最小，又，在上单调递增，所以，即，综上，，故选：A．【提分秘籍】1.利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．2.指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质3.指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0，1），x轴是它的水平渐近线4.进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．【变式演练】1.（2022秋·江西南昌·高三模拟）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可得，根据指数函数的性质即可得的大小关系.【详解】解：，因为，所以，因此.故选：B.2.（2023·高三课时练习）已知，，，则（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数的单调性，确定这三个数的范围，可比较大小.【详解】，即；，即；，即.所以有.故选：B.3.（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）设，其中，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，，可得与的大小关系，而，进而得出大小关系．【详解】，，，又，，即，故选：C．【题型二】基础2：幂指对性质比大小【典例分析】1．（2023春·山东滨州·高三校联考阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性比较大小即可作答.【详解】依题意，，又，所以a，b，c的大小关系是.故选：B2．（2023春·甘肃天水·高三模拟）已知，，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据对数函数、指数函数等知识确定正确答案.【详解】，由于，所以，则，所以，所以.故选：B【提分秘籍】有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.【变式演练】1．（2023春·天津河北·高三模拟）设，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，取中间值比较即可.【详解】因为，，，所以.故选：D2．（2020秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小即可.【详解】，，，所以.故选：C.3.（2024秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）设，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指、对数函数的单调性结合中间值分析判断.【详解】因为在定义域内单调递增，则，即；又因为在定义域内单调递增，则，即；因为在定义域内单调递增，则，即；综上所述；.故答案为：B.【题型三】基础3：三角函数与幂指对比大小【典例分析】1.（湖南省衡阳市2022-2023学年高三上学期模拟数学试题），的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由得，结合函数的单调性及中间值0和1求得结果.【详解】∵，∴，∴，，，∴.故选：B.2.（山东省滨州市2022-2023学年高三上学期数学试题）已知，记，则x，y，z的大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，结合三角函数的性质可得，再利用对数函数单调性结合“媒介数”判断作答.【详解】依题意，，则有，且，因此，，，所以.故选：A【提分秘籍】函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象三角函数基础图像【变式演练】1.（福建省龙岩市一级校2023届高三上学期期末联考数学试题）已知，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用中间值和作差比较法来比较大小.【详解】,;;因为，所以，所以.综上可得.故选：A.2.（山东省济宁市曲阜市第一中学2022-2023学年高三上学期数学试题）下列选项中大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的单调性即可求解【详解】因为，且在内单调递减，在内单调递减，在内单调递增，所以，，，所以。故选：B3.（湖北省部分重点中学2022-2023学年高三上学期联考数学试题）设，，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由指数函数，对数函数单调性分析和与1和0的关系，由正切函数性质分析与1和0的关系，即可得出答案.【详解】，即，，且，即，由正切函数性质可知，即，故，故选：A.【题型四】临界值型：正负1与0分界【典例分析】1.（陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高三上学期数学联考）三个数，，之间的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数性质，再借助“媒介”数即可比较大小判断作答.【详解】函数是R上的减函数，而，则，函数是R上的增函数，而，则，函数是上的增函数，而，则，于是得.故选：C2.（四川省遂宁市射洪中学2021-2022学年高三上学期第三次联考数学试题）设，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】以“1”作为中间量，再结合指数函数和对数函数的单调性即可得到答案.【详解】因为，，所以.故选：D.【提分秘籍】解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础的是以正负划分，正数则以1为区间端点划分。【变式演练】1.（广东省陆丰市林启恩纪念中学2021-2022学年高三上学期第2次模拟（12月）数学试题）已知，，，则，，三者的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数函数的性质比较即可【详解】因为在上为减函数，且，所以，即，因为在上为增函数，且，所以，所以，所以故选：C．2.（重庆市育才中学2021-2022学年高三上学期数学试题）已知，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指数函数的单调性比较可得选项.【详解】解：，，，所以．故选：C．3.（山东省临沂市2021-2022学年高三上学期联考数学试题）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由指对数的运算性质可得，根据单调性比较大小即可.【详解】由题设，，，，∴.故选：C【题型五】临界值型：选取中间值【典例分析】1.在必修第一册教材几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意化简得，能得出，化为指数根据当或时，判定，将两边同时取底数为4的指数，通过放缩比较的进而得出答案.【详解】解：因为，，所以，对于，令，则故当或时，，所以，即所以，将两边同时取底数为4的指数得因为所以故选：B.2.（广西师大附属外国语学校2021届高三5月高考考前模拟考试数学（理）试题）已知，，，，则、、、的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用对数函数的单调性比较、、与的大小关系，利用中间值法判断出、的大小关系，综合可得出、、、的大小关系.【详解】，，，，，则，，，则，因此，.故选：D.【提分秘籍】寻找非0、1的中间变量是难点。中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。然后可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值3.利用幂指对等函数计算公式进行适当的放缩转化【变式演练】1.设，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用对数函数的性质及放缩法有、，可比较，的大小，再由并构造，根据其单调性即可确定，的大小.【详解】由题意，，，∴，由，则，而在上递增，∴，故，即，∴.故选：C2.已知，，设，，，找出这三个数大小关系_________【答案】【分析】把用换底公式变形，已知不等关系及，也取对数后，可把与中间值比较大小，从而得出结论．【详解】由已知，，，又，则，∴，，则，，又，∴，，而，∴，，综上有．故答案为：．3.若，则之间的大小关系是__________.【答案】【详解】注意到.下面证明.，.故.【题型六】做差比较法【典例分析】1.（黑龙江省嫩江市高级中学2021-2022学年高三上学期9月月考数学（理）试题）已知分别满足下列关系：，则的大小关系（从小写到大）_______.【答案】【分析】先分别求出，与可通过作差可比较大小，可以通过放缩再和作商比较出大小.【详解】因为，所以，=，所以即，。所以，故有故答案为：2.（浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高三上学期期中数学试题）已知，，，则，，的大小关系是A． B．C． D．【答案】B【分析】利用作差法比较a,c大小，再分别比较b,c与的关系即可求解【详解】a-c==<0,故又故3>,故,即b>,又＜故,故即c＜,所以b＞c,综上，故选B.【提分秘籍】比法：作差，变形，判断正负。其中难点在于恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或者计算化简，或者放缩为具体值，准确计算找对变形方向是关键。【变式演练】1.已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用比较法，结合基本不等式、对数换底公式比较出的大小关系，再通过构造函数，利用导数的性质比较出的大小关系即可.【详解】，因为，所以有：，所以，，设，，当时，，所以在上单凋递减，因此，即，，，，，所以，综上可知.故选：C.2.（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷（三））已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系．【详解】分别对，，两边取对数，得，，．．由基本不等式，得:，所以，，所以．又，所以.故选：D．3.（广东省真光中学、深圳二高2023届高三上学期联考数学试题）实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得，，，然后与作差结合基本不等式比较大小，构造函数，可判断其在上单调递减，则，化简可得，则，则可比较出与的大小即可【详解】由题意得，，，则，因为，所以，所以，设，则，当时，，所以在上单调递减，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，故选：B【题型七】做商比较法【典例分析】1．（陕西省安康市2023届高三下学期二模理科数学试题），，，，则a，b，c，d的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数、基本不等式等知识，对的大小关系进行分析，从而确定正确答案.【详解】，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.故选：A．2.（广东省深圳外国语学校高中园2022-2023学年高三上学期学段（三）数学试题）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角函数单调性得出，作商比较与，得出，即可得出，同取以2为底的对数得出与，则只需比较与即可，根据对数运算与单调性得出，即可比较得出，即可得出答案.【详解】，即，，即，则，，，，，，，，即，，，即，，即，综上，故选：D.【提分秘籍】商比法：两个正数a，b，如果，运用商比法，要注意两个数是正数还是负数【变式演练】1.（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（理）试题）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先化简得到，，再根据，，则求解即可.【详解】，，首先证明，，则，因为，又因为，，，所以，即证.因为，即，因为，即，所以.故选：A2.（浙江省杭州四校联盟2022-2023学年高三上学期1月数学试题）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数性质确定a，，作商后由换底公式变形，利用均值不等式，再放缩可得，根据对数函数单调性再确定，即可得解.【详解】由题可知，，，易知a，．因为，所以．另一方面，，所以；故选：D．3.已知，，则实数a，b，c的大小关系为（

）A．c＞a＞b B．a＞b＞cC．a＞c＞b D．c＞b＞a【答案】A【分析】先利用作商法比较a，b的大小，再借助中间值“0.5”得到，得到a＜c，即可得到结果．【详解】易知，所以，因为由得所以，所以a＜c．所以实数a，b，c的大小关系为c＞a＞b．故选：A．【题型八】零点比较法【典例分析】1.（2020-20213学年河北邢台一中高三上学期第三次模拟数学试卷）设均为正数，且，，.则的大小关系为______________．【答案】【详解】试题分析：分别是函数的交点，函数的交点，函数的交点，做出三函数图像，由图像可知2.已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可得，由此可构造函数，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；变形为，利用函数与函数的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案．【详解】，故令，则，．易知和均为上的增函数，故在为增函数．∵，故由题可知，，即，则．易知，，作出函数与函数的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在内，即，，．故选：B．【提分秘籍】幂指对函数，可以借助函数之间的图像交点，以及函数与坐标轴的交点，函数的区间值域，来寻找特殊值之间的大小位置关系【变式演练】1.（新疆生产建设兵团四校2020-2021学年高按（上）期中联考数学试题）已知则，，的大小关系是（）。A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知，令，可得，，画出函数的图像，结合的范围，即可比较a,b,c的大小。【详解】由题意知，令，。函数的图像如下，当，由图像可知，即，故答案选B。2.若正实数a，b，c满足，，，则正实数之间的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可知，正实数分别是方程，和在内的根，再根据零点的存在定理，分别可求出正实数的取值范围，由此即可得到结果.【详解】∵与的图象在只有一个交点，∴在只有一个根，设为a．令，∵，，，∴．∵与的图象在只有一个交点，∴在只有一个根，设为b．令，∵，，∴，∴．∵与的图象在只有一个交点，∴在只有一个根，设为c．令，∵，，，∴．∴．故选：A.3.（河南省南阳市第一中学校2021-2022学年高三上学期第四次阶段考试数学试题）已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】画出，，，的图像，根据图像得到答案.【详解】画出，，，的图像，如图所示：根据图像知：.故选：D.【题型九】幂指放大法【典例分析】1.知，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当时的大小，利用特值法即可求得结果.【详解】因为，函数是单调增函数，所以比较a，b，c的大小，只需比较当时的大小即可.用特殊值法，取，容易知，再对其均平方得，显然，所以，所以。故选：B.2.（2023春·青海西宁·高三模拟）已知，，则a，b的大小关系是（

）A． B．C． D．无法确定【答案】A【分析】利用作差法并结合不等式的性质，可得答案.【详解】因为所以，所以，即.故选：A.【提分秘籍】指、对、幂大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.【变式演练】1.（023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由指数与对数的关系及对数函数的单调性计算可得，判定即可【详解】由题意可得：，则，且，即.故选：B2.（2023春·河北邯郸·高三校联考）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解【详解】方法一：，构造函数，则，当时，此时；当时，此时，故，当单调递增，当单调递减，故，故，，又即，故.故选：A.方法二：所以比较，以下同方法一【题型十】放缩比较法【典例分析】1.（江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学试题）设，，，则a，b，c的大小关系为______.（用“<”连接）【答案】【分析】易知，的大小借助指数和对数的运算性质放缩可得，详见解析.【详解】，，再比较与的大小，同时四次方：，则.故答案为：.2.若，则之间的大小关系是__________.【答案】【详解】注意到.下面证明.，.故.【提分秘籍】放缩：1.借助幂指对函数的单调性进行放缩。2.常用一些放缩公式：;当时取等;,当时取等,【变式演练】1.（湖北省华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高三下学期5月考前模拟数学试题）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合已知条件，比较和的大小，进而可得到和的大小，然后利用介值比较与的大小，利用介值和对数函数性质可得和的大小，进而得出答案.【详解】由，，可知，又由，从而，可得，因为，所以；因为，从而，即，由对数函数单调性可知，，综上所述，.故选：B.2.若，，，则a，b，c的大小关系为（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】利用对数运算的性质将化简为，从而和c比较大小，同理比较a,c的大小关系，再根据两个指数幂的大小结合对数的运算性质可比较a,b大小，即可得答案.【详解】由题意：，，故．又，即，所以，即，因为，所以．因为，故，即，所以，所以，所以，所以，故选：B.3.（福建省漳州第一中学2023届高三上学期第一次阶段考试数学试题）若，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式和对数的运算法则得到，再利用指数函数单调性结合放缩法得到即可求解．【详解】，，，，，，，，，故选：．【题型十一】三角函数图像与性质比较法【典例分析】1.（辽宁省沈阳市实验中学2019-2020学年高三考试数学试卷）均为锐角，若，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析得到，即得解.【详解】由题得...综合得.故选：C2.（陕西省渭南市蒲城县2020-2021学年高三教学检测数学试题）设，，，则、、之间的大小关系是_____.【答案】【分析】根据诱导公式知，可由正弦函数单调性知，有知，即可比较出大小.【详解】因为所以因为知，所以，故填.【提分秘籍】三角函数与三角函数值比较大小：1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当(0，)时，3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小【变式演练】1.（黑龙江省牡丹江市第一高级中学2021-2022学年高三下学期4月数学试题）设，，，，则a，b，c，d的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化简得到，，，，得到答案.【详解】；；；.根据余弦函数的单调性知：.故选：.2.（2023春·河南南阳·高三模拟）已知，，，则实数的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，根据正弦函数、余弦函数及正切函数的性质判断即可.【详解】因为，所以，即，，即，，所以.故选：C3.（2023春·江苏盐城·高三模拟）已知，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦函数在上单调递减得到，再利用正切函数在上单调递增得到，进而得到a，b，c的大小关系.【详解】，，又余弦函数在上单调递减，则，即；又正切函数在上单调递增，则，综上.故选：C【题型十二】导数构造法【典例分析】1.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，构造函数，利用函数单调性比较大小即可.【详解】令，所以所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，因为，，，所以，即.故选：C2.（【全国百强校】重庆巴蜀中学2019届上学期高三期中复习数学试卷）已知，则的大小关系为A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，求导当，当，所以函数在上增函数在上减函数，所以，即可得出结论.【详解】因为，当，当，所以函数在上增函数在上减函数，所以，，故选C.【提分秘籍】常见的构造函数求导思维：在于转化过程中，“分参”→“构造”，得新函数，求导函数寻找单调性【变式演练】1.（河北省正定中学2021届高三下学期开学考试数学试题）设，，，则的大小关系为A． B． C． D．【答案】B【详解】①由题意得；②由于，令，则，∴区间上单调递减，∴，即，因此，故，所以，可得；③由于，令，则，∴区间上单调递增，∴，即，∴，故．综上可得．选B．2.若，则的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题设，，，构造，利用导数研究其单调性，进而判断的大小.【详解】由题设知：，，，令，则，易知上单调递增，上单调递减，即，∴.故选：A.3.（四川省宜宾市第四中学校2022-2023学年高三上学期12月月考数学（文科）试题）设，，，则a、b、c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，构造且研究单调性比较大小，构造且研究单调性判断函数值符号比较的大小，即可得结果.【详解】由，因为，，则，，令且，则，则递减，所以，即，则，故；因为，，由，令且，则，则递增；故，，而，所以，则，即，综上，.故选：D【题型十三】构造指数函数型【典例分析】1.若，则，，的大小关系正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】,则欲比较大小的三个式子结构相同，可以构造函数，再利用其单调性即可判断答案.【详解】设函数，则，当时，，单调递减.由，可得，则，所以，即.故选：D.2.已知，若，，，则的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，结合时，可得结果.【详解】构造函数，，则，所以函数在上单调递减.因为，所以，所以.故选：A.【提分秘籍】指数函数图像的三个扩展模型【变式演练】1.（陕西省西安市阎良区2020-2021学年高三理科数学试题）设，已知，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导函数可得的单调性，从而可比较a，c的大小，设，由幂函数的单调性可比较b，c的大小，从而可得选项.【详解】解：，当时，，则，所以在上单调递减，因为，所以，所以，所以，所以，设，则在上单调递增，又，所以，则，所以，故选：D.2.（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）设，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，得，判断函数在的单调性，结合减函数的性质与不等式性质，判断出，，的大小关系．解：设，则，当时，，故在为减函数，，，则，故；又，，即，故，．故选：B．【题型十四】综合利用函数性质比较大小【典例分析】1..已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当成立（是函数的导数），若，则的大小关系是A． B． C． D．【答案】A【详解】令，则当，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即为偶函数，为奇函数，因此当，即为上单调递减函数，因为，而，所以，选A.点睛：利用导数比较大小，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等2.（广东省六校2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知，为函数的零点，，若，则（

）A． B．C． D．与大小关系不确定【答案】C【分析】为函数的零点，则可以将三个根代入方程得到三个方程，再将这三个方程进行运算凑出，可解出为定值，然后再根据函数有三个零点求出的范围可得答案.【详解】易知为函数的零点，又解之：，负根舍去；又，即与有三个交点，交点横坐标分别为，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设切点为切线方程为：过原点，此时的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，故选：C【变式演练】1..已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用奇函数的定义得函数是奇函数，再利用导数研究函数的单调性，结合，再利用单调性比较大小得结论.【详解】因为函数满足，且在上是连续函数，所以函数是偶函数，令，则是奇函数，且在上是连续函数，则，因为当时，成立，即，所以在上单调递减，又因为在上是连续函数，且是奇函数，所以在上单调递减，则，，，因为，，，所以，所以，故选：B.2.（安徽省蚌埠市2021-2022学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题）已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得为偶函数，且在上单调递增，由题可得，，，构造函数及，利用导函数判断的大小可得答案.【详解】∵，∴令，，为偶函数，令，设，则，因为，，，所以，所以，所以在是增函数，又为增函数，所以在上为增函数，所以，，由，得，当时；当时，所以，当且仅当时取等号，所以，故，∴，令，，当时；当时，所以，当且仅当时取等号，，，.综上故选：D3.（广东省汕头市潮阳实验学校2021-2022学年高三考试数学试题）已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为.当时，恒成立.设，记，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，时，即．构造函数，当x<0时，，即F(x)在上递增，为奇函数．所以F(x)在单调递增．因为，所以，即，所以,,所以．选B.【题型十五】几个比较复杂的构造【典例分析】1.（2021年高考全国乙卷数学（理）高考真题变式题11-15题）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】观察a,b,c的结构，进而变形为，，，然后通过构造函数，利用导数得出函数的单调性，最后比较出大小.【详解】由题意，，，，构造函数，则，所以函数在上单调递减，所以，即.故选：C.2.（山东省实验中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）若，，，其中为自然对数的底数，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，利用导数可求得的单调性，得到，进而可得，知；令，利用导数可求得，结合幂函数单调性可得，由此可得大小关系.【详解】令，则，令，则，在上单调递增，，又，，，即，；令，则，在上单调递增，，，即；在上单调递增，，即；综上所述：.故选：C.【变式演练】1.（广东省深圳市盐田高级中学2023届高三上学期11月月考数学试题）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中间值法比较与，与的大小关系，再通过构造函数，然后通过的单调性比较与的大小关系.【详解】，；；又，.令，，由于中，，所以，故在上恒成立，得在单调递增.故，即，即得证：，故得.综上所述得.故选：B2.（江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高三上学期12月抽测二数学试题）已知，则的大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造，，利用导函数求单调性，分别令和即可求解.【详解】设令，则在上恒成立，单调递增，又，所以在上恒成立，所以，即；令，则在上恒成立，单调递增，又，所以在上恒成立，所以，即，所以；综上，故选：A3.（广东省广州市四校2023届高三上学期第二次模拟联考数学试题）若a＝，，c＝，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为（

）A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】B【分析】构造函数，利用导数证明，可比较大小，再设设，，利用导数证明（），得出的大小，从而得结论．【详解】设，，，时，，设，则，所以在上是增函数，，所以时，，所以，即，即，，设，，，所以是增函数，，，，从而，，，综上，．故选：B．高考真题对点练一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.2．（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D3．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.【详解】，，，，，，.故选：D.4．（2020·天津·统考高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.5．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为A． B．C． D．【答案】A【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小．【详解】；；．故．故选A．6．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为A． B．C． D．【答案】A【解析】利用等中间值区分各个数值的大小．【详解】，，，故，所以．故选A．7．（2018·天津·高考真题）已知，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.8．（2018·天津·高考真题）已知，则的大小关系为A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.9．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．10．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当故，故，所以；设，，所以在单调递增，故，所以，所以，所以，故选A[方法二]：不等式放缩因为当，取得：，故，其中，且当时，，及此时，故，故所以，所以，故选A[方法三]：泰勒展开设，则，，，计算得，故选A.[方法四]：构造函数因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．最新模考真题一、单选题1．（2021·陕西西安·统考一模）已知实数a、b满足，则a、b的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】构造函数，，结合指数函数和一次函数的单调性求解即可.【详解】设，，则，因为函数和在上都为增函数，所以函数在上为增函数，所以.故选：C.2．（2020·陕西榆林·陕西省神木中学校考三模）设，，，则下列大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数及正切函数的性质判断即可.【详解】因为，，即，，所以.故选：D3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求，结合对数函数单调性分析判断.【详解】由题意可知，，，所以，故.故选：A．4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对数的运算性质，化简得到，，，即可求解.【详解】由对数函数的运算性质，可得，，，所以．故选：D．5．（2023·广东深圳·统考二模）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】使用对数恒等式和对数运算对进行化简放缩比大小，找到中间值，结合三角不等式，判断与的大小.【详解】得，再由对数运算可得.当时，令，则，所以在递减，则.所以，故.故选：A6．（2023·福建三明·统考三模）已知函数，设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先分析函数的单调性和对称性，根据函数的性质，再研究与对称轴的距离即可求解.【详解】由题意：，，是的对称轴；设，，并且，则，显然是增函数，，，，，即当时，是增函数，，根据复合函数单调性规则：同增异减，在时是增函数，根据对称性，当时，是减函数；下面分析自变量时与的距离，显然距离越大，对应的函数值越大，；设，则，是增函数，又，所以当时，，即，，；设，则，当时，是减函数，又，所以时，，即，，又，；；故选：C.【点睛】本题难度较大，分析问题的出发点是函数的图像，然后要运用缩放法对自变量x与对称轴的距离做出比较，其中是对正切函数和对数函数的一个常用的缩放，需要掌握.7．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知正实数分别满足，，，其中是自然常数，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作商法可比较出大小关系；可构造函数，将和大小关系的比较转化为和大小的比较，利用导数可求得单调性，从而比较出大小关系.【详解】由得：，，，，，又，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；，即，，即；且，即，，即；综上所述：.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用函数单调性比较大小的问题；解题关键是能够根据所给数字的特征，将问题转化为的不同函数值的比较问题，从而利用导数求得函数单调性，根据单调性得到大小关系.8．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）若实数a，b，，且满足，，，则a，b，c的大小关系是（

）A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a【答案】B【分析】注意到，，.通过构造函数可比较与c的大小.后构造可比较大小，即可得大小.【详解】由，，，得，，，令，则，当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，于是，即，又b，，所以；，因为，所以，，，因此，于