专题四 培优点12 空间几何体的外接球问题

专题四

立体几何培优点12空间几何体的外接球问题空间几何体的外接球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心两大策略解决此类问题.√∴BC2＝BD2＋CD2，∴CD⊥BD，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，过点A作BD的垂线AE，∵二面角A－BD－C的大小为135°，又△BCD外接圆的圆心在BC的中点，∴三棱锥A－BCD外接球的球心O在过BC的中点且垂直于平面BCD上，即三棱锥A－BCD外接球的表面积为S＝4πR2＝52π.(2)(2021·临沂模拟)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＋AC＝12，分别取三边的中点D，E，F，将△BDE，△ADF，△CEF分别沿三条中位线折起，使得A，B，C重合于点P，则当三棱锥P－DEF的外接球的体积最小时，其外接球的半径为________，三棱锥P－DEF的体积为_____.解析由题意得三棱锥P－DEF的对棱分别相等，设BC＝2a，则AC＝12－2a，将三棱锥P－DEF补充成长方体，则对角线长分别为a,6－a,4，三棱锥P－DEF的外接球即为长方体的外接球.设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则x2＋y2＝a2，y2＋z2＝(6－a)2，x2＋z2＝16，所以x2＋y2＋z2＝a2－6a＋26，例2

(1)(2021·衡阳模拟)设圆锥的顶点为A，BC为圆锥底面圆O的直径，点P为圆O上的一点(异于B，C)，若BC＝4

，三棱锥A－PBC的外接球表面积为64π，则圆锥的体积为_________.24π或8π解析如图，设圆锥AO的外接球球心为M，则M在直线AO上，设球M的半径为r，则4πr2＝64π，解得r＝4.由勾股定理得BM2＝OM2＋OB2，即OM＝|AO－r|＝|AO－4|＝2，解得AO＝6或AO＝2.(2)(2021·盐城模拟)在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PA＝2.若点E，F分别为AB，AD的中点，则直线EF被四棱锥P－ABCD的外接球所截得的线段长为_____.解析如图所示，因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，所以△PAC，△PBC，△PDC均为以PC为斜边的直角三角形，所以外接球的球心O为PC的中点，取EF的中点G，连接OG，所以GO⊥PC，能力提升解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径.(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的.(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.跟踪演练1.已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝4，AC与平面ABD所成角的正弦值为

，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为A.2

B.3

C.4

D.51234√解析如图，因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以AD为球的直径，1234作CE⊥BD，则∠CAE即为AC与平面ABD所成的角，解得x＝4，所以AD2＝AB2＋BC2＋CD2＝4＋16＋16＝36，即2R＝6，R＝3，又平面ACD过球心，所以P到平面ACD距离的最大值即为半径的长，所以P到平面ACD距离的最大值为3.1234√1234解析如图，取BC的中点M，连接AM，DM，设△ABC和△BCD的外心分别为F，E，分别过点F，E作平面ABC和平面BCD的垂线交于点O，则点O为外接球球心.由题意可知，△ABC和△BCD都是边长为4的等边三角形.∵BC∩DM＝M，BC，DM⊂平面BCD，∴AM⊥平面BCD，∵AM⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，1234∵AM⊥平面BCD，OE⊥平面BCD，∴OE∥AM，同理可得OF∥DM，则四边形OEMF为菱形，∵AM⊥DM，∴菱形OEMF为正方形，∵OE⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，∴OE⊥BE，12343.(2021·济宁模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝AA1＝4，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG平行，当△BB1P的面积最小时，三棱锥A－BB1P的外接球的体积是________.1234解析补全截面EFG为截面EFGHQR1，如图，设BR⊥AC，∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥平面EFGHQR1，易知平面ACD1∥平面EFGHQR1，∴P∈AC，且当P与R重合时，BP＝BR最短，此时△PBB1的面积最小，∵B1B⊥AP，BP⊥AP，B1B∩BP＝B，B1B，BP⊂平面B1BP，1234∴AP⊥平面B1BP，则AP⊥B1P，4.乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，2000年之后国际比赛用球的直径为40mm.现用一个底面为正方形的棱柱盒子包装四个乒乓球，为倡导环保理念，则此棱柱包装盒(长方体)表面积的最小值为______cm2.(忽略乒乓球及包装盒厚度)1234256解析设A，B，C，D是四个球的球心，以下面积单位是