2021年广东省新高考数学总复习第十二章《概率、随机变量》模拟试卷及答案解析

2021年广东省新高考数学总复习第十二章《概率、随机变量》

模拟试卷及答案解析

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.(2019・陕西四校联考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,345,6个点的正方体

玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为()

A.eB.1C.jD.1

答案B

解析将先后两次的点数记为有序实数对(x,y),则共有6X6=36(个)基本事件，其中点数之

41

和为大于8的偶数有(4,6),(6,4),(5,5),(6,6),共4种，则满足条件的概率为正=6.故选B.

DOy

2.(2019•成都七中诊断)若随机变量X〜N(3,M),且尸(X25)=0.2,则P(1<X<5)等于()

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

答案A

解析•••随机变量X服从正态分布M3,〃)，

，对称轴是x=3.

VP(X>5)=0.2,

尸(1VX<5)=1-2P(X25)=1-0.4=0.6.

故选A.

3.(2019・四省联考诊断)2018年国际山地旅游大会于10月14日在贵州召开，据统计有来自

全世界的4000名女性和6000名男性徒步爱好者参与徒步运动,其中抵达终点的女性与男性

徒步爱好者分别为1000名和2000名，抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份.若记者随

机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱好者，其中恰好有1名徒步爱好

者获得纪念品的概率是()

1157

A,日B4C42D42

答案C

解析“男性获得纪念品，女性没有获得纪念品”的概率为筮X瑞=；,“男性没有获

得纪念品，女性获得纪念品”的概率为皤X揣=2故“恰好有I名徒步爱好者获得纪

念品”的概率为:+/卷故选C.

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4.(2019•新乡模拟)从区间[0,兀]内任取一个实数x,则sinx+小cosx>l的概率为()

A.gB.gC.^

答案B

解析由sinx+y[icosx>l,得sin(x+1)>；,

JC~

因为x£[0,TT],所以X£[0,可，

n

21

由几何概型可知所求概率尸=：=5，故选B.

兀2

5.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,又X的均值为E(X)=3,则

〃+〃等于()

A.焉B.0C.一=D.1

答案A

解析依题意可得X的分布列为

X1234

Pa+h2a+h3a+b4a+b

a+b+2a+b+3a+b+4a+b=1,

依题意得

(〃+A)+2(2a+A)+3(3〃+/?)+4(4a+Z?)=3,

解得6=°，故。+6=忘.故选A.

6.某班级在2018年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手

甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为()

1„1c1-2

A6B-3C2D-3

答案D

解析6名选手依次演讲有Ag种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有

4AL所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为鬻=/

7.(2019・长春外国语学校月考)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是()

112

A.]B.1C.§D.1

答案c

解析从甲、乙、丙三人中任选两名代表的选法数为C3=3,再确定甲被选中的选法数为2,

2

所以概率为多故选C.

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8.（2019・青岛调斫）已知某运动员每次投篮命中的概率是40%.现采用随机模拟的方法估计该

运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定

1,2,3,4表示命中，5,6,7,890表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经

随机模拟产生了如下10组随机数：907966191925271431932458569683.

则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）

1„3〃3

A-5b?cmDTO

答案C

解析由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表

示三次投篮恰有两次命中的有：191,932,271,共3组随机数，故所求概率为言.故选C.

9.（2019•湖南五市十校联考）一只蚂蚁在三边长分别为6,8,10的三角形内自由爬行，某时刻该

蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为（）

7C兀_11

A-24B-48C-12D8

答案B

解析因为三角形三边长分别为6,8,10,由勾股定理，该三角形为直角三角形，且面积为

；X6X8=24,距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的部分是以三角形三个角分别为

圆心角，1为半径的扇形区域，因为三个圆心角之和为180。，所以三个扇形面积之和为］X兀义12=参

7T

所以某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为京=表，故选B.

10.（2019・长春质检）要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班级中，要求每个班级

至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为（）

A.6B.12C.24D.36

答案B

解析甲和另一个人一起分到A班有C4A2=6（种）分法，甲一个人分到A班的方法有QA&=

6（种）分法，共有12种分法.故选B.

11.（2019•河北衡水中学模拟）如图是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一

个图形，该图形由三个边长分别为a,6,c的正方形和一个直角三角形围成.现已知a=3,

6=4,若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的直角三角形区域的概率为（）

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A----BCD

A-28562525

答案A

解析Vt?=3,b=4,Ac=5

•*.S=4Z2+Z?2+C2+^Z/?=9+16+25+6=56,

其中36,•♦.该点取自其中的直角三角形区域的概率为袅表，故选A.

12.（2019•衡水中学摸拟）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周

碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形

是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似

地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大

等边三角形，设DF=2AF=2,若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形

的概率是（）

解析在△A3。中，AO=3,BO=1,120°,

由余弦定理，得A8=y]AD2+BD--2ADBDcos120°

=VT3,

所以所求概率为舞=（向2=表.故选A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.从1,2,3,4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是

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答案I

解析从1,2,3,4这4个数中随机地取2个数有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6

种情形，其中满足所取2个数的乘积为奇数的有(1,3)共1种情形，.•.所求概率为今

14.一个不透明袋中装有大小、质地完全相同的四个球，四个球上分别标有数字2,3,4,6.现从

中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是.

答案2

解析因为从四个球中随机选三个共有C?=4(种)不同的选法，其中能构成等差数列的三个数

21

分别为(2,3,4),(2,4,6),共2种不同的选法，所以根据古典概型概率计算公式，得

15.(2019•衡水中学模拟)由数字0,1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1,3个0,则这样

的不同数字代码共有个.

答案120

解析依题意得，一串数字代码一共有10个数字，则取7个位置排1,剩下的位置排0,则

不同数字的代码有C7o=12O(个).

16.(2019•广州执信中学测试)大正方形的面积为13,四个全等的直角三角形围成中间的小正方

形，较短的直角边长为2,向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在中间小正方形内的概率是

答案13

解析大正方形的面积是13,则大正方形的边长是灰,

又直角三角形的较短边长为2,

所以另一边为、13—4=3,

得出四个全等的直角三角形的直角边分别是3和2,

则小正方形的边长为3—2=1,面积为1.

又大正方形的面积为13,

故飞镖扎在小正方形内的概率为七.

三、解答题(本大题共70分)

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17.（10分）（2019・凉山诊断）从某市统考的学生数学考试试卷中随机抽查100份数学试卷作为

样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图.

（1）求这100份数学试卷成绩的中位数；

（2）从总分在[55,65）和[135,145）的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份

总分少于65分的概率.

解（1）记这100份数学试卷成绩的中位数为x（95<x<105）,

则0.002X10+0.008X10+0.013X10+0.015X10+（x-95）X0.024=0.5,

解得x=100,所以中位数为100.

（2）总分在[55,65）的试卷共有0.002X10X100=2（份），记为A,B,

总分在[135,145）的试卷共有0.004X10X100=4（份）,记为a,b,c,d,

则从上述6份试卷中随机抽取2份的抽取结果为

{A,B},{A,a},{A,b},{A,c},{A,d},

{B,a},{B,h},[B,c],{B,d},

{a,b},{a,c},{a,d},

{b,c},{b,d},

{c,d],

共计15种结果，且每个结果是等可能的.

至少有一份总分少于65分的有：{A,B},{A,a},{A,b},{A,c},{A,d],{B,a},{B,

b},{B,c},{B,d],共计9种结果，

所以抽取的2份至少有一份总分少于65分的概率

p=-9-=一3

155,

18.（12分）将4名大学生随机安排到A,B,C,。四个公司实习.

（1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；

（2）随机变量X表示分到B公司的学生的人数，求X的分布列和均值£（X）.

解（1）将4人安排到四个公司中，共有44=256（种）不同排法.

记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A,

事件A共包含A|=24（个）基本事件，

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243

所以~4)=痂=豆，

3

所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率为方.

(2)方法一X的可能取值为0,1,2,3,4,

3481C1X3327

P(X=0)=^=市，P(X=1)=—

CjX33C31

P(X=3)=-^=区，P(X=4)=^=谢.

所以X的分布列为

X01234

81272731

P

2566412864256

Q197273|

所以X的均值E(X)=0Xr77+lX—+2X-7^+3X77+4XTT7=1.

方法二每个同学分到8公司的概率为

1—13

P(B)=Z，P(a)=1-4=4-

根据题意X〜B(4,；),

所以P(X=E)=COG)「£,氏=0,1,2,3,4,

所以X的分布列为

X01234

81272731

P

2566412864256

所以X的均值E(X)=4x1=l.

19.(12分)某市有A,B,C,。四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率

为东2游览B,。和。的概率都是1*且该游客是否游览这四个景点相互独立.

(1)求该游客至多游览一个景点的概率；

(2)用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,求X的分布列和均值E(X).

解(1)记“该游客游览，・个景点”为事件4,i==0,1,

则P(Ao)=(—D(l-扼-扼一*右,

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2

5

24,

所以该游客至多游览一个景点的概率为

尸(Ao)+P(Ai)==+袅，.

(2)随机变量X的可能取值为0,123,4,

P(X=0)=尸(Ao)=4，

5

P(X=1)=P(4)=N，

P(X=2)=|XC闷X(14J+(1_1|X0X

P(X=3)=|xC?X@2X(1-£)+1xCjX

个=4)=京吩==

所以X的分布列为

X01234

15371

P

242482412

1537113

故E(X)=0X—+1X—+2X-+3X—+4X—=—

ZH-Z—oZH-1ZO

20.(12分)(2019・汉中质检)在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待

改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该

维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频

数统计表如下：

表一：男生

等级优秀合格尚待改进

男生

频数15X5

表二：女生

等级优秀合格尚待改进

女生

频数153y

(1)求x,y的值；

(2)从表一、表二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为

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X,求随机变量X的分布列及均值；

(3)由表中统计数据填写下列2X2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与

性别有关”.

男生女生总计

优秀

非优秀

总计45

"(ad—儿＞

参考公式：K=其中n—a+b+c+d.

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)'

参考数据:

P(烂，公)0.010.050.01

ko2.7063.8416.635

解(1)设从高一年级男生中抽取，〃人,

ml_45

贝丽—500+400'

解得/"=25,则从女生中抽取20人,

所以》=25—15—5=5,y=20-15—3=2.

(2)表一、表二中所有尚待改进的学生共7人，其中女生有2人，则X的所有可能的取值为0,1,2.

G=w=2

P(X=0)=G=35=7'

C£匚20_4

P(X=1)="CT=35=7,

P(X=2)=甯点斗

则随机变量X的分布列为

X012

24

P

77

所以X的均值E(X)=^X0+yX1+yX2=^.

(3)2义2列联表如下:

男生女生总计

优秀151530

非优秀10515

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总计252045

c45X(15X5—15X10)245X152X529

H=------1----------------------――-----------------------=-=1125<2706

30X15X25X2030X15X25X208)

因为1-0.9=0.1,P(H22.706)=0.10,

所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.

21.(12分)(2019•长沙长郡中学调研)为了响应全国文明城市建设的号召，某市文明办对本市

市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽

样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示.

组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数2515020025022510050

⑴由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布210),"近似为这1000

人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求

P(36<ZW79.5)；

(2)在(1)的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

⑴得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于"的可以获赠1次随机话费；

(ii)每次赠送的随机话费及对应的概率为

赠送的随机话费(单位：元)2040

3

概率

44

现市民小王要参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X

的分布列及均值.

附：小而214.5,若X〜N"/),贝IJ

①crvXWA+QQO.GgZ6；

②尸仪-2o<XW〃+2a)-0.9544；

③3KXW〃+3。)Q0.9974.

解(1)根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得

/z=35X0.025+45X0.15+55X0.2+65X0.25+75X0.225+85X0.1+95X0.05=65,

又36p65—2夜访，79.5^65+^210，

所以尸(36VZW79.5)=；X0.9544+；X0.6826

=0.8185.

(2)根据题意，可以得出所得话费的可能值有20,40,60,80元，

得20元的情况为低于平均值，概率P=；1X]3=]3

zO

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1113313

得40元的情况为一次机会获40元或2次机会2个20元，概率P=2><4+7><4X4=P,

得60元的情况为两次机会，一次40元一次20元,

1313

概率2=]><2*7*^=言，

得80