人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式培优课件

公元前6世纪末，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，但没有进行大小比较，只是研究过部分中项的几何作图以及它们的数量关系．公元前2世纪，芝诺多罗斯获得与基本不等式等价的结果《论等周图形》．公元3世纪初，三国时期的吴国人赵爽在研究勾股定理设计的弦图中，能形象地构建出基本不等式．一元二次函数、方程和不等式主要内容有不等式性质、基本不等式、一元二次不等式，这是进一步学习数学知识的基础和工具，也是高考的重点．不等式性质的考查经常与充要条件结合，对基本不等式的考查主要是利用基本不等式求最值，对二次函数与一元二次方程、不等式的考查主要是一元二次不等式求解和恒成立问题．每年高考对一元二次函数、方程和不等式的考查有1～2题，以选择题、填空题为主，解答题中一般作为中间步骤出现．2．1等式性质与不等式性质第一课时不等关系与不等式[学习目标]

1.通过实例理解不等式的概念，能用不等式或不等式组表示不等关系．2.掌握两个实数大小比较的基本事实．3.会用作差法比较两个代数式的大小，并了解“糖水不等式”模型．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

我们可以用方程(组)表示等量关系，你会用不等式(组)表示不等关系吗？问题2

两个实数a，b大小比较的基本事实是什么？问题3

作差法比较两个代数式大小的步骤是什么？问题4

你知道“糖水不等式”吗？[预习自测]1．下面列出的不等式中，正确的是(

)A．a不是负数，可表示成a＞0B．x不大于3，可表示成x<3C．m与4的差是负数，可表示成m－4<0D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0C解析：a不是负数，表示为a≥0，故A不正确；x不大于3，表示为x≤3，故B不正确；m与4的差是负数，表示为m－4＜0，故C正确；x与2的和是非负数，表示成x＋2≥0，故D不正确．解析：据题设v≤120km/h，d≥10m，且两条件应同时满足．D3．已知a2－b≥0，则a2与b的大小关系是________．解析：由实数大小比较的基本事实可得a2≥b.a2≥b4．用“>”或“<”填空：(x－1)(x－3)________x(x－4).解析：∵(x－1)(x－3)－x(x－4)＝x2－4x＋3－x2＋4x＝3＞0，∴(x－1)(x－3)＞x(x－4).>不等关系的表示将实际的不等关系写成对应的________时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用________表示出不等关系．不等式不等式[例1]某单位在对一个长为100m、宽为60m的草坪进行绿化时，是这样设想的：中间为矩形绿草坪，四周为等宽的花坛，如图所示，若把花坛的宽度设为xm，怎样用不等式表示绿草坪的面积不小于总面积的二分之一？分析：题审清题意，设出适当变量表示不等关系．[例2]已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：食物甲乙维生素A/(单位/kg)600700维生素B/(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各xkg，ykg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用不等式表示x，y所满足的不等关系．分析：题首先搞清楚x和y的关系，再列出相应的不等式．1.常见的文字语言与数学符号之间的对应关系如下：2.在用不等式表示不等关系时，应特别注意能否取等号，例如表示“超过”或“不足”时，都不能取等号，而表示“不超过”或“不少于”时，则包含相等的情况，应该取等号．2．某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．作差法比较大小两个实数大小比较的基本事实：(1)文字叙述：如果a－b是_____，那么a＞b；如果a－b________，那么a＝b；如果a－b是_____，那么a＜b，反之也成立．正数等于零负数(2)符号表示：a＞b⇔a－b___0；a＝b⇔a－b___0；a＜b⇔a－b___0.>＝<[解]

(1)因为(a2－a)－(a－2)＝a2－2a＋2＝(a2－2a＋1)＋1＝(a－1)2＋1＞0，所以a2－a＞a－2.1.作差法比较大小的步骤：2．变形的常用技巧：(1)因式分解；(2)配方；(3)通分；(4)分母或分子有理化；(5)分类讨论．注意平方和(差)、立方和(差)等公式的应用．3.已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0，所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.4．已知m，n都是正数且m＋n＝1，证明(mx＋ny)2≤mx2＋ny2.证明：因为(mx＋ny)2－(mx2＋ny2)＝m2x2＋2mnxy＋n2y2－mx2－ny2＝mx2(m－1)＋ny2(n－1)＋2mnxy.又因为m＋n＝1，则m－1＝－n且n－1＝－m，所以(mx＋ny)2－(mx2＋ny2)＝－mnx2－mny2＋2mnxy＝－mn(x2＋y2－2xy)＝－mn(x－y)2.又因为m，n都是正数，所以－mn(x－y)2≤0，所以(mx＋ny)2－(mx2＋ny2)≤0，则(mx＋ny)2≤mx2＋ny2.一个重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当

时，等号成立．a＝b重要不等式a2＋b2≥2ab，虽然在教材中不是以定理形式出现，但应用广泛，结论可以直接使用．5.求证：不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).证明：因为2(a2＋b2＋c2)－2(ab＋bc＋ca)＝(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2.又a，b，c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，当且仅当a＝b＝c时取“＝”．所以2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.＜[例5]糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)请证明(1)中的不等式．分析：将实际问题转化成数学问题是本题解题的关键．

6.甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？1．知识清单：(1)不等关系的表示．(2)两个实数大小比较的基本事实．(3)作差法比较大小的步骤．(4)一个重要不等式．(5)数学模型“糖水不等式”．2．方法归纳：作差法、通分、因式分解、配方法．3．常见误区：(1)表示不等关系时，文字语言与符号语言的转化要等价，同时注意等号的取舍．(2)作差比较大小，本质是差与零的大小比较．课时作业巩固提升第二课时等式性质与不等式性质[学习目标]

1.梳理等式的性质，类比猜想得到不等式的性质．2.能利用不等式性质证明简单的不等式．3.能利用不等式性质求代数式的取值范围．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

请梳理等式的有关性质，并且归纳一下发现等式基本性质的方法．问题2

在初中你学过不等式的哪些性质？它们与等式哪些性质相对应？问题3

类比等式的其他性质，你还能得到不等式的哪些性质？问题4

证明不等式或求代数式取值范围时，你认为要注意什么？D解析：D选项中，若a＝0，结论无意义．2．(多选)若a＞b，则下列各式不正确的是(

)A．a－2＞b－2

B．2－a＞2－bC．－2a＞－2b D．a2＞b2解析：A.若a＞b，则a－2＞b－2，正确；B.若a＞b，则－a＜－b，则2－a＜2－b，不正确；C.若a＞b，则－2a＜－2b，不正确；D.若a＝1，b＝－2，a＞b，但a2＝1，b2＝4，a2＜b2，不正确．BCD3．若a＞b，c＜d，则a－c________b－d(用“>”或“<”填空).解析：因为c＜d，所以－c＞－d.又因为a＞b，所以a－c＞b－d.>4．已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则2a＋b的取值范围为___________．解析：∵2＜a＜3，∴4＜2a＜6，又－2＜b＜－1，∴2＜2a＋b＜5.2<2a＋b<5不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a＞b⇔_______可逆2传递性a＞b，b＞c⇒_______不可逆3可加性a＞b⇔________________可逆b＜aa＞ca＋c＞b＋cac＞bcac＜bca＋c＞b＋dac＞bdan＞bnab＞0BCD

C应用不等式性质判定或证明不等式成立，利用取特值法可说明不等式不成立，但成立的要依据已知条件和不等式性质予以逻辑推证，推证时要注意不等式性质成立的条件，这是不等式性质考查的重点．另外利用采用特值法进行排除时，注意取特指一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．D

A7证明不等式的思路方法1．简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．2．对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．3．用作差法证明不等式与用作差法比较两个数大小的原理一样．变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件．2.(1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc；利用不等式性质求代数式的取值范围利用不等式性质求代数式的取值范围，一般先用已知变量或代数式来表示

，再用不等式性质求解取值范围．所求代数式1.在给定已知代数式的取值范围的条件下，求未知代数式的取值范围，通常需要先用待定系数法将所求代数式表示成已知代数式的组合，再利用不等式的性质求解，特殊情况下这种组合形式也可观察得出．2．待定系数法求代数式的取值范围的一般步骤(1)确定所求代数式表示为含待定系数的一般解析式；(2)根据左右恒等的条件，列出含待定系数的方程组；(3)解方程组，得出待定系数，结合不等式的性质，求出所求代数式的取值范围．3．切忌不能用已知代数式取值求出单变量取值后，再求所求代数式的取值范围，如此求解一般会扩大范围．3.已知－4＜a－b≤－1且－1＜2a－b≤5，求3a－b的取值范围．∴3a－b＝－(a－b)＋2(2a－b).∵－4＜a－b≤－1，∴1≤－(a－b)＜4.∵－1＜2a－b≤5，∴－2＜2(2a－b)≤10.∴－1＜3a－b＜14.1．知识清单：(1)不等式的性质．(2)证明不等式的常用思路．(3)利用不等式性质求代数式的取值范围．2．方法归纳：类比法、特值法、综合法、分析法、整体代换法、待定系数法．3．常见误区：(1)应用不等式性质时，忽视性质成立的条件．(2)已知代数式取值范围解决所求代数式取值范围时，没有进行整体代换，错误的由已知代数式取值范围，求出单变量取值范围，再推求所求代数式的取值范围．课时作业巩固提升2．2基本不等式第一课时基本不等式[学习目标]

1.能推理得到基本不等式，并理解基本不等式的几何意义．2.掌握基本不等式和应用基本不等式求最值的两类模型．3.会利用基本不等式判断不等关系及比较大小．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升问题2

请用作差法证明基本不等式．问题3

应用基本不等式求最值的两类模型是什么？问题4

应用基本不等式求最值的条件是什么？BCC3．若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则ab的最大值为________．基本不等式1．基本不等式：如果a＞0，b＞0，则___________，当且仅当_______时，等号成立．其中_______叫做正数a，b的算术平均数，_____叫做正数a，b的几何平均数．两个正数的算术平均数_______它们的几何平均数．a＝b不小于2．几何解释：圆中半径不小于______．半弦利用基本不等式求最值的两类模型已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值_____；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值_____，简记为：积定和最小，和定积最大．2.(1)已知a＞0，b＞0且ab＝6，则3a＋2b的最小值为__________；12

(2)已知a＞0，b＞0且2a＋b＝4，则ab的最大值为__________．2≥≤ACD

利用基本不等式判断不等关系及比较大小的步骤：第一步：判断是否满足应用基本不等式的条件；第二步：应用基本不等式；第三步：检验等号是否成立．②1．知识清单：(1)基本不等式．(2)利用基本不等式求最值的两类模型．(3)利用基本不等式判断不等关系及比较大小．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：忽略利用基本不等式求最值的条件：“一正、二定、三相等”，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字．课时作业巩固提升第二课时基本不等式的应用[学习目标]

1.掌握利用基本不等式求最值的一些技巧．2.能应用基本不等式解决简单的实际问题．3.会利用基本不等式证明不等式．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升[预习自测]1．已知矩形面积等于100cm2，当两条直角边的和最小时，两条邻边的长度分别为(

)A．10cm，10cm

B．5cm，20cmC．10cm，20cm D．5cm，10cmABC4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．30应用基本不等式求最值时的一些技巧应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“

”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、“1”的整体代入、消元化归部分分式等技巧，选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果．定积1.本题给出了应用基本不等式求最值的三种思维方法，涉及的变形技巧有“‘1’的整体代入”“消元化归部分分式”“配凑定值”，突显应用中的整体思维和配凑出基本不等式满足条件的目标意识，要学会观察，善于积累，注意被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响．2．具体步骤：“1”的整体代入(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．消元法对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元).3应用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)_____．(2)_____.(3)_____．(4)______．(5)______．审题建模求解验证作答[例2]某动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有长为36m的钢筋网，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成的四间虎笼的钢筋网总长最小？分析：(1)审清题意，建立适当模型求解．设变量虎笼长xm，宽ym．准确写出变量间的等量关系是解题关键：4x＋6y＝36，x＞0，y＞0；每间虎笼的面积S＝xy.(2)同样设变量虎笼长xm，宽ym，钢筋网总长为l.准确写出变量间的等量关系是解题关键：xy＝24，x＞0，y＞0；钢筋网总长l＝4x＋6y.利用基本不等式解决实际问题的步骤2.如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？3．某型号运载火箭的设计生产采用了很多新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数．(2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？(消耗的A材料＝生产时间×每小时消耗的A材料)用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明不等式的形式，若符合基本不等式的条件，可以直接利用基本不等式或最值定理证明．若不符合基本不等式的条件，可以对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用基本不等式的条件．若题中还有等式条件，要分析等式条件和所证不等式之间的联系，当等式条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．最后，要注意等号能否取到．1.利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所证明的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，创设使用基本不等式的条件再使用．(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，证明：3x＋4y≥5.1．知识清单：(1)应用基本不等式求最值的三种技巧．(2)基本不等式在实际问题中的应用．2．方法归纳：拼凑法、常数代换法．3．常见误区：(1)应用基本不等式求最值的三个条件缺一不可，条件不够时不会通过换元、配凑等方法解决．(2)解决实际问题时，忽略变量的实际意义对取值范围的限定．课时作业巩固提升2．3二次函数与一元二次方程、不等式第一课时二次函数与一元二次不等式[学习目标]

1.了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系．2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．3.能借助二次函数求解一元二次不等式．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

什么是一元二次不等式？问题2

二次函数零点的定义是什么？如何判断二次函数的零点个数？问题3

一元二次不等式与相应函数、方程有什么联系？问题4

求解一元二次不等式的步骤是什么？[预习自测]1．函数y＝3x2－6x＋2的零点个数为(

)A．0

B．1C．2 D．不能确定解析：Δ＝(－6)2－4×3×2＝12＞0.C2．不等式x(x＋1)＜0的解集是(

)A．{x|－1＜x＜0} B．{x|x＜－1，或x＞0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0，或x＞1}解析：方程x(x＋1)＝0的实数根是－1，0，由函数y＝x(x＋1)图象(图略)得不等式x(x＋1)＜0的解集是{x|－1＜x＜0}.A3．函数y＝－x2＋2x＋3的零点是________．解析：解方程－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴函数y＝－x2＋2x＋3的零点是－1，3.－1，34．求不等式x2－4x＋4＞0的解集．解：方程x2－4x＋4＝0的实数根是2，由函数y＝x2－4x＋4图象得不等式x2－4x＋4＞0的解集是{x|x≠2}．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使_____________的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点．ax2＋bx＋c＝0[例1]函数y＝x2＋bx－1的零点个数是(

)A．0

B．1C．2 D．不确定分析：二次函数零点个数取决于判别式Δ＝b2－4ac的符号．[解析]

∵Δ＝b2＋4＞0，∴函数有2个零点．C1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是相应方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以二次函数零点可通过解方程得到，而零点个数可通过判别式Δ的取值符号判定．2．二次函数零点是函数图象与x轴交点的横坐标．1.已知函数y＝ax2＋x＋1有一个零点是1，则该函数的另一个零点是________．一元二次不等式1．一般地，我们把只含有

个未知数，并且未知数的最高次数是

的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是______________或______________，其中a，b，c均为常数，a≠0.ax2＋bx＋c>0ax2＋bx＋c<0一22．三个“二次”的关系对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，设Δ＝_________，它的根按照______，______，______可分为三种情况．相应地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的位置也分为三种情况．因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集．b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<03．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集__________________________________ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集________________________{x|x＜x1，或x＞x2}R{x|x1＜x＜x2}∅∅(3)不等式可化为x2＋x＋3≤0.∵Δ＝1－12＝－11＜0，∴方程x2＋x＋3＝0无实数根，函数y＝x2＋x＋3的示意图为：∴不等式x(2x＋3)≤(x＋3)(x－1)的解集为∅.1.求一元二次不等式的一般步骤(1)化为标准型：ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0).(2)求方程的根：求方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，或根据判别式Δ＜0说明方程无实根．(3)画函数图象：画出函数y＝ax2＋bx＋c的示意图，开口方向，与x轴的公共点．(4)写不等式解集：根据二次函数图象，写出不等式解集．2．分式不等式可转化为一元二次不等式求解，注意分母不等于零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．2.解下列不等式：(1)(x－3)(x＋2)<0；(2)－2x2＋x－6＜0；(3)－x2＋6x－9≥0；含参数的一元二次不等式含参数的一元二次不等式求解，一般要对参数取值进行分类讨论．分类依据是二次项系数的______，方程根的存在性，方程两实数根的______等．正负大小[例3]

(1)解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0；(2)解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0.分析：(1)因为不等式含有参数a，我们可以列出一个关于a的判别式Δ＝a2－16，然后再根据判别式Δ与0的关系进行分类讨论．(2)不等式含有参数a，首先要讨论a是否为0；当a≠0时还要讨论方程的两根的大小．[解]

(1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：①当Δ＜0，即－4＜a＜4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.②当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2＞0，故x≠－1.

解含参数的一元二次不等式的步骤1．讨论二次项系数：讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0.2．判断方程根的个数和根的大小关系：讨论判别式Δ与0的大小关系，判断方程根的个数，若方程存在两个实数根，要讨论根的大小关系．确定方程无根时可直接写出解集．3．写出不等式解集：根据方程根的情况和二次函数图象确定不等式解集．3.(1)解关于x的不等式：x2－(a－2)x－2a＞0；(2)设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.1．知识清单：(1)二次函数的零点．(2)一元二次不等式的解法．(3)含参数的一元二次不等式的求解．2．方法归纳：数形结合、分类讨论、等价转化．3．常见误区：(1)解一元二次不等式时，不会借助图象求解．(2)解一元二次不等式，最后结果不写成解集形式．(3)解含有参数a的不等式时，忽略分类讨论；在分类讨论时不会确定分类依据．(4)对于含参数的一元二次不等式的求解，分类后，最后遗漏结果综述．课时作业巩固提升第二课时一元二次不等式的应用(1)[学习目标]

1.能熟练地由一元二次不等式的解集逆求参数．2.能解决简单的一元二次不等式的“恒成立”问题．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

不等式x2－2x－3＜0的解集{x|m＜x＜n}中的m，n等于什么？问题2

已知不等式x2＋ax＋1＞0在R上恒成立，可得相应二次函数y＝x2＋ax＋1的图象与x轴有几个公共点？

[预习自测]1．若不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则a＋b的值为(

)A．－1

B．1C．－3 D．3解析：由题设知1，2是方程(x－a)(x－b)＝0的两实数根，∴a＋b＝3.D2．若关于x的不等式x2＋ax＋1≥0对任意实数都成立，则实数a的取值范围为(

)A．{a|－2＜a＜2} B．{a|a＞2，或a＜－2}C．{a|－2≤a≤2} D．{a|a≥2，或a≤－2}解析：由题意知，二次函数y＝x2＋ax＋1的图象与x轴至多一个公共点，∴Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2.C3．关于x的不等式5x2－ax－30＞0的解集是{x|x＜－2，或x＞b}，则a－b的值为________．24．关于x的不等式x2＋2x＋a＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.{a|a≥1}已知一元二次不等式解集逆求参数已知一元二次不等式解集逆求参数，本质是考查“三个二次”间的联系，将不等式的解集借助二次函数图象转化为相应方程的

是解题的关键．实数根已知不等式解集逆求参数的一般思路1．将不等式解集转化为相应方程根．2．将方程根代入方程求得参数值．1.已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}．(1)求a，b的值；(2)解不等式(x－c)(ax－b)＞0.当c＝2时，解得x≠2，不等式的解集为{x|x≠2}．综上，当c＜2时，不等式的解集为{x|x＜c，或x＞2}；当c＞2时，不等式的解集为{x|x＜2，或x＞c}；当c＝2时，不等式的解集为{x|x≠2}．一元二次不等式的恒成立问题1．一元二次不等式恒成立问题，本质是考查“三个二次”的联系．2．不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)在R上恒成立⇔________________．不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)在R上恒成立⇔________________．[例2]

(1)已知关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x＋1＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对任意实数x，关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0在R上恒成立，求实数a的取值范围．分析：分a2－1＝0和a2－1≠0两种情况进行研究．2.(1)已知关于x的不等式x2＋mx＋3＜0的解集为∅，则实数m的取值范围为____________________；(2)已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为_____________．{m|1≤m<19}1．知识清单：(1)已知一元二次不等式解集逆求参数．(2)一元二次不等式的恒成立问题．2．方法归纳：等价转化、数形结合、分类讨论．3．常见误区：(1)已知不等式解集逆求参数时，若二次项系数a为参数，不会判断a的正负．(2)不等式在R上恒成立问题不能熟练转化为函数图象位置，忽略要讨论系数是否为零．课时作业巩固提升第三课时一元二次不等式的应用(2)[学习目标]

1.初步掌握解决含参不等式恒成立问题的常用方法．2.借助二次函数和一元二次不等式探究一元二次方程根的分布．3.构建一元二次不等式模型解决简单的实际问题．必备知识自主探究关键能力互动探究课时作业巩固提升预习教材，思考问题问题1

解决一元二次不等式的恒成立问题有哪些策略？问题2

用相应二次函数的图象表示：方程x2＋bx＋c＝0的两实根一个大于1，一个小于1.问题3

用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤是什么？AB3．若关于x的方程x2－3kx＋4＝0的一个实数根小于1，另一个实数根大于1，则k的取值范围是__________．4．对于x∈R，不等式x2－2x＋3－m≥0恒成立，则实数m的取值范围为__________．解析：不妨设y＝x2－2x＋3－m，函数图象是开口向上的抛物线，为了使y≥0(x∈R)恒成立，只需对应方程根的判别式Δ≤0，即(－2)2－4(3－m)≤0，解得m≤2，故实数m的取值范围为{m|m≤2}．{m|m≤2}含参不等式恒成立问题求解含参不等式的恒成立与有解问题的关键是转化与化归思想．[例1]

(1)对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围；(2)设函数y＝mx2－mx－1，1≤x≤3，若y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围；(3)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立，求实数k的取值范围．分析：(1)题采用变换主元法，将关于x的不等式转化为关于p的不等式．(2)题采用分离参数法，转化为求函数最值问题．(3)题通过转化法求解．[解]

(1)不等式x2＋px＞4x＋p－3，即(x－1)p＋(x2－4x＋3)＞0，设y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)是以p为自变量的函数，当x＝1时，y＝0；当x≠1时，则0≤p≤4时y＞0恒成立，1.在几个变量的问题中，常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元．在含参不等式的恒成立问题中，参数和未知数是相互制约、相互依赖的关系．2．等价转化的形式若不一样，则处理的方式也就不一样，但处理策略却是一致的，那就是将参数分离出来，建立明确的参数和变量