人教B版数学课件第一章集合与常用逻辑用语章末整合

章末整合第一章2021内容索引0102知识网络系统构建题型突破深化提升知识网络系统构建题型突破深化提升专题一集合的运算例1已知全集U={x|x>0},集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,(∁UA)∩B;(2)若C⊆(A∪B),求a的取值范围.解

(1)A∪B={x|3≤x<7}∪{x|2<x<10}={x|2<x<10},∁UA={x|0<x<3,或x≥7},(∁UA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}.(2)①若C=⌀,则5-a≥a,解得a≤.②若C≠⌀,则2≤5-a<a≤10,解得

<a≤3.综上所述,a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].方法技巧

集合运算过程中应力求做到“三化”(1)意义化:首先分清集合的类型,是表示数集、点集,还是某类图形;是表示函数自变量的取值范围、因变量的取值范围,还是表示方程或不等式的解集.(2)具体化:具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等;不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式.(3)直观化:借助数轴、直角坐标平面、维恩图等将有关集合直观地表示出来,从而借助数形结合思想解决问题.变式训练

1已知全集U={x∈N|1≤x≤6},集合A={x|x2-6x+8=0},集合B={3,4,5,6}.(1)求A∩B,A∪B;(2)写出集合(∁UA)∩B的所有子集.解

(1)全集U={x∈N|1≤x≤6}={1,2,3,4,5,6},集合A={x|x2-6x+8=0}={2,4},集合B={3,4,5,6}.A∩B={4},A∪B={2,3,4,5,6}.(2)∵∁UA={1,3,5,6},∴(∁UA)∩B={3,5,6},它的所有子集是⌀,{3},{5},{6},{3,5},{3,6},{5,6},{3,5,6},共8个.专题二利用集合之间的关系求参数例2(2020广东高一期中)已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|m≤x≤m+1}.(1)当m=-2时,求A∪B,∁R(A∪B);(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围.分析(1)将m=-2代入集合B,利用并集、补集的定义可得出集合A∪B和∁R(A∪B);(2)由A∪B=A得出B⊆A,可得出关于m的不等式组,解不等式组即可得出实数m的取值范围.解

(1)当m=-2时,集合B={x|-2≤x≤-1},因为集合A={x|-1≤x≤2},所以A∪B={x|-2≤x≤2},因此,∁R(A∪B)={x|x<-2或x>2}.(2)因为集合A={x|-1≤x≤2},B={x|m≤x≤m+1}且A∪B=A,则B⊆A,所以

解得-1≤m≤1.因此,实数m的取值范围是[-1,1].例3设集合U=R,且A={x|x≤-1或x≥2},B={y|y>a}.(1)若A∪B=A,求实数a的取值范围;(2)若∁RA⊆B,求实数a的取值范围.分析(1)根据A∪B=A,所以B⊆A,根据包含关系求参数a的取值范围;(2)先求∁RA,根据∁RA⊆B,求参数a的取值范围.解

(1)∵A∪B=A,∴B⊆A,∴a≥2,∴a的取值范围是[2,+∞).(2)∁RA={x|-1<x<2}.∵∁RA⊆B,∴a≤-1.∴a的取值范围是(-∞,-1].方法技巧利用集合之间的关系求参数解题策略(1)由包含关系确定集合中所含参数的值(取值范围)是集合间关系的重要应用,一般可借助数轴解决此类问题.(2)需要注意对最后结果的验证:①分类讨论求得的参数值,还需要代入原集合中看是否满足集合元素的互异性;②注意所求参数能否取到端点值.(3)不要忘记空集.变式训练

2已知集合A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},满足A⊆B,求实数a的取值范围.专题三充分条件与必要条件的探求例4已知集合A={x|-1<x<3},集合B={x|-1<x<m+1}.(1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件,求实数m的取值范围;(2)若x∈A是x∈B成立的充要条件,求实数m的值.解

(1)由题A⫋B,所以m+1>3,即m>2.所以实数m的取值范围为(2,+∞).(2)因为x∈A是x∈B成立的充要条件,所以A=B.所以m+1=3,即m=2.即实数m的值为2.方法技巧根据一个条件是另一个条件的充分条件、必要条件、充要条件确定某个参数的取值范围时,首先弄清楚条件和结论,再利用集合间的包含关系进行讨论.若A={x|x满足条件甲},B={x|x满足条件乙}.当A⊆B时,甲为乙的充分条件;当B⊆A时,甲为乙的必要条件;当且仅当A=B时,甲为乙的充要条件.变式训练

3(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件?(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件?专题四化归与转化思想在集合问题中的应用例5已知集合A={y|y>a+3或y<a},B={y|2≤y≤4},若A∩B≠⌀,求实数a的取值范围.分析本题若直接去解,情形较复杂,也不容易求得正确结果,若我们先考虑其反面,再求其补集,同样也可以求解.一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集,求得其解,这就是“补集思想”.解

A={y|y>a+3或y<a},B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B=⌀时a的范围.如图.即A∩B=⌀时a的范围为{a|1≤a≤2}.而A∩B≠⌀时a的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为{a|a<1或a>2}.例6已知集合A={x|-1<x<1},B={x|b-a<x<b+a},若“a=1”是“A∩B≠⌀”的充分条件,求b的取值范围.分析因为A∩B≠⌀包含的情况较多,所以用“正难则反”的思想,先求出A∩B=⌀时的b的取值范围,再对该范围求其补集即可.解

A={x|-1<x<1},B={x|b-a<x<b+a},当a=1,B={x|b-1<x<b+1},若A∩B=⌀,则有b+1≤-1或b-1≥1,即b≤-2或b≥2.所以A∩B≠⌀时,-2<b<2,所以b的取值范围为(-2,2).方法技巧利用化归与转化思想的解题策略对于一些比较复杂、抽象、条件和结论之间关系不明确、难以从正面入手的数学问题,在解题时,可以调整思路,将问题转化为从其对立面入手,探求已知和未知的关系,这能起到化难为易、化隐为显的作用,从而将问题解决.这就是“正难则反”的解题策略,也是处理问题的间接化原则的体现.这种“正难则反”的策略运用的是补集思想,即已知全集U,求子集A时,若直接求A较困难,则可转化为先求∁UA,再由∁U(∁UA)=A求A.变式训练

4已知全集U=R,集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x<a}.若(∁UA)∩B≠⌀,则实数a的取值范围为(

)A.(3,+∞) B.[3,+∞)C.[7,+∞) D.(7,+∞)答案

A解析

因为A={x|x<3或x≥7},所以∁UA={x|3≤