非线性振动初步-Read课件

第一章非线性振动初步第一章1第一节无阻尼单摆的自由振荡第二节阻尼振子第三节相图方法第四节受迫振荡非线性振动初步第一节无阻尼单摆的自由振荡非线性振动初步2第一节无阻尼单摆的自由振荡

1小角度无阻尼单摆椭圆点2任意角度无阻尼单摆振动双曲点3无阻尼单摆的相图与势能曲线第一节无阻尼单摆的自由振荡3

由牛顿第二定律：

非线性方程式中角频率：1小角度无阻尼单摆椭圆点数学表达式由牛顿第二定律：1小角度无阻尼单摆椭圆点4

线性化处理忽略3次以上的高次项得线性方程数学表达式1小角度无阻尼单摆椭圆点线性化处理数学表达式1小角度无阻尼单摆椭圆点5令代入方程得得特征方程：特征根：得通解为：式中为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数必须满足条件：将写成指数形式后得：该式是振幅为P，角频率为的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频率只与摆线l得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。数学表达式1小角度无阻尼单摆椭圆点令数学表达式1小角度无阻尼单摆椭6使得：一次积分后：式中E为积分常数，由初始条件决定。把看作为两个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为，振动过程是一个代表点沿圆周转动。相图1小角度无阻尼单摆椭圆点使得：相图1小角度71小角度无阻尼单摆椭圆点相图相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线。能量方程右边第一项为系统动能K，第二项为系统势能V，E是系统的总能量。运动过程中K和V两者都随时间变化，而系统总能量E保持不变。当K=V=0时，E=0，有，这时摆处于静止状态，为静止平衡。当E>0时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能量E

相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E=0的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。1小角度无阻尼单摆椭圆点相图相图即状态图，是法8周期与摆角无关？看看实验结果：定性结论：1.周期随摆角增加而增加2.随摆角增加波形趋于矩形单摆周期2任意角度无阻尼单摆振动双曲点周期与摆角无关？单摆周期2任意角度无阻尼单摆振动双曲点9对方程乘以后积分其中积分设t=0时，，周期为T，在时应有，故有：最后得：单摆周期数学表达式2任意角度无阻尼单摆振动双曲点对方程单摆周期数学表达式2任意角度无阻尼单摆振动10在倒立附近，取对铅垂的偏角f表示摆角，代入单摆方程得方程利用得方程积分得双曲方程：当E＝0时有这是在[]处的双曲线的渐近线，这点称为双曲奇点，也称鞍点。相图上这点为的[]点。2任意角度无阻尼单摆振动双曲点单摆倒立附近的相轨线双曲奇点在倒立附近，取对铅垂的偏角f表示摆角，2任意角度无113无阻尼单摆的相图与势能曲线基本方程若取后积分得左边第一项是单摆动能K，左边第二项是势能

V右边积分常数E是单摆总能

势能曲线是余弦函数势能曲线3无阻尼单摆的相图与势能曲线基本方程势能曲线121.坐标原点[]附近相轨线为近似椭圆形的闭合轨道；2.平衡点[]为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线；3.从[]到[]或相反的连线为分界线在分界线内的轨线是闭合回线单摆作周期振动。分界线以外单摆能量E超过势能曲线的极大值，轨道就不再闭合，单摆作向左或向右方向的旋转运动单摆完整相图3无阻尼单摆的相图与势能曲线1.坐标原点[]附近相轨线为近似椭圆形13相图横坐标θ是以2p为周期的，摆角是同一个倒立位置，把相图上G点与G‘点重迭一起时，就把相平面卷缩成一个柱面。所有相轨线都将呈现在柱面上。因此，平面上的相轨线是柱面上的相轨线的展开图。柱面上的单摆相轨线3无阻尼单摆的相图与势能曲线柱面上的单摆相轨线3无阻尼单摆的相图与势能曲线14第二节阻尼振子1阻尼单摆不动点2无驱杜芬方程3非线性阻尼范德玻耳方程第二节阻尼振子151.阻尼单摆不动点无阻尼时：设阻尼力与摆的速度成正比：取β＝得：如果满足就有：数学表达式1.阻尼单摆不动点无阻尼时：数学表达式16设解为得特征方程l为待定常数，特征方程解：故有：通解为最后有：小摆角阻尼单摆的解1.阻尼单摆不动点设解为小摆角阻尼单摆的解1.阻尼单摆不动点17对阻尼单摆解微分坐标从[

]变换到[u,v]式中消去时间t阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在[u,v]平面上是向内旋转的对数螺旋线簇。在[]平面内也与此类似。能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从那点出发，经若干次旋转后趋向坐标原点，原点为“吸引子”，它把相空间的点吸引过来，原点又称不动点。相轨线

吸引子1.阻尼单摆不动点对阻尼单摆解181.整相平面被通过鞍点G与G‘的轨线分成三个区域。2.在坐标原点附近轨线是向内旋转的对数螺旋线,和小摆角情况相似;3.鞍点的位置仍在处，任意摆角下的相图1.阻尼单摆不动点运动

从倒立开始往下摆，由于能量耗散达不到原有高度。轨线从一个鞍点出发到不了另一鞍点，分界线被破坏了。相流所有中间区域的相点流向坐标原点。原点是该区域的不动点，是该区域吸引子。左右两个区域也有相应的吸引子，它们分别处在该图左(-2p)和右(+2p)两侧。1.整相平面被通过鞍点G与G‘的轨线分成三个区域。任意摆角下192.杜芬方程数学上将含有

三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：

实验中系数由磁铁的吸力调整。弱磁吸力时，强磁吸力时。

例：弱非线性单摆属Duffing方程：取：得：杜芬方程2.杜芬方程数学上将含有三次项的二阶方程称为Duf20研究无驱无阻尼杜芬方程：（，，）

积分得：由系统能量得：讨论：由知：1.当时有一个平衡点：2.当时有三个平衡点：3.平衡点为两个能量最小点势能曲线2.杜芬方程研究无驱无阻尼杜芬方程：21相图2.杜芬方程相图2.杜芬方程22从杜芬方程势能曲线，画出(）平面上的相轨线。1.对于，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道;2.对于,坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线;在处是椭圆点，附近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋形轨线。3.对于,通过坐标原点是两条相交界轨线。其中两条轨线走向原点，另两条离开原点；当沿一条从原点出发绕了一圈后回到原点，这原点称同宿点。相图2.杜芬方程从杜芬方程势能曲线，画出(）平面上的相轨线。23有阻尼：1.所有闭合相轨线破裂成向内卷缩的螺旋线。2.，原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。3.，原点是鞍点，坐标()处两不动点，是吸引子。整个相平面被分隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。阻尼方程相图2.杜芬方程有阻尼：阻尼方程相图2.杜芬方程243非线性阻尼振子范德玻耳方程小角度单摆方程阻尼项系数常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：阻尼项系数是与x2

有关，e为可以任意设定的小数。它是为描述LC

回路电子管振荡器，由范德玻耳建立,称为范德玻耳方程非线性阻尼振子单摆运动与LC回路3非线性阻尼振子范德玻耳方程小角度单摆方程25范德玻耳方程解法谐波线性化方法将范德玻耳方程写为仿照单摆方程的解，设范德玻耳方程的解为：两次微分一起代入方程得：令方程两边同次谐波项系数相等得：3非线性阻尼振子范德玻耳方程范德玻耳方程解法谐波线性化方法3非线性阻尼振子范德玻耳26范德玻耳方程解法谐波线性化方法（续）忽略方程中的三次谐波项。因为：就有：就可将范德玻耳方程化为线性化方程：其解为3非线性阻尼振子范德玻耳方程范德玻耳方程解法谐波线性化方法（续）3非线性阻尼振子范27方程解的讨论线性化方程范德玻耳方程解其衰减系数与频率与振幅相关，由此得：1.当，系统作衰减振动，振动频率；2.当，系统作增幅振动，振动频率；3.当时，系统作等幅振动，振动频率；4.整体上只要初振幅不等于零，振动总是趋向于稳定幅值。3非线性阻尼振子范德玻耳方程方程解的讨论线性化方程范德玻耳方程解3非线性阻尼振子范28当时，系统作增幅振动，初始相点从内向外趋近于极限环；当时，系统作减幅振动，初始相点从外向内逼近于极限环；范德玻耳方程相图

方程解的结论是振动趋于一个定常振幅的周期振荡。在相平面上是一条闭合轨线，称为极限环。极限环是另一类吸引子，它将环内与环外的相点吸引到环上。3非线性阻尼振子范德玻耳方程时的相轨线当时，系统作增幅振动，初范德玻耳方程相图291.相轨线2.平衡点的类型及其稳定性第三节相图方法1.相轨线第三节相图方法30由单摆基本方程引进变数y：一个二阶方程改用两个一阶微分方程来描写：利用第二式可得单摆相轨线方程积分得单摆的椭圆轨线方程：单摆1相图方法由单摆基本方程单摆1相图方法31一个非线性微分方程：

引进变数y后有或更一般的形式得相轨线方程：一般情况1相图方法一个非线性微分方程：一般情况1相图方法32系统的平衡点从下面推出：一般的形式平衡点坐标：系统的平衡点

2平衡点的类型及其稳定性系统的平衡点从下面推出：系统的平衡点2平33对平衡点的邻域进行泰勒展开引进新变数：平衡点附近的轨线方程

2平衡点的类型及其稳定性得新方程：式中

研究平衡点的邻域的相轨线，可以忽略高阶项，得线性方程组对平衡点的邻域进行泰勒展开平衡点附近的轨线方程2平衡点的34研究平衡点的邻域线性方程组微分代入得二阶线性方程：通过求解这方程得各种平衡点类型

2平衡点的类型及其稳定性平衡点附近的轨线方程研究平衡点的邻域线性方程组2平衡点的类型及其稳定性35方程代入特征方程引入符号特征方程解：由特征方程得：参数l取值不同,给出不同类型平衡点.

特征方程解的简化：由于每个变量X,Y中包含了两个参数l，看不清平衡点的性质，于是进行坐标变换：在新坐标中有：其解分别只与一个参数有关：

2平衡点的类型及其稳定性平衡点附近的轨线方程方程特征方程解的简化：2平衡点的类型及其稳定性平衡点附36平衡点类型⑴结点特征根式的根号中，则解为两个同号实根，其平衡点称为结点。结点有稳定与不稳定之分如果，结点为稳定的。如果，结点为不稳定。

2平衡点的类型及其稳定性平衡点类型⑴结点2平衡点的类型及其稳定性37⑵鞍点特征根式根号中，解为异号实根。相轨线为双曲线，奇点为不稳定的鞍点。有四条流线通过鞍点，其两条流向鞍点是稳定的，另外流离鞍点的两条是不稳定的。“鞍点”源于对该点特性形象描述，指马鞍中心点，是沿马脊梁的最低点。流向鞍点是两条稳定流线，但任何微小偏离将使其沿马背的左或右边滑走。

2平衡点的类型及其稳定性平衡点类型⑵鞍点2平衡点的类型及其稳定性平衡点类型