2021年河北省鸿浩超级高考数学联考试卷（5月份）附答案解析

2021年河北省鸿浩超级高考数学联考试卷(5月份)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.设复数z的共辗复数为2,且满足z-2=含，i为虚数单位，则复数z的虚部是()

A*B,2C,-iD.-2

2.已知集合4={丫€/?|0<乂<1},匕={%6/?|(2%-1)。+1)>0},则4。8=()

A.(0,1)B.G，l)

C.(-oo,-l)u(0,i)D.(-oo,-l)u(pl)

3.若G+半产(neN*)的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则n=()

A.11B.10C.9D.8

4.下列命题中，正确的命题是()

A.存在两条异面直线同时平行于同一个平面

B.若一个平面内两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

C.底面是矩形的四棱柱是长方体

D.棱台的侧面都是等腰梯形

5.如图所示，。为△4BC的外接圆圆心，AB=10,AC=4,NBAC为钝角,

M是边BC的点，且满足丽=2祝，则祠•而=()

A.21

B.22

C.29

D.36

6.如果不等式a/+bx+c>0(a力0)的解集为R,那么()

A.a>0,A<0B.a>0,4>0

C.a<0,J>0D.a<0,/<0

7.关于函数的周期有如下三个命题:

甲：已知函数y=f(x)和y=g(x)定义域均为R,最小正周期分别为7\、T,如果则函数y=

212

/(X)+g(x)一定是周期函数;

乙：y=f（x）不是周期函数，y=|f（x）|一定不是周期函数；

丙：函数y=/（x）在R上是周期函数，则函数y=f（x）在［0,+8）上也是周期函数.

其中正确的命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

8.在A4BC中，已知ccosB=bcosC,则此三角形的形状为（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.若实数a,b,c满足92="=嗖<0,贝式）

abc

A.0<a<|B,a>b>cC.b<2aD.c>4a

10.已知函数/'（x）的定义域为R,其导函数/'（x）的图象如图所示，则对于任意修，打6/?。1片必），

下列结论正确的是（）

A./(x)<0恒成立

Cf「+与)f(Xl)+f(Xz)

11.已知点P是双曲线E：式一g=1的右支上一点，&、尸2是双曲线E的左、右焦点，APaFz的面

169

积为20,则下列说法正确的有（）

A.点P的横坐标为gB.APF】F2的周长为g

C.4F1PF2大于gD.的内切圆半径为|

12.数列｛a“｝的前n项和为4，若％+。2=2,an+i=Sn+l,则（）

A.数列｛斯｝是公比为2的等比数列B.S6=47

c.吃既无最大值也无最小值D.r+r+-+r<T

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.如图是样本容量为200的频率分布直方图.根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在

陶二瞰内的频数为.

14.设某抛物线y2=mx(7n>0)的准线与直线x=1的距离为3,则该抛物线的方程为.

15.若sina=-|,aG(-p0),则cos(a+*)=.

16.若双曲线9―1渐近线上的一个动点P总在平面区域(x-7n)2+y2216内，则实数机的取

值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.(14分)已知等差数列6.｝中，公差0其前M项和为S*,且满足。利』=45,0｝+小二U

(I)求数列｝*｝的通项公式及其前”,项和$逐；

(n)令%若数列满足G=-二,如一6二姐gwN)

求数列｛。片｝的通项公式c中

18.在△ABC中，内角B,C所对的边分别是a,b,c.已知2a=b+c,siMA=sinBs讥C.试判断

三角形的形状.

19.某市倾市总体规划(2016-2035年”提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目

标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”

指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区(指数为0.6〜1)、

良好小区(指数为0.47).6)、中等小区(指数为0.2〜0.4)以及待改进小区(指数为0〜0.2)4个等

级.下面是三个小区4个方面指标的调查数据：

小区

指标值4小区B小区C小区

权重

教育与文化(0.20)0.70.90.1

医疗与养老(0.20)0.70.60.3

交通与购物(0.32)0.50.70.2

休闲与健身(0.28)0.50.60.1

注：每个小区"15分钟社区生活圈”指数T=W171+W272+卬373+卬4二，其中必，卬2，w3'

W4为该小区四个方面的权重，A，T2,T3,A为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指

标值为0〜1之间的一个数值).

现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：

分组[0。2)[0.2,0.4)[0.4Q.6)[0.6,0.8)[0.8,1]

频数1020303010

(I)分别判断4,B,C三个小区是否是优质小区，并说明理由；

(II)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个

小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优

质小区的个数为。求f的分布列及数学期望.

20.如图，在四棱锥P中，底面4BCD为正方形，NP4B=90°,PB=PD,

PA=AB,E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)求证：AE1平面P8C；

(2)是否存在点尸，使平面4EF与平面PCD所成的锐二面角为30。？若存在，试

确定点尸的位置：若不存在，请说明理由.

21.已知函数/(%)=伍%+1771%2(巾£R),

(I)求曲线y=/(%)在(1J(l))处的切线与直线X+2y-5=0垂直，求m的值；

(口)若关于％的不等式/(%)<mx2+(m-1)%一1恒成立，求整数m的最小值；

(DI)若m=1,mGR设F(x)=f(x)+第且正实数满足?(%i)=一/。2)，求证：%i+%2>V3-1-

22.已知双曲线次一”=1上任一点M(&,yo)，设M关于%轴对称点为双曲线的左右顶点分别为

62

A［，A2•

(I)求直线41M与直线的交点P的轨迹C的方程.

(口)设点尸(一2,0),T为直线x=-3上任意一点，过F作直线11TF交(/)中轨迹C于P、Q两点，①证

明：。7经过线段PQ中点(。为坐标原点)：②当^最小时，求点7的坐标.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

设2=。+4色/6/?),z=a-bi,则z-2=2万，然后利用复数代数形式的乘除运算化简止，再

1—1

由复数相等的充要条件即可得到b的值，则答案可求.

解：设2=Q+bi(Q,b6R),z=a—bi,贝!Jz-5=2bi.

l+i(l+O22i.,..,1

吉=码际=y=1，即BII2nbi=e,b=~.

则复数z的虚部是：i

故选：A.

2.答案：B

解析：解：，.•集合/={%G/?|0<%<1],B=(xER\(2x—1)(%+1)>0}={x||<x,或不<-1},

则4nB=

故选：B.

错误：6={xG/?|(2x-l)(x+l)>0},

解一元二次不等式求得B,再根据两个集合的交集的定义求得AnB.

本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题.

3.答案：C

解析：解：由题意可得：第=碇，n€N+，

可得n=4+5=9.

故选：C.

由题意可得：第=4，n&N+,即可得出.

本题考查了二项式定理的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.答案：A

解析：解：存在两条异面直线同时平行于同一个平面，故A正确；

若一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，故8错误；

底面是矩形的直四棱柱是长方体，故C错误；

棱台的侧面不一定为等腰梯形，可以是直角梯形，故。错误.

故选：A.

由线面平行的性质，可判断4由面面平行的判定定理可判断B；

由长方体和棱柱的关系可判断C；运用棱台的侧面性质可判断D.

本题考查空间线面平行的性质和面面平行的判定定理，以及长方体和棱柱的关系，棱台的侧面性质，

考查空间想象能力和判断能力，属于基础题.

5.答案：B

解析：解：如图所示，取4B、AC的中点。、E,连接。。、0E,——

•••OD1AB,0E1AC；\//\\

又•••M是边BC的中点，.•.初=：荏+|前；I\

.-.AM-Ad=(^AB+|^4C)-AO=^AB-AO+^AC-AO=\0/

-AD-AO+-AE-AO；\/

33__________----/

由数量积的定义，AD-AO=\AD\-\AO|cos<AD<AO>.

|AO|cos<AD<^0>~|I，

：.AD-AO=]AD\2=25;

同理，AE-AO=\AE\2=4;

•••祠.而=|x25+gx4=22.

故选：B.

结合图形，取AB、AC的中点D、E,地。DIAB,OE1AC,把求祠•而化为求而.而+近.而；

再利用数量积的知识求出结果来.

本题考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆等知识，解题时应结合图形，充分利用平

面向量的线性运算与数量积的知识，是中档题.

6.答案：A

解析：

本题考查二次不等式的解法及二次函数，由二次函数与二次不等式之间的关系即可求解.

解：因为不等式ax?+法+©>0(a,0)的解集为R,

所以函数y=ax2+bx+c>0(a*0)的图象必须是开口向上的抛物线,

所以a>0,21<0.

故选A.

7.答案：C

解析：解：对甲：设藁=；€Q，m,neZ,贝MTi=7nT2，

设T=nTx=mT2>对于任意的xGR,

则/(x+7)+g(x+7)=f(x+n7\)+g(x+nT2)=f(x)+g(x),故甲说法正确；

对乙：f(x)=sin|x|不是周期函数,但|f(x)|=|sin|x||是周期函数，故乙说法错误；

对丙：函数y="%)在R上是周期函数，则存在非零常数7,对任意xeR,都有f(x+7)=〃>),

故当x20时，也有/'(x+T)=f(x),

即仍是周期为7的函数，故丙说法正确.

故选：C.

根据周期的定义，依次判断即可.

本题主要考查对周期的定义的应用，解题关键是理解周期性的定义，属于中档题.

8.答案：B

解析：解：在A48C中，因为ccosB=bcosC,

所以：=若，

bcosB

由正弦定理得：

bsinB

所以sinCcosB=sinBcosC,即sin(B-C)=0,

所以，B=C,

故选：B.

依题意，利用正弦定理可得s讥CcosB=sinBcosC,逆用两角差的正弦即可求得答案.

本题考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，突出等价转化思想的考查，属于中档题.

9.答案:AC

解析：解：根据题意，若实数a,b,c满足幽=处=屿<o，

abc

则。<2a<1,0<b<1,0<]<1,

则有0<a<?故A正确；

设函数/(x)=W，X>0,其导数/'(x)=1-lnx

在区间(0,1)上，f'Q)>0，f(x)为增函数,

ln(2a)__呜<0则ln(2a)_In；rnii*rln(2a),Inb)呜

InbInbT>01则有一M(一丁〈一寸，

abeab

变形可得用>毕>厚，

则有/(2a)>f(b)>/(|),故有b<2a,C正确,

同时有2a冷，故有c<4a,。错误；

不能判断a、b、c的大小关系，B错误；

故选：AC.

根据题意，由对数的性质可得0<2a<1,变形有-0<a<|,可得A正确；设函数〃久)=?，求出

/(x)的导数，分析其单调性，由皿型=处=嗖<0,结合不等式的性质可得吟>带>摩，结

abe2ab2

合函数的单调性分析C正确，8。错误，综合可得答案.

本题考查函数导数与单调性的关系，涉及函数单调性的性质以及应用，属于中档题.

10.答案：BD

解析：解：由导函数的图象可知，导函数尸(乃的图象在％轴下方，即((x)<0,故原函数为减函数，

并且是，递减的速度是先快后慢.所以的图象如图所示：

/(X)<0恒成立，没有依据，故A不正确；

B表示(与一刀2)与［fQi)-/(%2)］异号，即f(x)为减函数.故B正确；

C。左边边的式子意义为与，犯中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，

右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点4的纵坐标值，显然有左边小于右边,

故C不正确，D正确,

故选：BD.

由导函数的图象可知，导函数尸(为的图象在x轴下方，即尸。)<0,故原函数为减函数，并且是，

递减的速度是先快后慢.由此可得函数f(x)的图象，再结合函数图象易得正确答案.

本题为导函数的应用，由导函数的图象推出原函数应具备的性质，利用数形结合是解决问题的关键.

11.答案：ABD

解析：解：设A&PF2的内心为/,连接/P,IFi，IF2,

双曲线E；--匕=1的。=4,b=3,c=5,

169

不妨设m>0,n>0,

由^PF/2的面积为20,可得；IK.F2I几=cn=5n=20,即九=4,

由先一竺=1,可得„；=个，故A正确；

1693

on

由P(§,4),且Fi(—5,0),F2(5,0),

可得kpF]=H，kpp2=y,

12_1£

则tan/FiPF?=•曙=黑6(0,遍)，

1+----J1y

5X35

则4F1PF2<5故c不正确；

由|PF11+|PF21=J16+等+J16+L=y+y=y>

则APFiF?的周长为三+10=某故B正确；

设△PF1尸2的内切圆半径为r，

可得如IP尸11+%+|FiF2|)=i|FiF2|-4,

可得皆=40,解得r=|,故。不正确.

故选：ABD.

设AF1PF2的内心为/,连接/P,/a,IF2,求得双曲线的a,b,c,不妨设P(m,n),m>0,n>0,

运用三角形的面积公式求得P的坐标，运用两直线的夹角公式可得tanZ&PF?,由两点的距离公式,

可得APFiF?的周长，设APFiF2的内切圆半径为乙运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r.

本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的内切圆的性质和等积法的运用，考查方程思想和运算

能力，属于中档题.

12.答案：BD

解析：解：数列｛a“｝的前n项和为Sn,若%+。2=2,an+1=Sn+1,

令n=1,知a2=S]+1=%+1,结合a1+a2=2,

知%=a2=|,

an+i=Sn+1=an=Sn-i+1.

所以cin+1一即=an(n>2),

但%=pa2=I，"=3H2,

当n>2,5=XU)+J=3*2"-2一1，

n1-22

S6=3x16-1=47,故A错误，B正确；

由于£=1，心2,时,晟=表目=成吞€(]帚，故C错误；

所以记无最小值，有最大值，工+工+…+工=2+延率<与，故。正确.

aia2an1--3

故选：BD.

直接利用赋值法和数列的递推关系式求出数列的通项，进一步利用求和公式的应用和取值范围确定4

B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的关系式的变换，

主要考查学生的运算能力利数学思维能力，属于中档题.

13.答案:64

解析：试题分析：样本数据落在|画加旗内的频率为蒯■谭:4=螂翳，所以样本数据落在|画』砥内的

频数为腐骊:斓1禽=硝.

考点：频率分布直方图.

14.答案：y2=8x

解析：

本题考查抛物线的定义和简单的几何性质，以及待定系数法求抛物线的标准方程.体现了数形结合

的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算.

根据抛物线写出它的准线方程x=-会再根据准线与直线x=l的距离为3,求得m的值，

进而求得抛物线的方程.

解：当山>0时，准线方程为x=-：=-2,

4

・•・m=8,

此时抛物线方程为y2=8%.

故答案为：y2=8x.

15.答案：-型

10

解析：

本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，属于基础题.

由已知中s讥a=-|,a6（-p0）,求出cosa值，代入两角和的余弦公式，可得答案.

解：vsina=-|,a6（-p0）,

・••cosa=V1-sin2a=

/,54、57r..5n742

・•・cos（a4——）=cosacos------stnasin——=-------，

k474410

故答案为：_运.

10

16.答案：伍|111'5或1114-5}

解析：试题分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意画出图形，即可求解他的取值范围.

-224

双曲线乙―匕=1渐近线为：y=±-x,

9163

22

因为双曲线卷—相=1渐近线上的一个动点P总在平面区域（X-m）2+y2>16内,

如图：只需圆心到直线的距离大于半径即可，

圆的圆心坐标（犯0）圆的半径为：4,

|47〃|

所以।、、N4，解得：m>5或m4-5.

j3--r4-

实数m的取值范围是：｛m|m>5或m4-5｝・

故答案为：｛m|m>5或m4-5｝・

19.解：(I)设等差数列｛a，｝的公差为d>0,

17.答案：

因为等差数列｛a，｝是数列，所以a1+as=a：+a*=14.因为d>0,

4=14,

<*,

所以解方程组,生4=4士得a:=5,a*=9.

所以ai=3,d=2.所以a==2n+1.

因为S*=na：+2n(n-1)d,所以S*=n2+2n.

数列｛a，｝的通项公式a*=2n+l,前nJ页和公式■=箝+2”

g

11

(II)因为b*="'I(n€N*),a"=2n+l,所以b*=4期+D.

以上各式相加得：4+i—c产4(i—KT)=.

_____1_

所以J-a+】）

___1_

所以，"=一诟，

解析：本题考查数列的综合应用。（I）由等差数列的性质以及。述』二45得到

的值。进而得到等差数列的通项公式和前n项和。

（口）由（1）得到数列”，

｛%｝的通项公式。利用裂项求和的方法求出

数列｛。片｝的通项公式C片。

18.答案：解：在△ABC中，由siMA=sinBs讥C,利用正弦定理可得a?=be.

又已知2a=b+c,

故有4a2=（b+c）2,化简可得（b—c）2=0,b=c.

再由2a—b+c,

可得a=b,

从而有a=b=c,

故△力BC为等边三角形.

解析：由条件利用正弦定理可得a?=be,再由2a=b+c可得b=c=a,可得△ABC为等边三角形.

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.

19.答案：解：（I）4小区指数为：1=0,2x0.7+0.2x0.7+0.32x0.5+0.28x0.5=0.58<0.6,

•••4小区不是优质小区.

B小区指数为：TB=0.2x0.9+0.2x0.6+0.32x0.7+0.28x0.6=0.692>0.6,

B小区是优质小区.

C小区指数为：Tc=0.2x0.1+0.2x0.3+0.32x0.2+0.28x0.1=0.172<0.6,

•♦.C小区不是优质小区.

（II）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区

进行调查，

抽到优质小区的个数为：10x曙=4个，

抽到良好小区的个数为：10x盖=3个，

抽到中等小区的个数为：10X益=2个，

抽到待改进小区的个数为：10x盖=1个，

在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为。

则f的可能取值为0,1,2,

P&=o）=今，

P（f=D=管嗯,

P&=2）=今屋，

f的分布列为:

012

182

p

31515

数学期望党=0x：+1x2+2x2=%

JXOJLJ〉

解析：（I）分别求出4、B、C三个小区指数，由此能判断4,B,C三个小区是否是优质小区.

（口）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区

进行调查，抽到优质小区的个数为4个，抽到良好小区的个数为3个，抽到中等小区的个数为2个，抽

到待改进小区的个数为1个，在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区

中为优质小区的个数为f,则f的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出6的分布列

和数学期望Ef.

本题考查优质小区的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列

组合等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，是中档题.

20.答案：解：(1)•••△PAD^^PAB(SSS),二/.PAD=4PAB=90°,J：

.-.PAIAB,PHLAD,又TABn4。=4,/[

P41平面ABC。，BC回平面/BCD,APAIBC,/•/*

vABCD为正方形，.•.4B1BC,''

又PACAB=4PA,48回平面P4B,二BC1平面P4B,

AE团平面PAB.-ME1BC,

vPA=AB,E为线段PB的中点，.••?!£■_LPB,

又PBCBC=B,PB,BC团平面PBC,二4E1平面PBC,

(2)存在定点产，使平面4EF与平面PCO所成的锐二面角为30。

以4为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系4-盯z,

不妨设正方形4BCD的边长为2,

则4(0,0,0),C(0,2,2),D(0,0,2),P(2,0,0),£(1,1,0),

•••AE=(1,1,0),PC=(-2,2,2),PD=(-2,0,2),

设F(0,2,；l)(0W4W2),则存=(0,2,4),

设平向AEF的一个法向量为元=Qi，yi，Zi),

则伊,亚=2%+Mi=0,

(n-AE=/+y[=0

令Z]=2,i?!=(A,—A,2),

设平面PCO的一个法向量为记=(x2,y2,z2)

(—2x2+2y2+2Z2=0

・'1-2X2+2Z=0，

令%2—1，则沆=(1,0,1),

•・・平面4EF与平面PCD所成的锐二面角为30。，

当解得"1，

・•・当点F为BC中点时，平面4EF与平面PCD所成的锐二面角为30。.

解析：(1)只需证明4E1BC,AE1PB,即可证明4E平面PBC,

(2)以4为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,利用空间向量求解，

本题考查线面垂直的判定、二面的计算，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题.

21.答案：解：(I)/(x)=5+mx,

切线的斜率k=f'(l)=1+m,

・•・1+m=2,m=1,

(II)由题意，Inx—|mx2+(1—m)x+1<0,

设G(%)=Inx--mx2+(1—m)x+1,

G'[x}=~~7nx+(1—m),

①当mW0时，因为％>0,所以G'(X)>0

所以GQ)在(0,+8)上是单调递增函数，

G(l)=Ini—[mxl24-(1—m)4-1=—|m+2>0,

所以关于％的不等式G(%)<0不能恒成立.

②当机>0时，G'(X)=-mM+d-nQx+l=

i，xx

令G'(x)=0,因为％>0,得％=、，

所以当工£(0,\)时，G'(x)>0；当％£(\,+8)时，G<%)VO.

因此函数G(x)在汽G(0,、)是增函数，在％G(，+8)是减函数.

故函数G(x)的最大值为G(\)=X(^)2+(l-m)x^+l=^-Inm.

令h(m)=^-Inm,因为/i(zn)在mG(0,+8)上是减函数，

又因为八(1)=g>0,h(2)=：—伍2V0,所以当mN2时，h(m)<0.

所以整数ni的最小值为2.

(HI)m=1时，F(x)=Inx+-%2+%,x>0,

由尸(%T)=-F(%2)，得FQI)+尸(%2)=0,

即"+lnx2+1%2+%2=°，

2

整理得，“Xi+x2)+01+x2)